第5章 §5.3 平面向量的数量积--新高考数学新题型一轮复习课件

新高考数学新题型一轮复习课件第五章
§5.3　平面向量的数量积
考试要求
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
落实主干知识
课时精练探究核心题型
内容索引
L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识
1.向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作 则________
＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角.2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量__________
叫做向量a 与b 的数量积，记作_____.
∠AOB |a ||b |cos θa ·b
投影投影向量|a|cos θe
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
a·c＋b·c (3)(a＋b)·c＝_________.
几何表示坐标表示数量积
a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝__________模
|a |＝_______|a |＝__________夹角
cos θ＝______cos θ＝______________a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0_____________
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.
x 1x 2＋y 1y 2x 1x 2＋y 1y 2＝0
a∥b的充要条件a＝λb(λ∈R)_____________
|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b时
等号成立)
x1y2－x2y1＝
1.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2.有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是 .(
)(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )
(4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( )
×××√
1.(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是
A.0·a ＝0
B.a ·b ＝b ·c ，则a ＝c
C.a ·b ＝0⇒a ⊥b
D.(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2√
√
设a ，b 的夹角为θ，
依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，
则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×
4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，
2.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.
3.已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________.
T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型
例1　(1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_____；a ·b ＝_____.题型一平面向量数量积的基本运算
0 3
∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，
∴a ＋b ＝(4,0)，
∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，
a ·
b ＝2×2＋1×(－1)＝3.
－2
如图所示，
∴四边形ABCD为平行四边形，
教师备选
√
解得t＝3，
1
①∵M是BC的中点，∵D是AM的中点，
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos<a，b>.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
由已知可得(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
－1
∴P为BC的中点.
∴点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，
题型二平面向量数量积的应用
命题点1　向量的模
例2　已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝_______，|a－3b|＝________.
因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，
命题点2　向量的夹角
例3　(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于
√
∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
命题点3　向量的垂直
例4　(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
方法一　a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，
即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，
方法二　由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，
教师备选
1.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为
√
设a与b的夹角为α，
∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝0，
∴a·b＝b2，
∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
1 2.已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝，则|e1－e2|＝________.所以2e1·e2＝1，
所以|e1－e2|＝1.
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
√
方法一　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，
(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则
√
√
由题意可知，
＝cos(α＋2β)，
例5　(多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示).假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是题型三
平面向量的实际应用
√
√
√
由题意知，F
1＋F2＋G＝0，
可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ
＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误.
教师备选
若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝，F1与F2的夹角为45°，求：
(1)F3的大小；
∵三个力平衡，
∴F1＋F2＋F3＝0，
(2)F3与F1夹角的大小.。