高考物理母题解读(五)万有引力和航天1
高考物理 专题集锦(一)“万有引力与航天”命题分析
“万有引力与航天”命题分析“万有引力与航天”是牛顿运动定律和万有引力定律完美结合并应用于实际问题的典范。
在新课标高考中，基本上以选择题形式命题，难度偏高，主要考查学生的分析综合能力。
在一轮复习中，我们认为抓好以下几个基础性的问题,能够逐步提高难度与高考匹配。
一、“圆周运动”规律破解公转模型学以致用是课标主要的理念，所以围绕万有引力理论的成就命题理所应当。
具体思路为：(1)万有引力提供向心力，即2Mm G ma r =，2222;v a r r r T πω⎛⎫=== ⎪⎝⎭；（2）“黄金代换式”。
忽略自转，天体对其表面物体的万 有引力近似等于物体的重力，即2MmGmgR =得2GM gR =。
【例1】一行星绕恒星作圆周运动。
由天文观测可得，其运动周期为T ，速度为v 引力常量为G,下列表述不正确的是 （ ）A.恒星的质量为32v TG πB.行星的质量为2324v GT πC.行星运动的轨道半径为2vT πD.行星运动的加速度为2vTπ 【解析】由2R T v π=可得，2vTr π=，C 项正确;由22Mm v G m r r =,将r 代人可得32v T M G π=A 项正确; 由2v a r=可得2v a T π=，D 项正确;在万有引力提供向心力的表达式中,行星质量无法求出，B 项错误。
【答案】B【总结】“万冇引力”中的定量问题主要有网个方而。
一个针对中心天体，涉及的物理量有质量和密度。
如天体质量2gR M G =，天体密度34M gV GRρπ==;天体的质量324R M GT π= 天体的密度3233M r V GT R πρ==；若天体表面运行时，可认为轨进半径r 等于天体R,则天体密度23gGT ρ=(天体表面的重力加速度为g 和天休半径为R ，卫星绕天体做匀速圆周运动的周期为T 和半径为r)。
另一个就是围绕卫星或行星的运动量命题，可以定量，也可以定性分析比较等。
主要公式为：二、重力加速度"牵手”天地两物体【例1】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的商度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2。
高考物理总复习 5专题五 万有引力与航天 专题五 万有引力与航天(讲解部分)
,
而
M' r3
=
M R3
,而该处物体的重力在数值上等于该处的万有引力,则有
GMr3m R3r 2
=
mg‘,得GMm r=mg'。因此球体内距球心r处的重力随着r的增大成正比增加。
R3
例1 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0。假设地球是一半
径为R的质量分布均匀的球体,地球表面的重力加速度大小为g。试求:
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上,如图乙。
(3)四星模型 ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆 形轨道做匀速圆周运动,如图丙。 ②三颗恒星位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕 O点做匀速圆周运动,如图丁。
2.一些物理量的定性分析
(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上 过A点和B点时速率分别为vA、vB。因在A点加速,则vA>v1,因在B点加速,则v 3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故无论从轨道Ⅰ还是轨
an=G M ,即an∝ 1
r2
r2
v= GM ,即v∝ 1
r
r
ω= GM ,即ω∝ 1
r3
r3
T= 4π 2r3 ,即T∝ r3
GM
2.人造地球卫星的轨道 由于万有引力提供向心力,因此所有人造地球卫星的轨道圆心都在地心上。 (1)赤道轨道:卫星的轨道在赤道平面内,同步卫星轨道就是其中的一种。 (2)极地轨道:卫星的轨道过南北两极,即在垂直于赤道的平面内,如极地气 象卫星轨道。 (3)其他轨道:除以上两种轨道外的卫星轨道,轨道平面一定通过地球的球心。
高考物理一轮复习第五章万有引力与航天第1讲万有引力定律与天体运动课件
R2g0
( g0
g)T 4 2
2
,则ρ=
4
M R3
=
4
G R3=Leabharlann 3g04 RG= 3
GT
2
g0 ,B正确。
g0 g
3
3
栏目索引
2-2 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度
为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和
地面处的重力加速度大小之比为 ( A )
二、万有引力定律在天体运动中的应用
1.基本思路
(1)万有引力提供向心力:即F万=F向
G Mr2m =m vr2 =mrω2=mr4 T22 =ma
(2)星球表面附近的物体所受重力近似等于万有引力
即mg=G MRm2 ,
由此可得:GM=① gR2 。
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2.求中心天体的质量和密度
(1)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T、轨道半径r,由万有
期与轨道半径时,可求得中心天体的质量,故要求得木星的质量,还需测 量卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径,D正确。
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3.原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另
外两名美国科学家共同分享了2009年度的诺贝尔物理学奖。早在1996
年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编
R2
二、计算重力加速度
1.任意星球表面的重力加速度:在星球表面处,G Mm =mg,g= GM (R为星
R2
R2
球半径,M为星球质量)。
栏目索引
2.星球上空某一高度h处的重力加速度:
