数理统计--第4章 方差分析、正交试验设计
正交试验设计(详细)
正交试验设计法正交试验设计法的基本思想正交表正交表试验方案的设计试验数据的直观分析正交试验的方差分析常用正交表1．正交试验设计法的基本思想正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。
它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。
下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。
[例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃B：90-150分钟C：5-7％试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。
这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7%当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。
而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。
这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有33=27次试验。
用图表示就是图1 立方体的27个节点。
这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。
但试验次数太多。
特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。
试验量大得惊人。
如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。
如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。
而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。
图1 全面试验法取点..........(Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之：↗A1B1C1 →A2↘A3 (好结果)如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之：↗B1A3C1 →B2 (好结果)↘B3得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之：↗C1A3B2→C2 (好结果)↘C3试验结果以C2最好。
正交试验设计及其方差分析
例 9. 8 提高某化工产品转化率的试验 . 某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两 种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此 考虑对 A ， B ，C ， D 这4个因素进行试验.根据以往的经验，确 定各个因素的3个不同水平，如表9-19所示 .分析各因素对产品的 转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
3
显然 T Tij ,j =1，2，3，4.此处 i 1
T11 大致反映了A1 对试验结果的影响, T21 大致反映了A2 对试验结果的影响, T31 大致反映了A3 对试验结果的影响, T12 , T22 和 T32 分别反映了B1 , B2 , B3 对试验结果的影响,
T13 , T23 和T33 分别反映了C1, C2 , C3 对试验结果的影响, T14 , T24 和 T34 分别反映了D1, D2 , D3 对试验结果的影响.
Rj 反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小, Rj 越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表 of range) 由极差大小顺序排出因素的主次顺序:
这里, Rj值相近的两因素间用“、”号隔开,而Rj 值相差较 大的两因素间用“;”号隔开.由此看出,特别要求在生产过程中 控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制 好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.
(2 ) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同 . 如 表 L4 (23) 中任意两列，数字1 ， 2 间的搭配是均衡的 .
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).
常用的正交表有L9(34)， L8(27)，L16(45)等,见附表7. 用正 交表来安排试验的方法,就叫正交试验设计. 一般正交表)
正交试验设计和分析
所以一般地，有 N dfi dfi j 1
i
i, j
如三原因四水平 43 旳正交试验至少应安排
34 1 1 10 次以上旳试验。
如三原因四水平 43 并涉及第一、二个原因旳交互 作用旳正交试验至少应安排旳试验次数为
34 1 4 14 1 1 19
又如安排 43 23 旳混合水平旳正交试验至少应安排
试验次数N旳拟定原则
N 由 dfT N 1 拟定。
其中： dfT dfi dfi j dfE ,
i
i, j
dfi dfi j 是可求出旳，而 dfE 是未知旳，
i
i, j
所以一般地，由 N dfi dfi j 1 拟定 N，
i
i, j
故 N 不是唯一旳。
当不考虑交互作用时：可取 N S q 1 1
所以要选择 LN 2S 型旳表，且不考虑交互作用时， S 4 ，而 L8 27 是满足条件旳最小旳正交表， 所以选用正交表 L8 27
若考虑A与B、A与C旳交互作用，则
S 6 ，L8 27 依然是满足条件旳最小旳正交表， 所以还可选用正交表 L8 27
注：也可由试验次数应满足旳条件来选择正交表。
正交表旳记号及含义
正交表是一种尤其旳表格，是正交设计旳基本工具。
我们只简介它旳记号、特点和使用措施。
记号及含义
L 正交表旳代号
S 正交表旳列数
（最多能安排旳原因个数，
涉及交互作用、误差等）
LN qS
q 各原因旳水平数
N 正交表旳行数
（各原因旳水平数相等）
（需要做旳试验次数）
如 L8 27 表达
7 2 2 1 1 2 2 1 275
8 2 2 1 2 1 1 2 375
第4讲5(1) 正交试验设计(方差分析)
处理号 1 2
第1列（A） 1 1
表 L9(34)正交表
第2列 1 2
第3列 1 2
第4列 1 2
因素A第1 试验结果y水i 平3次
重复测定 y1 值 y2
3
1
3
3
3
y3
单4 因素 2
1
2
3
y4
试5 验数 2
2
3
1
y5
因素A第2
SS据A6＝资13（料y1 y22
格式 78＝13（K12
3 K322
y3）2 （y43y5
K32）-
T2 9
1 2
y6）2 （ 1 y7 3 1
y 82y 9）2 2 3
（y1yy62 ...
