湖南省邵阳市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析

湖南省邵阳市2021届新高考数学五月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．
6π或
56
π
B ．
4
π
C ．
3
π D ．
6π或3
π 【答案】D 【解析】 【分析】
根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】
由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，
∴3
sin 2B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．
故选：D 【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 2．函数2|sin |
2
()6
1x f x x
=-
+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42
f π
>排除D .故只能选A .
【详解】 因为22|sin()|
|sin |
2
2
()6
6
()1()
1x x f x f x x x
--===+-+ ,
所以函数()
f x为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;
因为
2
|sin|
()61
fπ
π==
1110
<-=-=
,故排除B,
因为
2
|sin|
2
()
()6
2
f
π
π
π
==
6
6
>-
4
66624
2
=>-=-=由图象
知,排除D.
故选:A
【点睛】
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
3．已知O为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)
P m m<
且sinα=，则sin2α=( )
A．
4
5
B．
3
5
C．
3
5
-D．
4
5
-
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义，即可求出1
m=-，得出(3,1)
P-，得出sinα和cosα，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
根据题意，sin
10
m
α==，解得1
m=-，
所以(3,1)
OP=-
u u u r
，
所以sin,cos
1010
αα
=-=，
所以
3
sin22sin cos
5
ααα
==-.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
4．已知()
2
2
log217
y x x
=-+的值域为[)
,m+∞，当正数a，b满足
21
32
m
a b a b
+=
++
时，则74
a b
+
的最小值为（）
A ．
94
B ．5
C ．
54
+ D ．9
【答案】A 【解析】 【分析】 利用()2
2log 217y x
x =-+的值域为[),m +∞,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.
【详解】
解：∵()
()2
2
22log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦
的值域为[
),m +∞, ∴4m =, ∴
41
4622a b a b
+=++,
∴()()14
1746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=
++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
()()4216219
554426244
a b a b a b a b +⎡⎤+=
++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当
()4262262a b a b a b a b
++=
++时取等号, ∴74a b +的最小值为9
4
. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.
5．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得
()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．7
4160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭U D ．74
6,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】
因为()g x ax lnx =-，故()1
ax g x x
=
'-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1
a e ≥
时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，令()0g x '=，解得1x a
=
， 故()g x 在区间10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫
=+=- ⎪
⎝⎭
，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111
,54
g g e a ⎛⎫<≥
⎪⎝⎭， 即可得111,154a
lna e
+<
-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢
⎣⎭
. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）
A ．∅
B ．1
{|}2
x x <-
C ．5{|}3
x x >
D ．15{|}23
x x -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】
{}1210|2S x x x x ⎧
⎫=+=>-⎨⎬⎩
⎭Q ，
{}5|350|3T x x x x ⎧
⎫=-<=<⎨⎬⎩
⎭，
则15|23S T x x ⎧
⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭
故选D 【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 7．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12
π
个单位长度 B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移512π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】
依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】
解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3
ϕ=
，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，
故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.
8．已知向量a b (==r r
，则向量b r 在向量a r 方向上的投影为（ ）
A ．B
C ．1-
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
投影即为
cos a b b a
θ⋅⋅=r r
r r ，利用数量积运算即可得到结论.
【详解】
设向量a r 与向量b r
的夹角为θ，
由题意，得31a b ⋅=+=-r r 2a =
=r
，
所以，向量b r 在向量a r
方向上的投影为
cos 2a b b a
θ⋅-⋅===r r 故选：A. 【点睛】
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.
9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．3
5
-
B ．45
-
C ．
35
D ．
45
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解. 【详解】
角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，
终边经过点()1,2P ，则||
OP θ==
23
cos 212sin 5
θθ∴=-=-.
故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数1
2
()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫
-
⎪⎢⎣
⎭ B ．{}1,0,1-
C ．{}1,0,1,2-
D ．{}0,1,2
【答案】B 【解析】 【分析】
利用换元法化简()f x 解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得()f x 的取值范围，由此求得
[]
()
y f x
=的值域. 【详解】
因为
1
2
()4324
x x
f x-
=-⋅+（02
x
<<），所以()2
1
2
41
3242324
2
4
x
x x x
y=-⋅+=-⋅+，令2x t=
（14
t
<<），则2
1
()34
2
f t t t
=-+（14
t<<），函数的对称轴方程为3
t=，所以
min
1
()(3)
2
f t f
==-，max
3
()(1)
2
f t f
==，所以
13
(),
22
f x
⎡⎫
∈-⎪
⎢⎣⎭，所以
[]
()
y f x
=的值域为{}
1,0,1
-.