G (RMmh)2 =mg',g'= (RGMh)2
高考物理万有引力与航天专题训练答案及解析.docx
高考物理万有引力与航天专题训练答案及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的 6 倍，地球半径为R，地球视为均匀球体，两极的重力加速度为g，引力常量为G，求：（1）地球的质量；（2）地球同步卫星的线速度大小．【答案】 (1)gR2gR M(2)vG7【解析】【详解】（1）两极的物体受到的重力等于万有引力，则GMmR2解得mgM gR2；G（2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的7 倍，即为7R，则GMm v22m7R7R而 GM gR2，解得gRv.72．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h.已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度.【答案】(1)v2(2)R 2hv0 2h【解析】本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算．(1) 设该星球表面的重力加速度为g ′，物体做竖直上抛运动，则v022g h 解得，该星球表面的重力加速度g v022hv2(2) 卫星贴近星球表面运行，则mg mRR解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度v g R v02h3．某双星系统中两个星体A、 B 的质量都是m，且 A、 B 相距 L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T0，且k (），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体 C 的影响，并认为 C 位于双星 A、 B 的连线中点．求：(1)两个星体 A、 B 组成的双星系统周期理论值；(2)星体 C 的质量．【答案】（ 1）；（ 2）【解析】【详解】(1)两星的角速度相同 ,根据万有引力充当向心力知 :可得：两星绕连线的中点转动,则解得：(2) 因为 C 的存在 ,双星的向心力由两个力的合力提供,则再结合：k可解得：故本题答案是：（1）；（2）【点睛】本题是双星问题,要抓住双星系统的条件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可 .4．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。
备战2023年高考物理母题题源解密(全国通用)：万有引力与航天(解析版)
专题05万有引力与航天【母题来源一】2022年高考全国卷【母题题文】（2022·全国乙卷·T14）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km 的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。
通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（）A.所受地球引力的大小近似为零B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小【答案】C【解析】ABC ．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C 正确，AB 错误；D ．根据万有引力公式2MmF Gr 万可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D 错误。
故选C 。
【母题来源二】2022年高考湖北卷【母题题文】(2022·湖北·T2)2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。
下列说法正确的是（）A.组合体中的货物处于超重状态B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小【答案】C【解析】【详解】A ．组合体在天上只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A 错误；B ．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B 错误；C ．已知同步卫星的周期为24h ，则根据角速度和周期的关系有2T由于T 同>T 组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C 正确；D ．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有2224Mm G m r r T整理有2T由于T 同>T 组合体，则r 同>r 组合体，且同步卫星和组合体在天上有2Mm ma Gr 则有a 同<a 组合体D 错误。
专题05 万有引力与航天—高考物理母题题源解密(解析版)
专题05 万有引力与航天【母题来源一】2021年高考全国卷【母题题文】（2021·全国高考真题）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s 的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m 。
已知火星半径约为3.4×106m ，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s 2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）A ．6×105mB ．6×106mC ．6×107mD ．6×108m【答案】 C【解析】忽略火星自转则2GMm mg R =① 可知2GM gR =设与为1.8×105s 的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r ，由万引力提供向心力可知 2224GMm m r r Tπ=② 设近火点到火星中心为11R R d =+③设远火点到火星中心为22R R d =+④由开普勒第三定律可知31222()32R R r T T +=⑤ 由以上分析可得72610m d ≈⨯故选C 。