9
y7 y8
y水9）平2（修 3次正重项） 复测定值
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
因素 重复1 重复2 重复3
显著影响
（6）列方差分析表
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素 SS空列（误差）
（2）自由度分解：
dfT df因素 df空列（ 误列（
（3）方差：MS因素＝
SS因素 df因素
，MS误差＝
SS误差 df误差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为 该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果 无显著影响。
正交试验设计完整版本
2020/3/26
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制
10 造
2. 拉丁方试验设计
均衡分布思想，虽然远在古代就有，但只是在近代才与生 产科研实际相结合，产生了拉丁方、正交表，显示出它的 巨大威力。
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4造
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5造
$8.3 试验设计
试验设计的目的就是为了试验优化. 试验优化由于具有设计灵活、计算简便、试验次数
少、优化成果多、可靠性高以及适用面广等特点， 因而发展迅速，应用广泛，已成为多快好省地获取 试验信息的现代通用技术，成为科学实验、质量管 理的一个科学工具。
反应时间
产量
1小时 平均值
反应温度
50 oC
69.5
70 oC
71.5
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2小时 平均值
72.0
64.5
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29 造
最佳条件：
显色剂浓度：2% 显色温度：50 oC 显色时间：2小时 操作方法：不搅拌
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李 振 华 制
18世纪的欧洲，普鲁士弗里德里希·威廉二世（1712一1786 ）要举行一次与往常不同的6列方队阅兵式。他要求每个方 队的行和列都要由6种部队的6种军官组成，不得有重复和 空缺。这样．在每个6列方队中，部队军官在行和列全部排 列均衡。群臣们冥思苦想，竟无一人能排出这种方队。后 来，向当时著名的数学家欧拉（1707—1783）请教，由此 引起了数学家们的极大兴趣，致使各种拉丁方问世。
数理统计 第4章 方差分析、正交试验设计
r
ni
i i 1 1 ni 2 nni i i
r
组间离差平方和之和。 组间离差平方和之和。 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和
Q QT QE QA QE 、 QA 、 Q T QE QA QE 、 QA QE A E A 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 QT QE Q Q QA QT QE QA QT T E A E A
Q Q1 Q2 Qr ， 其中 Qi 是 Y1 ,Y2 ,,Yn 的线性组合的
平方和 （即非负定二次型） ，自由度为 f j ， j 1,2,, r ， 则有： Q1 , Q2 ,, Qr 相互独立，且
Q j ~ 2 ( f j ) n f1 f 2 f r .