故选：B
【点睛】
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.
11．已知函数()[]
f x x x
=-，其中[]x表示不超过x的最大正整数，则下列结论正确的是（）A．()
f x的值域是[]
0,1B．()
f x是奇函数
C．()
f x是周期函数D．()
f x是增函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据[]x表示不超过x的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.
【详解】
由[]x表示不超过x的最大正整数，其函数图象为
选项A，函数()[)
0,1
f x∈，故错误；
选项B，函数()
f x为非奇非偶函数，故错误；
选项C，函数()
f x是以1为周期的周期函数，故正确；
选项D，函数()
f x在区间[)[)[)
0,1,1,2,2,3
L L上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.
故选：C 【点睛】
本题考查对题干[]
x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.
12．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．
2728
倍 B ．
4735
倍 C ．
4835
倍 D ．
75
倍 【答案】B 【解析】 【分析】
设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】
设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a a
P a
⨯⨯+⨯⨯=
=，
所以00009447
7035
=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的47
35
倍. 故选：B 【点睛】
本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
【答案】1 【解析】 【分析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为3，由此能求出所得正三棱柱的体积． 【详解】
如图，作AO BC ⊥，交BC 于O ，2212663AO =-=， 由题意得正三棱柱底面边长6EF =，高为3h =
，
∴所得正三棱柱的体积为：
1
66sin 603272
DEF V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯︒⨯=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
14．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省. 【答案】12
【解析】 【分析】
设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【详解】
设圆柱的高为h ，底面半径为r .
∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位
∴2128r h ππ=，即2128
h r
=
. ∴该圆柱形的表面积为2
2
2
212825622222S r rh r r r r r
ππππππ=+=+⋅=+. 令()2
2562g r r r ππ=+
，则()2
2564g r r r ππ'=-
. 令()0g r '>，得4r >； 令()0g r '<，得04r <<.
∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增. ∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时1
2
r h =. 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题． 15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O .剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为________.
【答案】86π 【解析】 【分析】
将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案. 【详解】
由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示
4CD =，22OA OC OD ===22226OA OC OD ++=
所以外接球半径为6R =
，其体积为3
4863
R ππ=.
故答案为：. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.
16．某大学A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D 专业应抽取_________人． 【答案】39 【解析】 【分析】
求出D 专业人数在A 、B 、C 、D 四个专业总人数的比例后可得． 【详解】
由题意A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13，故D 专业应抽取的人数为
13
129398121013
⨯
=+++．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的各项都为正数，12a =，且11
21n n
n n a a a a ++=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设()2lg log n n b a =⎡⎤⎣⎦，
其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg99]1=，求数列{}n b 的前2020项和．
【答案】（Ⅰ）2n
n a =；（Ⅱ）4953
【解析】 【分析】
（Ⅰ）递推公式变形为()()1120n n n n a a a a +++-=，由数列是正项数列，得到12n n a a +=，根据数列是等比数列求通项公式；
（Ⅱ）()2lg log [lg ]n n b a n ==⎡⎤⎣⎦，根据新定义和对数的运算分类讨论数列{}n b 的通项公式，并求前2020项和． 【详解】
（Ⅰ）∵
11
21n n
n n a a a a ++=+，∴22
1120n
n n n a a a a ++--=，∴()()1120n n n n a a a a +++-= 又∵数列{}n a 的各项都为正数，∴120n n a a +-=，即12n n a a +=．
∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2n
n a =．
（Ⅱ）∵()2lg log [lg ]n n b a n ==⎡⎤⎣
⎦，∴0,1101,101002,10010003,10002020
n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤≤⎩，n *∈N ． ∴数列{}n b 的前2020项的和为1902900310214953⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前n 项和，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.