【母题来源二】2021年高考河北卷【母题题文】（2021·河北高考真题）“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（ ）ABCD【答案】 D【解析】绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得2224GMmm R RT 则T=R由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径R =飞同则R R 飞同 故选D 。
【母题来源三】2021年高考全国卷【母题题文】（2021·全国高考真题）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。
高考物理万有引力与航天试题(有答案和解析)
高考物理万有引力与航天试题(有答案和解析)一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．(1)求卫星B 的运行周期．(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】(1)32()2B R h T gR +=23()t gR R h ω=-+ 【解析】 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式得()()2224B MmGm R h T R h π=++①，2Mm G mg R =②联立①②解得：()322B R h T R g+=（2）由题意得()02B t ωωπ-=④，由③得()23B gR R h ω=+代入④得()203t R gR h ω=-+2．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期．【答案】（1） R=m M M +L, r=m M m+L,（2）2π()3L G M m +【解析】（1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：2222244mM G mR Mr L T Tππ==可得 RMr m＝，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m =+,mr L M m=+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM MG m R m L L T T M m ππ==⋅+则：()()23342L L T M m GG m M ππ==++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．3．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q ，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：（1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v ；（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T ． 【答案】(1)02tan v t α；(2)03tan 2v GRt απ；02tanav R t；(4)02tan Rt v α【解析】 【分析】 【详解】(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：20012tan α2gt y gt x v t v ===解得该星球表面的重力加速度：02tan αv g t=(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：2GMmmg R= 则该星球的质量：GgR M 2= 该星球的密度：33tan α34423v M gGR GRt R ρπππ===(3)根据万有引力提供向心力得：22Mm v G m R R= 该星球的第一宙速度为：v ===(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:2RT vπ=所以：22T π==点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．4．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重力加速度为g ,地球自转的周期为T ．【答案】234()h R l Tgπ+=【解析】 【分析】 【详解】设卫星周期为1T ,那么:22214()()Mm m R h G R h T π+=+, ① 又2MmGmg R=, ② 由①②得312()h R T R gπ+=. 设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则12Tl R T π⋅=. 所以23124()RT h R l T Tgππ+==. 【点睛】摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．5．我国预计于2022年建成自己的空间站。
高考物理万有引力与航天解题技巧及练习题及解析
高考物理万有引力与航天解题技巧及练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为w1,w2．根据题意有w1=w2 ① （1分）r1+r2=r ② （1分）根据万有引力定律和牛顿定律，有G③ （3分）G④ （3分）联立以上各式解得⑤ （2分）根据解速度与周期的关系知⑥ （2分）联立③⑤⑥式解得（3分）本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求：(1)月球表面的重力加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T.【答案】(1)02v t ；(2)202R v Gt ；(3)022Rt v π【解析】 【详解】(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有02v t g =月月球表面的重力加速度大小02v g t=月 (2)假设月球表面一物体质量为m ，有 2=MmG mg R月 月球的质量202R v M Gt=(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有222Mm G m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期22RtT v π=3．宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O 为抛出点。