X ij ~ N ( , 2 )
X ij
~ N (0,1)
i 1,2,, r ， j 1,2,, ni 且相互独立，
于是 Q (
i 1 j 1
r
ni
X ij
)2 ~ 2 (n) ,
且有
Q 1
2
1
[( X
i 1 j 1 r ni i 1 j 1
1 r E( X ) ni i ； n i 1
水平
Ai 的均值： X i
1 ni
r
X
j 1
ni
ij
~ N ( i ,
2
ni
)；
( X ij X )2 ； 离差平方总和： QT
i 1 j 1
ni
2 QT ( X ij X ) ； 离差平方总和： i 1 j 1
正交设计与方差分析
正交设计适用于多因素、多水平的试验安排，而方差分析 适用于检验数据间的差异和因素显著性。
04
正交设计与方差分析的实例
正交设计实例
实验设计
正交设计是一种实验设计方法， 通过选择合适的正交表，安排多 因素多水平的实验，以最小实验 次数获得尽可能多的信息。
特点
正交设计具有均衡分散、整齐可 比的特点，能够快速有效地找到 最优方案。
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复合正交设计
适用于多个因素，每个因素有多个水平的实验。
混合水平正交设计
适用于某些因素水平较多，而其他因素水平较少 的实验。
02
方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两 个或多个组之间的平均值差异是否显著。它通过分析数据 的变异来源，将总变异分解为组间变异和组内变异，从而 评估不同组之间的差异是否具有统计意义。
适用范围有限
正交设计主要适用于多因素、多水平的实验设计，对于其他类型 的实验可能不太适用。
对实验条件要求较高
正交设计要求实验条件相同，对于实验条件不易控制的情况可能不 太适用。
对实验结果分析要求较高
正交设计需要对实验结果进行复杂的统计分析，对于数据分析能力 要求较高。
正交设计与方差分析的发展趋势
多元化
正交设计与方差分析在未来的应用前景
科学研究
正交设计与方差分析在科学研究领域的应用将会越来越广泛，特别是在生物、化学、物理 等领域。
工业生产
工业生产中需要进行大量的实验研究和数据分析，正交设计与方差分析可以为工业生产提 供有效的实验设计和数据分析方法。
数据分析
正交设计与方差分析作为一种统计分析方法，在数据分析领域的应用将会越来越广泛。
正交试验设计中的方差分析
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
正交试验设计方案
表10-20
L9(34)正交表
处理号 1 2 3 4
第1列（A） 1 1 1 2
第2列 1 2 3 1
第3 列 1 2 3 2
第4 列 1 2 3 3
因素A第1 试验结果yi 水平3次重 y1 复测定值 y2 y3 y4
5 2 2 3 1 y5 单因素试验 因素A第2 数据资料格 2 水平 3次重 61 2 3 1 2 （y1 y2 y6 ... y9 ） 2 2 2 式 SS A＝ （y1 y2 y3 ） （y4 y5 y6 ） （y7 y8 y9 ） （修正项） 复测定值 73 3 1 3 2 y7 9 1 T2 2 2 23 2 8 1 3 y8 ＝ （K1 K 2 K 3 ） 9 3 93 3 2 1 y9
的代表性 ， 能 够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
常用名词介绍
因素 指标
在试验中需要考察 的效果的特性值， 简称指标。指标与 试验目的是相对应 的。例如：试验目 的是提高产量，则 产量就是试验要考 察的指标；试验目 的是降低成本，则 成本就是试验要考 察的指标。 也称因子。是试验 中考察多试验指标 可能有影响的原因 或要素，它是试验 当中重点要考察的 内容。通常用大写
但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来也就是说不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的还是由于试验误差引起的也就是说不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的还是由于试验误差引起的无法估计试验误差的大小
一、正交试验设计的概念
正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的一种设计方 法，它是根据正交性从全面试验中挑选出 部分有代表性的点进行试验，这些有代表 性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的 特点。
正交试验设计与数理统计作业
第三章：统计推断第3章第7题分别使用金球和铂球测定引力常数（1）用金球测定观察值：6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672；（2）用铂球测定观察值：6.661，6.661，6.667，6.667，6.664。
σ），u，2σ均为未知。
试就1，2两种情况分别求u的置信度设测定值总体为N（u，2σ的置信度为0.9的置信区间。
