2020届上海市松江区高三在线质量评估(4月)数学试题(解析版)

2020届上海市松江区高三在线质量评估（4月）数学试题
一、单选题
1．若复数z =
52i -，则|z |=（ ）
A ．1
B C ．5 D ．【答案】B
【解析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果
【详解】
|z |=5||2i -=5|2i|- 故选：B.
【点睛】
此题考查的是求复数的模，属于基础题
2．已知向量(1,),a m =r (2,5)b =r 若a b ⊥r r ，则实数m =( )
A ．1
B ．52
C ．25
D ．25
- 【答案】D 【解析】根据向量(1,),a m =r (2,5),b =r a b ⊥r r ，利用数量积公式由0a b ⋅=r r 求解.
【详解】
Q 向量(1,),a m =r (2,5),b =r a b
⊥r r ， 250a b m ∴⋅=+=r r ， 解得实数25m =-
. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．已知{|1},A x x =≤2|
0x B x x a -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭
，若{|2}A B x x ⋃=≤，则实数a 的取值范围是( )
A ．2a ≥
B ．2a ≤
C ．1a ≥
D ．1a ≤
【答案】D
【解析】根据{|1},A x x =≤{|2}A B x x ⋃=≤，2|0,x B x x a -⎧
⎫=≤⎨⎬-⎩⎭
得到{|2}B x a x =<≤求解.
【详解】
{|1},A x x =≤Q 2|0,x B x x a -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭
{|2}A B x x ⋃=≤， {|2}B x a x ∴=<≤，
1a ∴≤.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．已知椭圆2222=1(0)x y a b a b +>>分别过点(2,0)A 和点1,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，则该椭圆的焦距为( )
A B ．2 C ．D ．【答案】C
【解析】根据椭圆过点(2,0)A 和点1,2B ⎛ ⎝⎭
，得到2a =，221314a b +=联立求解. 【详解】
因为椭圆过点(2,0)A 和点B ⎛ ⎝⎭
所以2a =，且221314a b
+=， 可得：24,a =21,b =222413c a b =-=-=，
所以c =2c =
故选：C.
【点睛】 本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．已知实数0,a >0b >，且2ab =，则行列式11a b
-的( )
A ．最小值是2
B ．最小值是
C ．最大值是2
D ．最大值是【答案】B
【解析】根据
11a b a b =+-，再由2ab =，利用基本不等式求解.
【详解】 Q 实数0,a >0b >，且2ab =，
11a b
a b ∴=+≥=-
当且仅当a b =时，取等号，
∴
行列式
11a b -的最小值是故选：B.
【点睛】 本题主要考查行列式的运算及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．“1k =”是“直线1:10l kx y ++=和直线2:30l x ky ++=平行”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据直线1:10l kx y ++=和直线2:30l x ky ++=平行，则210k -=，再用集合法判断.
【详解】
由直线1:10l kx y ++=和直线2:30l x ky ++=平行
则210k -=，解得1k =±.
经过验证，1k =±都满足条件. ∴“1k =”是“直线1:10l kx y ++=和直线2:30l x ky ++=平行”的充分不必要条件. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查逻辑条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】C
【解析】由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．
【详解】
连接1AC ，1BC ，如图：
又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.
因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，
又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =
+=
∴1tan 3BAC ∠=160BAC ∠=︒.
故选C
【点睛】
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
8．样本中共有五个个体，其值分别是a ，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D 2 【答案】D
【解析】根据样本的平均数是2，求得a ，再代入标准差公式求解.
【详解】
因为数据a ，1，2，3，4的平均数是： 所以1(1234)25
a ⨯++++=，
解得0a =；
所以该组数据的方差是： 2222221(02)(12)(22)(32)(42)25s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦，
标准差是s =
故选：D.
【点睛】
本题主要考查样本估计总体中的平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是( )
A ．1y x -=-
B ．,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩
C ．||y x x =
D ．22x x y -=+
【答案】C
【解析】A ：利用幂函数的性质判断；B ：利用一次函数的性质判断；C ：利用二次函数的性质判断；D ：利用奇偶性定义判断.