2019年高考物理之高频考点解密05万有引力与航天(附解析)
核心考点考纲要求万有引力定律及其应用环绕速度第二宇宙速度和第三宇宙速度经典时空观和相对论时空观ⅡⅡⅠⅠ考点1万有引力与重力1．在地球表面上的物体地球在不停地自转、地球上的物体随地球自转而做圆周运动，自转圆周运动需要一个向心力，是重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力的原因，如图所示，万有引力为F，重力为G，向心力为F n。
当然，真实情况不会有这么大偏差。
（1）物体在一般位置时F n=mrω2，F n、F、G不在一条直线上。
（2）当物体在赤道上时，F n达到最大值F nmax，F nmax=mRω2，重力达到最小值：，重力加速度达到最小值，。
（3）当物体在两极时F n=0，G=F，重力达到最大值，重力加速度达到最大值，。
可见只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其他位置时重力要略小于万有引力，在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的向心力很小。
计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力。
即或者写成GM=gR2，称为“黄金代换”。
2．离开地球表面的物体卫星在做圆周运动时，只受到地球的万有引力作用，我们认为卫星所受到的引力就是卫星在该处所受到的重力，，该处的重力加速度。
这个值也是卫星绕地球做圆周运动的向心加速度的值；卫星及内部物体处于完全失重状态。
（为什么？）（2018·山西省祁县中学）万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。
用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。
已知地球质量为M ，万有引力常量为G 。
将地球视为半径为R 质量均匀分布的球体。
下列选项中说法正确的是A ．在赤道地面称量时，弹簧秤读数为12MmF G R = B ．在北极地面称量时，弹簧秤读数为02MmF G R=C ．在北极上空高出地面h 处称量时，弹簧秤读数为D ．在赤道上空高出地面h 处称量时，弹簧秤读数为【参考答案】BC【试题解析】在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上随地球一起自转所需要的向心力，则有1．（2018·湖南省醴陵市第四中学）英国《每日邮报》网站2015年4月3日发表了题为《NASA 有能力在2033年将宇航员送入火星轨道并在2039年首次登陆火星》的报道。
2023年高考物理母题题源解密(全国通用)专题05 万有引力与航天(解析版)
专题五万有引力与航天目录真题考查解读2023年真题展现考向一开普勒第三定律考向二万有引力定律及其应用考向三人造卫星宇宙速度近年真题对比考向一万有引力定律及其应用考向二人造卫星宇宙速度考向三卫星的变轨命题规律解密名校模拟探源易错易混速记【命题意图】通过开普勒第三定律考查追及与相遇问题；通过人造天体的匀速圆周运劝考查万有引力定律应用问题；通过我国航天航空事业的进步考查人造卫星和宇宙速度及分析问题和解决问题的能力。
【考查要点】考查开普勒第三定律的理解及应用，难度较小；考查万有引力和重力的关系，并利用万有引力求解天体的质量和密度，计算星球表面的重力加速度等问题；考查宇宙速度的理解及利用万有引力定律提供卫星做圆周运动的向心力求解各种运动参量，如周期、线速度、角速度、半径、高度等【课标链接】①开普勒第三定律的理解及应用；②万有引力的理解及其应用；③三大宇宙速度的理解应用于计算；卫星运行参数的比较与计算；三种特殊的卫星。
考向一开普勒第三定律1.（2023·1月浙江卷·第10题）太阳系各行星几平在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：行星名称地球火星木星土星天王星海王星轨道半径/AUR 1.01.55.29.51930则相邻两次“冲日”时间间隔约为（）A ．火星365天B ．火星800天C ．天王星365天D ．天王星800天【参考答案】B【命题意图】本题考查开普勒定律、行星冲日及其相关知识点。
【名师解析】根据开普勒第三定有2233T T R R 地地，解得T 地设相邻两次“冲日”时间间隔为t ，则，则有222(t T T地解得TT t T T地地由表格中的数据可得800t火天，369t天天。
选项B 正确。
2.（2023·湖北卷·第2题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。
高考物理复习力学-万有引力与航天
万有引力与航天知识集结知识元开普勒三定律知识讲解1．开普勒第一定律（轨道定律）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．2．开普勒第二定律（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律（周期定律）所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．若用a表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则=k（k与行星无关，只与中心天体有关）．4．对开普勒定律的进一步理解（1）第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中心．不同的行星位于不同的椭圆轨道，不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内（2）第二定律说明了离太阳越近行星的速率就越大（3）第三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如，对木星的所有卫星来说，它们的一定相同．开普勒恒量k只跟行星运动时所围绕的中心天体的质量有关．例题精讲开普勒三定律例1.