为0.9的置信区间，并求2（1）金球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开SAS软件②打开solution-analysis- analyst输入数据并保存③打开analyst，选择jingqiu文件，打开：④Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量jq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：⑤结果输出：金球u的置信度为0.9的置信区间为(6.67,6.68)。
（2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择Bq文件，打开：③Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量bq 送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：④结果输出：铂球u的置信度为0.9的置信区间为(6.66,6.67)。
（3）金球方差置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①打开analyst，选择Bq文件，打开数据：②Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample Test for a Variance，将待分析变量jq 送入Variable中，并在Null:Var中设置一个大于0的数，再单击Intervals，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：③结果输出：金球σ2的置信度为0.9的置信区间为(676E-8, 0.0001)（4）铂球方差置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下：①Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample Test for a Variance，将待分析变量bq送入Variable中，并在Null:Var中设置一个大于0的数，再单击Intervals，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：②结果输出：铂球σ2的置信度为0.9的置信区间为(379E-8, 507E-7)。
正交法方差分析详解
先列出一个表格 三因素，三水平 正交表为4列，9行正交表的作用:对于同一个因素的任一个水平,当实验组合中含有这个水平时,其他的参数取值是均匀的,没有重复.如B 因素取90这个水平时有三个组合,这三个组合为可以看出,在B 因素取90时,A 和C 因素分别取了没有重复的三个变量，即均匀的。
这有什么好处，下面引出方差分析中一些假设1. 实验的结果有一个期望值E 0值，这个E 0 值是所用参数可能取值得到的计算结果的期望值，而且假设计算结果是满足正态分布的。
即),(~20σE N X i 。
注意：E 0 不是这9个计算结果的平均值，这9个计算结果只是所有可能结果的9个样本而已，我们就是在用着9个样本来分析总体2. 对于单个参数而言，由于单个参数的任一水平的计算结果只受该参数影响，而不受其他参数的影响，所以单个参数的计算结果的期望和方差都应该满足）（20,σE N ，1、2这两条实际是为方差分析服务的。
3. 至于说在正交法中单个参数的计算结果只受该参数影响，而不受其他两个参数取值的影响，涉及了另一个假设：假设各个参数对计算结果的影响是独立的，也就是说计算结果是3个参数的作用的加和，比如说在B=30，C=64时，A 取12对计算结果的贡献是8。
当B=32，C=40时，A 取12对计算结果的贡献还是8。
当然，这都是理想状态，参数之间的作用肯定是有互相影响滴，这种影响叫做交互作用，而且，每次试验都有误差的，不可能互相没有影响，两次试验中A 对计算结果的贡献肯定是不相等的。
我们在试验时一般不急于考虑交互作用，且在我们这个项目中交互作用的影响比较小，查的文献中直接对交互作用闭口不提，所以就不考虑了。
这样的话不就可以列出各个参数下的计算结果的表达式了以B=90这个例子为例。
X 1=31=Y(A=80)+Y ’(A=80)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=5) +Y ’(C=5) X 4=53=Y(A=85)+Y ’(A=85)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=6) +Y ’(C=6) X 7=57=Y(A=90)+Y ’(A=90)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=7) +Y ’(C=7)其中Y （A=80）是理想状态下A 取80对计算结果的贡献，Y ’(A=80)是A 取80对计算结果贡献的实验误差。
方差分析定义和应用-方差分析
第 1 页
第1章绪论4章 方差分析
《医学统计学》目录 第2 页
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
第1章绪论4章 方差分析
第14 页
5.