【详解】
A ：1y x -=-在定义域内(0,)(,0)+∞⋃-∞内不单调，不符合题意；
B ：,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩
在定义域R 上先减后增，不符合题意； C ：22,0,0
x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩在定义域R 上单调递增，且
()||||()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，符合题意；
D ：因为()()2
222x x x x f x f x ---=+==+，所以函数为偶函数，不符合题意.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
10．给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.
【详解】
①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.
②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补，故③错误.
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B
【点睛】
本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.
11．已知6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，在0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )
A ．12
B ．37
C ．47
D ．821
【答案】B
【解析】根据6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，将0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 计算出来，分
清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.
【详解】
因为6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，
0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数分别为：
061,C =166,C =2615,C =3620,C =4615,C =566,C =66
1,C =. 4个奇数，3个偶数；
从中任取两数共有：2721C =种；
所取的两数之和为偶数的有：22439C C +=；
∴所取的两数之和为偶数的概率为：
93217
=. 故选：B.
【点睛】 本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12．下列命题中是假命题的是( )
A ．对任意的ϕ∈R ，函数()cos(2)f x x ϕ=+都不是奇函数
B ．对任意的0a >，函数2()log f x x a =-都有零点
C ．存在α、R β∈，使得sin()sin sin αβαβ+=+
D ．不存在k ∈R ，使得幂函数223()k
k f x x -+=在(0,)+∞上单调递减 【答案】A
【解析】A ：取()2k k Z π
ϕπ=+∈判断. B ：根据函数2()log f x x =的值域为R 判断.C ：
取0αβ==判断.D ：根据2223(1)20k k k α=-+=-+>判断.
【详解】
A ：当()2k k Z π
ϕπ=+∈时，()sin 2f x x =±，故函数为奇函数，故该命题为假命题.
B ：对任意的0a >，函数2()log f x x =的值域为R ，所以无论a 取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题.
C ：当0αβ==时，使得sin()sin sin 0αβαβ+=+=，故该命题为真命题.
D ：由于2223(1)22k k k α=-+=-+≥，所以函数y x α=在(0,)x ∈+∞单调递增，故不存在k ∈R ，使得幂函数223()k
k f x x -+=在(0,)+∞上单调递减，故该命题为真命题.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
13．函数21()log 1x f x x
+=-的大致图象为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】先判断函数的定义域，再利用奇偶性排除部分选项，再根据x →+∞时，121111
x x x +=--→--，则()0f x →确定. 【详解】 根据题意，21()log 1x f x x +=-，有101x x
+≠-， 则有1x ≠±，即函数的定义域为{|1}x x ≠±，
又由2211()log log ()11x x f x f x x x
-+-==-=-+-， 即函数为奇函数，排除A ；
又由当x →+∞时，
121111x x x +=--→--，则()0f x →，排除B ，D ； 故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
14．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高1()AB km =，3()CD km =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为60°，120BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为( )
A ．2()km
B 10()km
C 13()km
D ．33(km)
【答案】C 【解析】根据题意可得1,AB =3CD =，30,AEB ∠=︒60,CED ∠=︒120BED ∠=︒，利用正切函数的定义求得BE ，DE ；在BED V 中，利用余弦定理求得BD ，然后利用勾股定理求解.
【详解】
1,AB =3CD =，
30,AEB ∠=︒60,CED ∠=︒120BED ∠=︒，
3,tan 303AB BE ∴===︒3tan 603CD DE ===︒； 在BED V 中，由余弦定理得：
2222cos BD BE DE BE DE BED =+-⨯⨯⨯∠
1332332⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭
9=， 所以3BD =； 所以222()9(31)13AC BD CD AB =+-=+-=
即两山顶A ，C 13km .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
11,a =2121n n a S n +=++()*n ∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则lim n n T →∞=( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．2
【答案】C
【解析】利用数列的通项与前n 项和的关系，由2121n n a S n +=++求得,n a n =再由
11111(1)1
+==-++n n a a n n n n ，用裂项相消法求和. 【详解】
依题意，由2121n n a S n +=++，可得：
212,n n a S n -=+(2)n ≥，
两式相减，可得：
221121221n n n n n a a S n S n a +--=++--=+，
()2
221211n n n n a a a a +∴=++=+， 10,n a +>Q 10n a +>，11n n a a +∴=+，
∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，
1(1)1,n a n n ∴=+-⋅=*n ∈N .
