2022年秋高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数课件新人教A版选择性

2
区别,组合数为C10
=45.
3
(3)是组合问题,因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别,组合数为C10
=120.
(4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的,排列数为
A310 =720.
规律方法 1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素中取出
m(m≤n)个不同的元素.
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1 组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个组合.
可类比集合元素的无序性
2.相同组合:两个组合只要 元素相同
的.
,不论元素的顺序如何,都是相同
名师点睛
排列与组合的区别与联系
学以致用•随堂检测全达标
1.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有(
A.A310 种
3
B.C10
种
3 3
C.C10
A10 种
D.30 种
答案 B
3
C
解析 三张票没区别,从10人中选3人即可,即 10 .
)
2
2.若A2 =3C-1
,则 n 的值为(
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 C
2
解析 因为A2 =3C-1
提示 “组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的元素中
取出m(m≤n)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一组对象;组合
数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它
是一个数.
知识点3 组合数的性质
性质
1:C
=
-
C .
组合数的对称性
-1

*
=
(m,n∈N
,且

A
!
m≤n),一般用于
求值计算.
(2)公式C
=
!
(m,n∈N*,且
!(- )!
m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式
时,要根据题目特点正确选择.
(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C
能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
=
-
C , C+1
选法,再从另外的 9 人中选 4 人有C94 种选法.共有C31 C94 =378(种)不同的选法.
(5)(方法一
直接法)可分为三类:
第 1 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C31 C94 种选法;
第 2 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C32 C93 种选法;
第 3 类,甲、乙、丙 3 人均参加,有C33 C92 种选法.
D.将3张不同的电影票分给10人中的3人,每人 1张
答案 C
解析 只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关,是组合问题.
探究点二 组合数公式
98
199
【例 2】 (1)计算:①3C83 -2C52 + C88 ;②C100
+ C200
.
(2)求证:C+1
+
(1)解①3C83 -2C52
3
C
(1) 5 =5×4×3=60.( × )
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得6个积.( √ )
(3)“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”,叫做“从3个不同元素中取出
2个元素的组合数”.( × )
(4)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个.( × )
2.“组合”与“组合数”是同一概念吗?它们有什么区别?
5
(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12
种,甲、乙、丙三人全参加的有
5
C92 种选法,所以共有C12
− C92 =756(种)不同的选法.
规律方法 组合问题的基本解法
判断是不是组合问题→是否分类或分步→根据组合的相关知识进行求解
变式训练3
(2022北京西城期末)从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)组合与组合数的定义;
(2)组合数的计算与证明;
(3)组合数的两个性质及应用;
(4)排列与组合的区别与联系;
(5)组合数在实际问题中的应用.
2.方法归纳:公式法、间接法、分类讨论法.
3.常见误区:(1)分不清“排列”还是“组合”;(2)易忽视组合数中m与n的限制
条件;(3)计算中不能构造组合数性质.
98
②C100
+
199
C200
-1
C +2C
+
=
+1
= C+2
.
8×7×6
5×4
8
C8 =3× 3×2×1-2× 2×1+1=149.
2
C100
+
1
C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
!
!
2·!
(2)证明左边=(+1)!(--1)! + (-1)!(-+1)! + !(-)!
=
!
·
(+1)!(-+1)!
!
[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]=(+1)!(-+1)! ·(n+2)(n+1)
(+2)!
=(+1)!(-+1)!
+1
= C+2
=右边.
规律方法
(1)公式C
=
A
(-1)(-2)…(- +1)
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合
与元素的顺序无关.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)1,2,3与3,2,1是不同的组合.( × )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(3)“10人相互通一次电话,共通多少次电话”是组合问题.( √ )
2.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列与组合的区别是什
么?
提示 排列要求取出的元素要有顺序的排成一组,而组合则只要求取出后构
成一组即可,不要求顺序.
知识点2 组合数与组合数公式
1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的

组合数
C
个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的
,
所以
3(-1)(-2)
n(n-1)=
,
2
又n≥3,
解得n=6.
故选C.
)
3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有
个.
答案 5
解析 满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个
数为 C54 =5.
18
4.C30 + C41 + C52 +…+C21
,用符号 表
示.