正交试验设计的方差分析 如果要分析的因素有三个或三个以上，可进行 正交试验设计（orthogonal experimental design）的方差分析。
当分析因素较多时，试验次数会急剧增加，用此设计进行分析则更能体现出 其优越性。该设计利用正交表来安排各次试验，以最少的试验次数，得到 最佳的分析组合结果。
3. 主要原理：将各组数据的总变异按设计及研究目的分 为若干部分，再计算各部分的均方，两均方之比为F值。 F值与F临界值比较，决定P值大小，并根据P值大小推 断结论。
第1章绪论4章 方差分析
第6 （二）主要用途及应用条件有：
页
1. 进行两个或两个以上样本均数的比较； 2. 可以同时分析一个、两个或多个因素对试验结果的作用和影响； 3. 分析多个因素的独立作用及多个因素之间的交互作用； 4. 进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 5. 应用条件：方差分析对分析数据的要求及条件比较严格，即要求各样
第1章绪论4章 方差分析
第3
第4章 方差分析 目录
页
第一节 方差分析的基本思路 第二节 单因素方差分析 第三节 双因素方差分析 第四节 多个样本均数间两两比较 第五节 多个方差齐性检验 第六节 变量变换
正交试验设计及数据分析
通过对比各试验结果，直接观察各因素对试验指标的影响。
详细描述
根据正交试验结果，将各因素不同水平下的试验结果进行对比，直接观察各因素对试验指标的影响， 判断哪些因素对试验指标有显著影响。
方差分析法
总结词
通过比较各因素不同水平下的方差，判 断各因素对试验指标的影响程度。
VS
详细描述
利用方差分析法，比较各因素不同水平下 的方差，判断各因素对试验指标的影响程 度，确定哪些因素对试验指标有显著影响 。
验效率。
特点
均匀设计具有试验点均匀分散、 试验次数少、信息量丰富等优点， 适用于多因素、多水平的试验设
计。
应用
在化学、物理、工程等领域中， 均匀设计常用于多因素多水平试 验，以寻找最优的工艺参数或配
方。
拉丁方设计
定义
拉丁方设计是一种试验设计方法，其目的是通过合理地安排试验点，使得每个因素在每 个水平上只出现一次，从而消除顺序效应和边缘效应的影响。
在生产过程中，企业可以使用正交试验设计来优化生产工 艺参数，从而提高产品质量、降低生产成本、减少废品率 。例如，在注塑生产中，通过正交试验确定最佳的注射温 度、压力和冷却时间，以获得最佳的产品质量和产量。
案例二：正交试验在农业种植中的应用
总结词
利用正交试验优化农业种植技术，提高作物产量和品质 。
详细描述
03
利用正交试验设计，研究农作物在不同环境条件下的抗逆性表
现，为抗逆育种提供依据。
医药研究
01
药物筛选
临床试验
02
Байду номын сангаас03
毒理学研究
利用正交试验设计，筛选出具有 最佳疗效的药物成分和剂量组合。
通过正交试验，优化临床试验方 案，提高试验效率和数据可靠性。
正交设计试验资料的方差分析
数据整理
将收集到的数据整理成 表格形式，便于后续分 析。
数据筛选
对异常值进行筛选和处 理，确保数据质量。
正交设计试验资料的方差分析过程
确定试验因素和水平
明确试验因素和各因素的水平， 为后续分析提供基础。
计算各因素的效应值
根据试验结果，计算各因素的效 应值。
计算误差平方和
根据效应值和水平，计算误差平 方和。
跨学科融合
标准化与规范化
结合其他学科的理论和方法，拓展正交设 计试验的应用领域，推动多学科交叉融合 发展。
制定和完善正交设计试验的标准和规范， 提高试验的可靠性和可比性。
正交设计试验资料方差分析的实际应用价值
科学研究
在科学研究领域，正交设计 试验资料方差分析可用于探 索和验证科学假设，揭示现 象背后的机制和规律。
正交试验设计的基本原理
1 2
正交性原理
正交试验设计基于正交性原理，即每个因素在试 验中出现的次数相同，且各次出现的概率相等。
均匀分散原理
正交试验设计通过均匀分散原理，确保每个水平 在试验中都有均衡的分布，从而减少结果的偏差。
3
代表性原理
正交试验设计通过代表性原理，选取具有代表性 的样本点进行试验，以反映整体情况。
正交设计试验资料的方差 分析
• 正交设计试验概述 • 方差分析基础 • 正交设计试验资料的方差分析方法 • 实例分析 • 总结与展望
01
正交设计试验概述
正交试验设计的基本概念
正交试验设计是一种统计技术，用于 在多因素、多水平条件下进行试验， 以最小化试验次数，同时最大化信息 收集。
它利用正交表来安排试验，确保每个 因素的每个水平都被等可能地选取， 从而得到全面而均衡的试验结果。
(整理)正交试验结果的方差分析方法
正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。
