吉林一中数学圆 几何综合达标检测(Word版 含解析)

吉林一中数学圆几何综合达标检测（Word版含解析）
一、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB 于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x，ACO
OBD
S
S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
【答案】（1）2；（2）
2825
x x x
-+
（0＜x＜8）;（3）AD=
14
5
或6．
【解析】
【分析】
(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.
(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.
(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.
【详解】
解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，
∴OD⊥AB，AC=
1
2
AB=4，
在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，
∴22
AO AC
-，
∴OD=5，
∴CD=OD﹣OC=2；
（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
则由（1）可得AH=4，OH=3，
∵AC=x，
∴CH=|x﹣4|，
在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，
∴22
HO HC
+22
3|x4|
+-2825
x x
-+
∴CD=OD ﹣OC=5
过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴
OH OC
DG CD
=， ∴DG=OH CD OC
⋅
35， ∴S △ACO =
12AC ×OH=12x ×3=32
x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣
x ）×（3
35）=3
2
（8﹣
x ）
∴y=
ACO OBD
S S
=
()32
3582x x -
（0＜x ＜8）
（3）①当OB ∥AD 时，如图3，
过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB•OH=1
2
OB•AE ， AE=
AB OH OB ⋅=24
5
=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，
AO=5，
∴75
∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，
∴AD=2AF=14
5
．
②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，
则由①的方法可得DG=BM=
245
， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，
∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185
， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，
∴AD=
22AG DG +=6
综上得AD=
14
5
或6．
故答案为（1）2；（2）y=()
2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=14
5或6．
【点睛】
本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.
2．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；
（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．
【答案】（1）CE ＝2；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】
（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610
r r -= 解得即可；
（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，
GB GE
AB AC
=，即12108GE =，解得即可. 【详解】
解：（1）如图①，连接OE ，
∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°，
∵AC ＝8，⊙O 的半径为2， ∴OC ＝6，OE ＝2，
∴CE ＝2242OC OE -= ； （2）设⊙O 的半径为r ，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC 22AB A C -＝6， ∵AF ＝BF ， ∴AF ＝CF ＝BF ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠OEC ＝90°， ∴∠OEC ＝∠ACB ， ∴△OEC ∽△BCA ， ∴
OE OC BC BA =，即8610
r r
-= 解得r ＝3， ∴⊙O 的半径为3；
（3）如图②，连接BG ，OE ，设EG 交AC 于点M ，
由对称性可知，CB＝CG，
∵CE＝CG，
∴∠EGC＝∠GEC，
∵CE切⊙O于E，
∴∠GEC+∠OEG＝90°，
∵∠EGC+∠GMC＝90°，
∴∠OEG＝∠GMC，
∵∠GMC＝∠OME，
∴∠OEG＝∠OME，
∴OM＝OE，
∴点M和点D重合，
∴G、D、E三点在同一直线上，
连接AE、BE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，
又CE＝CB＝CG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，
∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，
∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，
∴GB GE
AB AC
=，即
12
108
GE
=
∴GE＝9.6，
故G、E两点之间的距离为9.6．
【点睛】
本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关
3．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作
MN∥B C交AC于点N．
（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．
i．若点P正好在边BC上，求x的值；
ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，
当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜
时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．
【解析】
试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；
ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2
②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．
试题解析：（1）i．如图1，
由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，
又MN∥BC，
∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，
∴∠B=∠BPM，
∴AM=PM=BM，
∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴AN=，
△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，
∴，
②当2＜x＜4时，如图2，
设PM，PN分别交BC于E，F，
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，
由题意知△PEF∽△ABC，
∴，
∴S△PEF=（x-2）2，
∴y=S△PMN-S△PEF=，
∵当0＜x≤2时，y=x2，
∴易知y最大=，
又∵当2＜x＜4时，y=，
∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，
综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，
设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN=x
∴OD=x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴，
∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4
∴x=，
∴当x=时，⊙O与直线BC相切；
当x＜时，⊙O与直线BC相离；
x＞时，⊙O与直线BC相交．
考点：圆的综合题．
4．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．
（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；
（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．
【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．
【解析】
试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；
（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；
（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.
矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；
（1）等腰梯形是“四边形”；
（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.
考点：动点问题的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
5．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；
（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角
形，AD＞CD，求AD
CD
的值．
【答案】（1）详见解析；（2）33+3；（3）AD
CD
=
62
+
或
6
．
【解析】
【分析】
(1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；
(2）首先连接0A，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；
(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵点C是弧BD的中点，即BC CD
=，
∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，
∵AC=AC，
∴△ABC和△ACD是同族三角形.
（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，
∵2，AB=6，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，
∴∠C=∠AOB=45°，
∵∠BAC=30°，
∴BE=AB=3，
∴22
AB BE
-3，
∵CE=BE=3，
∴3
（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，
如图2，当CD=CB时，∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ACD=75°， ∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32， ∴AD 333CD 32
+==622+； 如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，
则∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°，
∴DF=CD•sin60°=6×32
3 ∴2DF=36
∴AD 36CD ==62
综上所述：
AD CD =622或62 【点睛】
本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.
6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．
（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．
（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ；
（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？
【答案】（1）24cm ，()
926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】
【分析】
（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时
121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，
261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+===
=，所以926()MN ON OM cm =-=； （2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，
29016669183602
BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，
262OB OH ==1262OC BC OB =-=-61262182()cm +--，运动时间为18629322
x -==-)． 【详解】
解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时
121224()MN DB DE BC cm ==+=+=
如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，
MN ON OM =-，
45ABC ∠=︒，
45NOB ∴∠=︒，
在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=
292()2
ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，
故答案为24cm ，(926)cm -；
（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，
设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．
BC 为直径，
90CHB ∴∠=︒，
45ABC ∠=︒
45HCB ∴∠=︒，
HC HB ∴=，
OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，
29016669183602
BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，
0x ∴=（秒)或6（秒)；
当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，
连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =
45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，
262OB OH ∴=，
1262OC BC OB =-=-， 移动的距离为612621862()cm +-=-，
运动时间为1862932x -==-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．
【点睛】
本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.
7．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13
，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是
813132
+，最小值是813132- 【解析】
【分析】
（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；
（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；
（3）△ACF 的面积有最大和最小值，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ，证明△FAG ～△EAD ，进而证明点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小，分别求出△ACD 的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF 的面积的最小值；②当F 在F 2时，四边形ADCF 的面积有最大值，在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF 的面积的最大值．
【详解】