A
A

(-1)(-2)…(- + 1)
=____________________________
!
2.组合数公式: nm =
!
!(-)!
=
,这里n,m∈N*,并且m≤n.
另外,我们规定 C0 = 1 .
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
解(方法一
直接法)甲、乙、丙三人至多 2 人参加,可分为三类:
第 1 类,甲、乙、丙都不参加,有C95 种选法;
第 2 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C31 C94 种选法;
第 3 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C32 C93 种选法.
共有C95 + C31 C94 + C32 C93 =756(种)不同的选法.
(1)共有多少种不同的选择方法?
(2)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法?
解(1)根据题意,从 2 位女生,4 位男生中选出 3 人参加垃圾分类宣传活动是组
合问题,其选择方法数为C63 =20.
(2)根据题意,从 6 人中选出 3 人,其中没有女生入选的选择方法数为C43 =4,
所以至少有 1 位女生入选的选择方法数为C63 − C43 =20-4=16.
6!
7·!·(7-)!
=
10·7!
,
探究点三 常见的组合问题
【例3】 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5
人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
第六章
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
课标要求
1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.
2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.
3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
所以,共有C31 C94 + C32 C93 + C33 C92 =666(种)不同的选法.
5
(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12
种,甲、乙、丙三人不能参加的
有C95 种,
5
所以,共有C12
− C95 =666(种)不同的选法.
变式探究
若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?
组合数.
(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?
(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话?
(3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?
解(1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为A210 =90.
(2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
5
解(1)C12
=792(种)不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的 9 人中选 2 人,共有C92 =36(种)不同
的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的 9 人中选 5 人,共有C95 =126(种)不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 种
=
.
答案 7 315
解析 因为C30 = C40 ,
18
18
所以C30 + C41 + C52 +…+C21
=(C40 + C41 )+C52 +…+C21
18
18
4
=(C51 + C52 )+C63 +…+C21
=…=C22
= C22
=7 315.

性质 2:C+1
= C + C .
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)从5个不同元素中取出3个不同元素的组合数与从5个不同元素中取出2
个不同元素的组合数不相同.( × )
021
(2)C22 022
= C21 022 =2 022.( √ )
(3)C43 + C53 + C63 +…+C23 022 = C24 023 -1.( √ )
18
2.计算:C20
=
3
2
,C99
+ C99
=
.
答案 190 161 700
解析
3
C99
18
C20
2
+ C99
=
2
C20
=
3
C100
=
20×19
=190,
2×1
=
100×99×98
=161
3×2×1
700.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 组合概念的理解与应用
【例1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或
=
C
+
-1
C ,
变式训练2
38-
(1)求C3
3
+ C21+
的值.
1
(2)已知
C5
1
−
C6
=
7

,求C8 .
10C7
19
2
≤ ≤ 38,
0
≤
38-
≤
3,
(1)解由组合数的定义知,
即
21
0 ≤ 3 ≤ 21 + ,
0≤≤ 2 .
∴
19
2
∴
38-
C3
≤n≤
+
21
,∵n∈N*,∴n=10.
2
3
C21+
=
28
C30
+
30
C31
=
2
C30
1
+ C31
=
30×29
+31=466.
2×1
1
(2)解由C
5
1 得,
10C7
5!
!·(6-)!
−
化简得 m2-23m+42=0,解得 m=2 或 21;
又 0≤m≤5,∴m=2,∴ C8 = C82 =28.
2.只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的
组合.
3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,
与顺序无关的是组合问题.
变式训练1
下列四个问题中,属于组合问题的是(
)
A.从3个不同小球中,取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星