等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。
显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。
即(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。
在数理统计上，这是一个很重要的问题。
显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。
如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。
因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。
有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
4.2正交试验方差分析
用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比 的特点。
均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素 水 平 组合在全部水平组合中的分布是均衡的 。 由 图1 可以看出，在立方体中 ，任一平面内都包含 3 个 试 验点， 任两平面的交线上都包含1个试验点。
整齐可比是指每一个因素的各水平间具 有可比性。
因为正交表中每一因素的任一水平下都 均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较 某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此 抵消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的 3 个水平 A1、A2、A3 条件下各有 B、C 的 3 个不同水平，即：
3711.0(T)
T2
1291.5 1278.5 1245.0
Tx 132
3
1218.0 1340.5 1323.5
x1
400.50 364.00 380.83
x
x2
430.50 426.17 415.00
x
x3
406.00 446.83 441.17
Ti为各因素同一水平试验指标之和 ，T为9个试 验号的试验指标之和；
表1 33试验的全面试验方案
B1
A1
B2
B3
B1
A2
B2
B3
B1
A3
B2
B3
C1 A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1
C2 A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2
x 为各因素同一水平试验指标的平均数。
该试验的9个观测值总变异由A因素、B因素、C 因素及误差变异4部分组成，因而进行方差分析时平方 和与自由度的分解式为：
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i1 j1
i1 j1
r ni
r ni
r ni
( X ij X i )2
(Xi X )2 2
( X ij X i )(X i X )
i1 j1
i1 j1
i1 j1
r ni
r
r ni
( X ij X i )2 ni ( X i X )2 2
( X ij X i )(X i X )
壤条件、苗间距等因素有关；
➢化工产品的转化率可能与原料配方、催化剂
用量、反应温度、加热时间等因素有关。
例：为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响，取
一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地，分
成16块。化肥品种记为A1 A2 A3 A4每种肥料施在四块
土地上，得亩产量如下：
实验指标
肥料品种A
A1
A1, A2, …表示。 ④单因素试验：在一项试验中，只有一个因子 的水平在改变，其他因子的水平取定。这样的 方差分析称为单因子方差分析或一元方差分析。 ⑤双因素试验：在一项试验中，有两个因子的 水平在改变。这样的方差分析称为双因子方 差分析或二元方差分析。
§1 一元方差分析
要解决的问题：
①因子对试验指标有无显著影响. ②若因子对试验指标有显著影响，在哪个水平下
前言
问题：多个正态总体均值的比较. 具体:1）影响试验指标的诸多因素中，哪些因素
的影响显著，哪些影响不显著？ 2）这些因素的作用是简单的叠加在一起的,
还是以更复杂的形式交错在一起的？