18．已知直线1x y +=过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中
点是21,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.
【答案】（1）2212x y +=（2
【解析】 【分析】
（1）由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242
,33
x x y y +=+=,且由斜率公式
可得21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,则2222
112222221,1x y x y a b a b
+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,
即可求解；
（2）设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的距离为12,d d ,则四边形的面积为
()1212111
222
S CD d CD d CD d d =
⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线距离求得12,d d ,根据直线l 与线段AB （不含端点）相交,可得()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,进而整
理换元,由二次函数性质求解最值即可.
【详解】
（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 设()()1122,,,A x y B x y ,则121242
,33
x x y y +=+=,且
21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得2222
2121220x x y y a b --+=, 则()()()()2121212122
0x x x x y y y y a b
-+-++=,得222a b = 又222,1a b c c =+=, 所以2
2
2,1a b ==,
因此椭圆的方程为2
212
x y +=.
（2）由（1）联立22121
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧
=
⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,易知直线l 的斜率存在,
设直线:l y kx =,代入2212
x y +=,得()
22
212k x +=,
解得x =
或设()()3344,,,C D x y y x ,
则34x x =
-=
,
则34C x D -==,
因为()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
到直线y kx =
的距离分别是12d d =
=,
由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,
所以(
)12
444
1k k d d +++, 四边形ACBD 的面积(
)1212111222S CD d CD d CD d d =
⋅+⋅=+=,
令1k t +=,3
4
t >
,则2221243k t t +=-+,
所以S ==, 当123t =,即12k =时
,min S ==，
因此四边形ACBD
. 【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.
19．已知函数()sin ln 1f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 在点,22f ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程； （Ⅱ）求证：()f x 在(0,)π上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数()f x 在(0,2)π上的零点个数． 【答案】（Ⅰ）2
ln
12
y x π
π
=+-；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数()f x 在(0,2)π有3个零点．
【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出导数，写出切线方程；
（Ⅱ）二次求导，判断()f x '
单调递减，结合零点存在性定理，判断即可； （Ⅲ）ln 1sin x x =-，数形结合得出结论． 【详解】
解：（Ⅰ）1()cos f x x x '=+，()1ln 1ln 222f πππ=+-=，2
()2f ππ
'=， 故()f x 在点(
2π，())2f π处的切线方程为2ln ()22
y x ππ
π-=-， 即2ln 12
y x π
π=+-；
（Ⅱ）证明：1
()cos f x x x
'=+，(0,)x π∈，
21
()sin 0f x x x
''=--<，故()f x '在(0,)π递减，
又2()02f ππ'=>，1
()10f ππ
'=-+<，
由零点存在性定理，存在唯一一个零点(
,)2
m π
π∈，1
()cos 0f m m m
'=+
=， 当(0,)x m ∈时，()f x 递增；当(,)x m π∈时，()f x 递减， 故()f x 在(0,)π只有唯一的一个极大值； （Ⅲ）函数()f x 在(0,2)π有3个零点． 【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程，考查零点存在性定理的应用，关键是能够通过导函数的单调性和零点存在定理确定导函数的零点个数，进而确定函数的单调性，属于难题． 20．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
【答案】（1）10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；（2）1λ≥. 【解析】 【分析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2）1x ，2x 是方程
12x
x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝
⎭
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【详解】
（1）由题可知2()(1)20x x
f x x e ae
'=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +=
=， ()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >，
∴2(0,1)a ∈，即10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2
）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x
x a e +=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x
x x x λλ
+>⇔>->
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-
⎪⎝⎭，又()()21
h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛
⎫
=+--
-+ ⎪⎝⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥. 【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点.