解：（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求，如图1所示；
（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短．
理由：分别在线段AB ，⊙C 上任取点P '，点Q '，连接P '，Q '，CQ '，如图2，
由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '，
∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '，
又∵CQ ＝CQ '，
∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短．
在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =
+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ∆=•=•， ∴68 4.810
AC BC CP AB •⨯===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2， ∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．
当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2．
（3）△ACF 的面积有最大和最小值．
如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．
∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=
， ∴13
AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，
∴AC ＝GB ＝3，
又∵AD ＝9， ∴
3193AG AD ==， ∴D
AF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，
∴∠FAG ＝∠EAD ，
∴△FAG ～△EAD ，
∴
13
FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，
∴FG ＝1， ∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，
连接AC ，则△ACD 的面积＝692722
CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，
①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，
在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =
+=+=∴313sin 313BC BAC AC ∠=== 在Rt △ACH 中，313913sin 3GH AG BAC =•∠== ∴11913113
F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：11191327313313(1)22AC F H -•=⨯-=； ∴四边形ADCF 面积最小值是：273138131327--+
=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，
∴GH ＝MN ，
在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，
∴PG ＞PN ，
又∵F 2G ＝PG ，
∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，
∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，
∴面积有最大值，
∵22913113
F H GH GF =+=+， ∴△ACF 面积有最大值是
21191327313313(1)22AC F H +•=⨯⨯+=； ∴四边形ADCF 面积最大值是273138131327+++=； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是
813132+，最小值是813132-． 【点睛】
本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A 点出发，到笔直的河岸l 去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于点P ，则PA +PB ＝A ′B 的值最小．
解答问题：
（1）如图2，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，求PA +PC 的最小值；
（2）如图3，已知菱形ABCD 的边长为6，∠DAB ＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿A →C 的方向，向点C 运动．当到达点C 后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x 轴上某一点M 时，立即以每秒1个单位的速度，沿M →B 的方向，向点B 运动．当到达点B 时，整个运动停止．
①为使点P 能在最短的时间内到达点B 处，则点M 的位置应如何确定？
②在①的条件下，设点P 的运动时间为t （s ），△PAB 的面积为S ，在整个运动过程中，试求S 与t 之间的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．
【答案】（1）PA +PC 的最小值是32）①点M 30）时，用时最少；②S 与t 之间的函数关系式是当3t 3S ＝3﹣3t ；当0＜t 3S
＝3t．当43＜t≤63时，S＝﹣3t+183．
【解析】
【分析】
（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小；（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；
②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（3，0）以及到B 的解析式．
【详解】
解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，
则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小，
∵AM是直径，∠AOC＝60°，
∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，
∴AC＝1
2
AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝22
AM AC
＝23．
答：PA+PC的最小值是23．
（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，
∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意，
∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，
∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝33，
在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝1
2
AP，由勾股定理得：AP＝43，BP＝23，
∴点M的位置是（3，0）时，用时最少．②当0＜t≤33时，AP＝2t，
∵菱形ABCD，
∴∠OAB＝30°，
∴OB＝1
2
AB＝3，
由勾股定理得：AO＝CO＝33，
∴S＝1
2
AP×BO＝
1
2
×2t×3＝3t；
③当33＜t≤43时，AP＝63﹣（2t﹣63）＝123﹣2t，