关键：找出检验统计量，写出拒绝域。
方差分析：解决上述问题的有效的统计方法。
§1 一元方差分析
①试验指标：试验对象的某项指标值。 ②因子：影响试验指标的因素，用A,B,…表示。 ③水平：因子所处的不同试验条件，分别用
X ij
(
ij )
~
i ij N (0, 2 I
n
)
其中称 ij Xij i ~ N(0, 2) 为随机误差；
1 n
r i 1
ni i
为 总 平 均 ； i i 为 A 因 子 i 水 平 效 应 ； 则
r
nii 0 （效应间的关系）
i 1
假设 H0 : 1 2 r H1 : i 不全相等；
即 H0 : 1 2 r 0 H1 :至少有一个i 0
§1 一元方差分析
2.找出检验统计量及 H0 成立时的分布 （1）平方和分解
①总离差平方和 QT ――反映了全体 X ij 的离散程度
r ni
r ni
QT
( X ij X )2
[(X ij X i ) ( Xi X )]2
i1 j1
i 1
i1 j 1
其其中中：： r ni
r
ni
22 r i 1
ni j 1
((
XX
ij ij
XXii
))((XXii
XX))
22
ir1[[((XXi
iXX))ni j
(
1
(XXij
ijXXi )i])]
i1 j 1
i 1
j 1
r
22 r i 1
[[((XX
i i
XX
))((
nnii j 1
应用统计学
目录
CH1 抽样与抽样分布 CH2 参数估计 CH3 设检验 CH4 方差分析、正交试验设计 CH5 回归分析
第四章 方差分析、正交试验设计
§1 一元方差分析 §2 二元方差分析 §3 正交试验设计
前言
实际中，某个试验指标的取值，往往与多 个因素有关。
➢农作物的产量可能与作物品种、施肥量、土
r
ni
i 1
Xi
X
n
i 1
X ij
j 1
n
ni
i 1
Xi
i1 jr1 ni
QT r ni
( X ij X )2
QT i1 (jX1ij X )2
i1 j1
§1 一元方差分析
分析： X ij 相同的原因： 一般平均 X ij 不同的原因: ①误差的存在 ②因子处于不同水平的影响
1.数学模型：
1 ni
ni
X ij
j 1
X , X ,, X X
r
1
,rX1
r
2
r
,r 2
ni
,
X
rnr
rnr
QA
(Xi X )2
QA QE
r
QEir1
njiniiri111((XjnXji1ij1i(XXiXji ))22X
i
)2
Xr
X 1
rX
r ni
1 n
r ni
X ij
i1 1j1r
1 n
试分析因子 A 对试验指标有无显著影响？
即水 平
水A1平 AA12 A 2
AArr
§1 一元方差分析
观测值
平均值
观 测 值 平 均值 XX21XX11,,2X1X11,21,2X2X,,2122,,,,~XX21N,,nnX1X2(21nni12, 2 )
X1
1 n1
X2
X1
X n1
X2 1j
j1
A2
A3 A4
亩产量 981，964，917，669 607，693，506，358 791，642，810，705 901，703，792，883
实验因素 因素水平
问施肥品种对小麦产量有无影响。
单因素 方差分析
例：为了比较四种不同肥料、三种土壤对小麦亩产量
的影响，化肥品种为A1 ，A2 ，A3 ，A4，土壤记为 B1，B2，B3每种肥料施在两块土地上，得亩产量如下：
XXiijj
nnii XXii))]] 22
r
ri1[([(XXi
iXX)()n(ni Xi Xi
i ninXi Xi )i])] 0
0
i 1
j 1
i1
E、 Ar
QE
2
i 1
[(
Xi
X
)(QniTXiQniEXi )]Q A0
QA
于是，总离差平r 方ni 和被分解为组r 内离差平方和与
从而： QT
土壤种类 肥料品种
A1 A2
B1 693，506 810，705
B2 607，358 981，964
B3 810，705 792，883
实验指标 实验因素 因素水平
A3
791，642
810，705
843，766
A4
917，669
657，703
901，703
两因素 方差分析
问施肥品种、土壤种类及交互作用对小麦产量有无影响。
( Xij Xi )2 ni ( Xi X )2
组间离差平方和之和。 ②组内离差平方和 ——反映了 的作用 i1QjE1
试验指标最优. ③若有两个以上的因子,它们之间有无交互作用.
§1 一元方差分析
问题：已知因子 A ，其有 r 种水平 A1, A2,, Ar ，在每
r
一种水平下做了 ni (i 1,2,, r) 次试验，且 ni n ，设 i 1
在水平 Ai 下的试验值 X i ~ N (i , 2 ) 且所有 X i 之间相互 独立。