（1）求证：//OB 平面1ACD ；
（2）求二面角11C AD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）3
3
. 【解析】 【分析】
（1）取AC 的中点M ，连接BM 、1D M ，连接11B D ，证明出四边形1MBOD 为平行四边形，可得出
1//OB MD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角11C AD C --的余弦值，进而可求得其正弦值. 【详解】
（1）取AC 中点M ，连接MO 、BM 、1D M ，
11//AA CC Q 且11AA CC =，∴四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =，
O Q 、M 分别为11A C 、AC 中点，1//AM AO ∴且1AM AO =， 则四边形1
AAOM 为平行四边形，1//OM AA ∴且1OM AA =， 11//AA BB Q 且11AA BB =，1//OM BB ∴且1OM BB =，
所以，四边形1BB OM 为平行四边形，1//BM OD ∴且1BM OD =，
∴四边形1MBOB 为平行四边形，1//OB D M ∴，
1MD ⊂Q 平面1ACD ，OB ⊄平面1ACD ，//OB ∴平面1ACD ；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1A xyz -，则()2,2,2C 、()0,0,2A 、()12,2,0C 、()12,0,0D ，
()12,0,2AD =-u u u u r ，()2,2,0AC =u u u r ，()110,2,0DC =u u u u r ， 设平面1ACD 的法向量为()111,,m x y z =u r
，
由100m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u v v u u u u v v ，得1111220220x y x z +=⎧⎨-=⎩，取11x =，则11y =-，11z =，()1,1,1m ∴=-u r ，
设平面11AD C 的法向量为()222,,n x y z =r
， 由11100n D C n AD ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，得22220220y x z =⎧⎨-=⎩，取21x =，则20y =，21z =，()1,0,1n ∴=r ，
6cos 32m n m n m n ⋅<⋅>===⨯⋅u r r
u r r Q u r r 23sin ,1cos ,m n m n ∴<>=-<>=u r r u r r ，
因此，二面角11C AD C --3
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22．已知x ，y ，z 均为正数．
（1）若xy ＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz ； （2）若
xyz x y z ++＝1
3
，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为1 【解析】 【分析】
（1）利用基本不等式可得|x |||22242z y z xz yz z xy +⋅+≥=, 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz. （2）由
xyz x y z ++＝1
3
, 得
1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出
2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值. 【详解】
（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，
∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z ）（y+z ）≥22xz yz ⋅＝4z xy ， 当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 又∵0＜xy ＜1，∴44z xy xyz >， ∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz ；
（2）∵xyz x y z ++＝1
3
，即
1113yz xz xy ++=． ∵11
22yz yz yz yz
+
⋅=…， 1122xz xz xz xz
+
⋅=…， 1122xy xy xy xy
+
⋅=…， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号， ∴111
6xy yz xz xy yz xz
+++
++…， ∴xy+yz+xz≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy+yz+xz ≥1， ∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为1． 【点睛】
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题． 23．如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AB CD ，
90BAD ∠=︒，24AB CD ==，PA CD ⊥，在锐角PAD △中，E 是边PD 上一点，且332AD PD ED ===.
（1）求证：//PB 平面ACE ；
（2）当PA 的长为何值时，AC 与平面PCD 所成的角为30°？
【答案】（1）证明见解析；（2）当6PA AC 与平面PCD 所成的角为30°. 【解析】
【分析】
（1）连接BD 交AC 于O ，由相似三角形可得
12OD OB =，结合1
2
DE EP =得出//OE PB ，故而//PB 平面ACE ；
（2）过A 作AF PD ⊥，可证AF ⊥平面PCD ，根据30ACF ∠=o 计算AF ，得出ADF ∠的大小，再计算PA 的长． 【详解】
（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，
//CD AB Q ，12DO CD DE
OB AB EP
∴===， //OE PB ∴
又OE ⊂Q 平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，
//PB ∴平面ACE.
（2）CD AD ⊥Q ，CD PA ⊥，AD PA A ⋂=
CD \^平面PAD
作AF PD ⊥，F 为垂足，连接CF
CD ⊥Q 平面PAD ，AF ⊂平面PAD.
CD AF ∴⊥，有AF PD ⊥，CD PD D =I ，CF ∴⊥平面PCD ACF ∴∠就是AC 与平面PCD 所成的角，30ACF =∴∠︒，
2222AC AD CD =+=，222
AF =
， 11sin 6
AF ADF AD ∴∠=
=
，2
5cos 1sin 6ADF ADF ∠=-∠= 2222cos 6PA AD DP AD DP ADP ∴=+-⋅∠=，6PA ∴=
6PA ∴=时，AC 与平面PCD 所成的角为30°.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题．。