∴S＝1
2
AP×BO＝
1
2
×（123﹣2t）×3＝183﹣3t．
当43＜t≤63时，
S＝1
2
AB×BP＝
1
2
×6×[23﹣（t﹣43）]＝﹣3t+183，
答：S与t之间的函数关系式是当33＜t≤43时，S＝183﹣3t；当0＜t≤33时，S＝3t．当43＜t≤63时，S＝﹣3t+183．
【点睛】
本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．
9．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；
（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6
MN
【解析】
【分析】
（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到
2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；
（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；
（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG
=52，可求得a=2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形
的性质可得到HG=2x，然后依据S△BHG=1
2
BH•HG=42，可求得x=2，故此可得到HB、
GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠BAC+2∠C=180°．
∵BD⊥AC，
∴∠ADE=90°．
∴∠E+∠CAE=90°．
∴2∠CAE+2∠E=180°．
∵∠E=∠ACB，
∴2∠CAE+2∠ACB=180°．
∴∠BAC=2∠CAE．
（2）连接OB、OC．
∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，
∴△ABO≌△ACO．
∴∠BAO=∠CAO．
∵∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAO=∠CAE．
在△ABF和△ACE中，
ABF ACE
AB AC
BAF CAE
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABF≌△ACE．
∴BF=CE．
（3）连接HG、BM．
∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，
∴AG⊥BC，BG=CG．
∵BH=DH，
∴HG是△BCD的中位线．
∴HG∥CD．
∴∠GHF=∠CDE=90°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．
∴HO=OF．
∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，∴∠OGH=∠OHG．
∴OH=OG．
∴OF=OG．
∵OM=OC，
∴四边形MFCG是平行四边形．
又∵MC是圆O的直径，
∴∠CBM=90°．
∴四边形MFGB是矩形．
∴MB=FG，∠FMB=∠AFN=90°．
∵MF∥BC，
∴△MFH∽△CBH．
∴
1
2
HF MF
BH CB
==．
∴HF ：HD=1：2．
∴HF=FD ．
在△ADF 和△GHF 中，
AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADF ≌△GHF ．
∴AF=FG ．
∴MB=AF ．
在△MNB 和△NAF 中，
90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MNB ≌△NAF ．
∴MN=NF ．
设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，
∴S 四边形BHOG
．
∴
．
设HF=x ，则BH=2x ．
∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ，
∴△GFH ∽△BFG ． ∴HF GH HG BH =，即2x HG HG x
=． ∴
． ∴S △BHG =
12BH•HG=12
， 解得：x=2．
∴HB=4，
．
由勾股定理可知：
．
∴
．
∴
．
【点睛】
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．
10．如图，在O 中，AB 为直径，过点A 的直线l 与O 相交于点C ，D 是弦CA 延长
线上一点，BAC ∠，BAD ∠的平分线与
O 分别相交于点E ，F ，G 是BF 的中点，过点G 作MN AE ，与AF ，EB 的延长线分别交于点M ，N ．
（1）求证：MN 是
O 的切线； （2）若24AE =，18AM =． ①求O 的半径；
②连接MC ，求tan MCD ∠的值． 【答案】（1）见解析；（2）①13；②
2741 【解析】
【分析】
（1）如图1，连接 GO 、GA ，先根据角平分线的定义证明∠MAE=12
（∠BAC+∠BAD ）=90°，由圆周角定理和同圆的半径相等得∠OGA=∠FAG ，则OG ∥AM ，所以∠MGO=180-∠M=90，从而得结论；
（2）①延长GO 交AE 于点P ，证明四边形 MGPA 为矩形，得GP=MA=18，∠GPA=90°，设OA=OG=r ，则OP=18-r ，根据勾股定理列方程解出即可；
②如图3，过M 作MH ⊥l ，连接BC ，延长NE 交l 于I ，连接GO 交延长交AE 于P ，tan ∠MAH=tan ∠ABE=tan ∠BIA=125
，BI=2BE=20，根据三角函数计算MH ，AH ，CI 的长，最后计算MH 和HC 的长，代入tan ∠MCD=
MH HC
，可得结论． 【详解】
（1）证明：如图1，连接GO ，GA ，
∵BAC ∠，BAD ∠的平分线与O 分别相交于点E ，F ，
∴1()902MAE BAC BAD ∠=
∠+∠=︒． ∵MN AE ，
∴18090M MAE ∠=︒-∠=︒． ∵G 是BF 的中点，
∴FG BG =，
∴FAG BAG ∠=∠．
∵OA OG =，
∴OGA BAG ∠=∠，
∴OGA FAG ∠=∠，
∴OG AM ∥，
∴18090MGO M ∠=︒-∠=︒．
∵OG 为
O 半径， ∴MN 是O 的切线．
（2）解：①如图2，连接GO 并延长交AE 于点P ，
∵90MGO M MAE ∠=∠=∠=︒，
∴四边形MGPA 为矩形，
∴18GP MA ==，90GPA ∠=︒，即OP AE ⊥，
∴1122
AP AE ==． 设OA OG r ==，则18OP r =-，
在Rt OAP △中，∵222OA OP AP =+，
∴222(18)12r r =-+，
解得：13r =，
故O 的半径是13．
②如图3，过M 作MH l ⊥，连接BC ，延长NE 交l 于I ，连接GO 并延长交AE 于P ，
由①知：13OG =，18PG =，
∴5OP =．
∵AB 是O 的直径，
∴90AEB AEI ∠=∠=︒．
∵BAE EAC ∠=∠，
∴ABE AIB ∠=∠，
∵AM NI ∥，
∴MAH BIA ABE ∠=∠=∠，
∴12tan tan tan 5
MAH ABE BIA ∠=∠=∠=
，220BI BE ==． ∵12cos 13HM AMH AM ∠==，5sin 13AH AMH AM ∠==，5sin 13CI CBI BI ∠==， ∴181********MH ⨯==，185901313AH ⨯==，5100201313
CI =⨯=， ∴100238261313
AC AI CI =-=-=， ∴23890328131313HC AH AC =+=+=， ∴21627tan 32841
MH MCD HC ∠=
==． 【点睛】
本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．。