11111(1)1
n n a a n n n n +∴==-++， 则12231111n n n T a a a a a a +=
+++ (1111112231)
n n =-+-+⋯+-+ 1111
n n n =-=++， ∴则lim lim 11n n n n T n →∞
→∞==+. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系，等差数列的定义以及裂项相消法数列求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．在△ABC 中，已知AB =3，AC =5，△ABC 的外接圆圆心为O ，则AO BC ⋅=u u u r u u u r （ ） A ．4 B ．8 C ．10
D ．16
【答案】B
【解析】画出图形，并将O 和AC 中点D ，O 和AB 中点E 连接，从而得到OD AC ⊥，
OE AB ⊥，根据数量积的计算公式以及条件即可得出252AO AC ⋅=u u u r u u u r ，9
2
AO AB ⋅=u u u r u u u r ，从而()
AO BC AO AC AB ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而可得到AO BC ⋅u u u r u u u r
的值.
【详解】
如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ， 则OD AC ⊥，OE AB ⊥，
∴212522
AO AC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，
21922
AO AB AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，
()
259
822
AO BC AO AC AB AO AC AO AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
故选：B 【点睛】
本题主要考查了数量积的定义、向量的运算法则以及三角形的外心，属于基础题.
17．已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，且12n x x x <<⋅⋅⋅<，则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( ) A ．2π B ．
11
3
π C ．4π D ．
223
π 【答案】D
【解析】根据()f x 的对称轴方程为k ,6
2x π
π=+
k ∈Z .得到()f x 在130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有5条对称轴，将原式变形
()()()1211223122n n n n x x x x x x x x x x --++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++，利用零点关于对称轴
对称求解. 【详解】 令26
2
x k π
π
π+
=
+得,6
2
k x π
π
=
+
k ∈Z ， 即()f x 的对称轴方程为k ,6
2
x π
π
=
+
k ∈Z . ()f x Q 的最小正周期为,T π=130,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦， ()f x ∴在130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有5条对称轴， 第一条是
6π
，最后一条是：136
π； 1,x 2x 关于6
π对称，2,x 3x 关于
46π对称…4,x 5x 关于106
π对称 122,6
x x π
∴+=⨯
2342,6x x π+=⨯
3472,6x x π+=⨯,⋅⋅⋅451026
x x π+=⨯， 将以上各式相加得：
1231471022222266663n n x x x x x πππππ
-⎛⎫+++⋯++=⨯+++=
⎪ ⎭⎝
. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18．设实系数一元二次方程()2
210200a x a x a a ++=≠在复数集C 内的根为1x 、2x ，
则由()()()2
21222122120a x x x x a x a x x x a x x --=-++=，可得
1
122
,a x x a +=-
0122a x x a =.类比上述方法：设实系数一元三次方程
322340x x x +++=在复数集C 内的根为1,x 2,x 3x ，则222
123x x x ++的值为( )
A ．﹣2
B ．0
C ．2
D ．4
【答案】A
【解析】用类比推理得到
32234x x x +++()()()
123x x x x x x =---()()32123121323123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，再用待定系数法得到
123x x x ++，121323x x x x x x ++，再根据
222
123x x x ++()()2
1231213232x x x x x x x x x =++-++求解.
【详解】
32234x x x +++Q
()()()123x x x x x x =---
()()32123121323123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，
由对应系数相等得：
1232,x x x ++=-1213233x x x x x x ++=，
222123x x x ∴++
()()2
1231213232x x x x x x x x x =++-++
462=-=-.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查合情推理以及待定系数法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.
19．已知函数8
()3f x x a x
=+
+关于点(0,12)-对称，若对任意的[1,1],x ∈-()
220x x k f ⋅-≥恒成立，则实数k 的取值范围为( )
A ．11k ≤-
B ．11k ≥-
C ．1k ≤
D ．11k ≥
【答案】D
【解析】根据83y x x =+
为奇函数，其图象关于(0,0)对称，再由8
()3f x x a x
=++关于点(0,12)-对称，可得a ，再将对任意的[1,1]x ∈-，()220x
x
k f ⋅-≥恒成立，转
化为()
2
8
12
322x x k ≥
-
+，在[1,1]x ∈-恒成立，令12x
t =，求
2
233
()8123842
h t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭的最大值即可.
【详解】 由8
3y x x
=+
为奇函数，可得其图象关于(0,0)对称， 可得()f x 的图象关于(0,)a 对称，
函数8
()3f x x a x
=+
+关于点(0,12)-对称，可得12a =-， 对任意的[1,1]x ∈-，()220x
x
k f ⋅-≥恒成立，
即x 8
232122
x
x
k ⋅≥⋅+
-，在[1,1]x ∈-恒成立， 所以()
2
8
12
32
2x x k ≥
-
+，在[1,1]x ∈-恒成立， 令12x t =
，由[1,1]x ∈-，可得1,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 设2
2
33()8123842
h t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当2t =时，()h t 取得最大值11， 则k 的取值范围是11k ≥， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查函数的对称性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20．已知点(1,2)P 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，点P 关于原点O 的对称点为点Q ，
过点Q 作不经过点O 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，则直线PA 与PB 的斜率之积为( ) A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．﹣2
【答案】C
【解析】根据点(1,2)P 在抛物线2
:2C y px =上，得到抛物线方程：2
4y x =，根据
(1,2)Q --，设直线AB 的方程为(1)2(0)y k x k =+-⋅≠，与抛物线方程联立消去x 得：
2
4480ky y k -+-=， 然后由1244
22
PA PB k k y y ⋅=
⋅++，将韦达定理代入求解. 【详解】
由点(1,2)P 在抛物线2
:2C y px =上， 可得24p =，2p ∴=，
∴抛物线方程为：24y x =，
由已知得(1,2)Q --，设点()11,,A x y ()22,B x y ， 由题意直线AB 斜率存在且不为0，
设直线AB 的方程为(1)2(0)y k x k =+-⋅≠，
联立方程2
(1)24y k x y x
=+-⎧⎨
=⎩，消去x 得：2
4480ky y k -+-=， 124,y y k
∴+=128
4y y k =-，
因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2
114,y x =2224y x =，
112111224
,121
4
PA y y k y x y --∴=
==-+-2222412PB
y k x y -==-+， 1244
22
PA PB k k y y ∴⋅=
⋅++ ()12121616
2
8424424y y y y k k
=
==+++-+⨯+， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321
n a n =
+，{}n b 是各项和为1
2的等比
数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，则满足条件的数列{}n b 的个数为( ) A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．无穷多个
【答案】C
【解析】根据数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，其中321n a n =
+，设13
21
b k =+（1,k ≥k +∈N ），公比1(0)q m m
=
>，则13132121n n b q k m p =⋅=++（,k p N +
∈）对任意的n +
∈N 都成立，得到m 是正奇数，又S 存在，则1m >，然后根据11
12
b S q =
=-，结合13
21
b k =
+对m 进行讨论分析. 【详解】 设1321b k =
+（1,k ≥k +∈N ），公比1
(0)q m m =>， 则13132121
n
n b q k m p =
⋅=++（,k p N +
∈） 对任意的n +∈N 都成立，
故m 是正奇数，又S 存在，所以1m >.
3m =时，1
2S =
，此时139
b =，即133n n b +=，成立. 当5m =时，1
2
S =
，此时125b =，
2
5
Q
不是数列{}n a 中的项，故不成立. 7m =时，1
2S =
，此时13,7
b =37n n b =，成立. 当9m ≥时，1819
m -≥，由13
1211121b k q m
+=
=--，
得
311412129k m ⎛⎫=-≥ ⎪+⎝⎭，得23
8
k ≤， 又因为k +∈N ，所以1k =，2，此时11b =或3
5
， 分别代入11
12
b S q =
=-，得到0q <不合题意，
由此满足条件的数列只有两个，即1
33n n b +=，或3
7n
n b =， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查数列的新定义及无穷等比数列各项和的应用，还考查了特殊与的思想和推理论证的能力，属于中档题.。