关于行星绕太阳的运动，下列说法中正确的是（）A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星的椭圆轨道的一个焦点上C．离太阳越近的行星公转周期越小D．离太阳越近的行星公转周期越大例2.根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论有（）A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上B．卫星离地球越远，速率越大C．不同卫星，轨道半径越大周期越大D．同一卫星绕不同的行星运行，R3/T2的值都相同例3.关于行星的运动以下说法正确的是（）A．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越长B．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越长C．水星轨道的半长轴最短，公转周期就最长D．海王星离太阳“最远”，公转周期就最长例4.'2019年4月人类首张黑洞照片公布，再一次激起了人们对浩瀚宇宙深入探索的热情，经长期观测发现，宇宙中绕某恒星O运行的行星A可看成做匀速圆周运动，如图所示，行星A的轨道半径为R0．周期为T0，但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离（总体上行星仍然可看成匀速圆周运动）。
高中物理万有引力与航天(一)解题方法和技巧及练习题及解析
高中物理万有引力与航天(一)解题方法和技巧及练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期．【答案】（1） R=m M M +L, r=m Mm+L,（2）()3L G M m +【解析】（1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：2222244mM G mR Mr L T Tππ==可得 RMr m＝，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m =+,mr L M m=+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM MG m R m L L T T M m ππ==⋅+则：()()23342L L T M m GG m M π==++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．2．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t ，又已知该星球的半径为R ，己知万有引力常量为G ，求： （1）小球抛出的初速度v o （2）该星球表面的重力加速度g （3）该星球的质量M（4）该星球的第一宇宙速度v （最后结果必须用题中己知物理量表示）【答案】(1) v 0=x/t (2) g=2h/t 2 (3) 2hR 2/(Gt 2) (4) t【解析】（1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt ， 解得从抛出到落地时间为：v 0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h=12gt 2， 解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m ， 由万有引力等于物体的重力得：mg=2MmGR所以该星球的质量为：M=2gR G= 2hR 2/(Gt 2)； （4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ，由牛顿第二定律得： 22Mm v G m R R=重力等于万有引力，即mg=2MmGR ，解得该星球的第一宇宙速度为：v ==3．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期T ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G ．求： (1)地球的密度； (2)地球的第一宇宙速度v ； (3)“天宫一号”距离地球表面的高度． 【答案】(1)34gGRρπ=(2)v =h R = 【解析】（1）在地球表面重力与万有引力相等：2MmGmg R =， 地球密度：343M M R Vρπ==解得：34gGRρπ=（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，2v mg m R=v gR =（3）天宫一号的轨道半径r R h =+， 据万有引力提供圆周运动向心力有：()()2224MmGm R h TR h π=++，解得：22324gT R h R π=-4．某星球半径为6610R m =⨯，假设该星球表面上有一倾角为30θ=︒的固定斜面体，一质量为1m kg =的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行，如图甲所示．已知小物块和斜面间的动摩擦因数3μ=，力F 随位移x 变化的规律如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）．已知小物块运动12m 时速度恰好为零，万有引力常量11226.6710N?m /kg G -=⨯，求（计算结果均保留一位有效数字）（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小； （2）该星球的平均密度． 【答案】26/g m s =，【解析】 【分析】 【详解】（1）对物块受力分析如图所示；假设该星球表面的重力加速度为g ，根据动能定理，小物块在力F 1作用过程中有：211111sin 02F s fs mgs mv θ--=- N mgcos θ=f N μ=小物块在力F 2作用过程中有：222221sin 02F s fs mgs mv θ---=-由题图可知：1122156?3?6?F N s m F N s m ====，；， 整理可以得到： (2)根据万有引力等于重力：，则：，，代入数据得5．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。
高考物理万有引力与航天(一)解题方法和技巧及练习题及解析
高考物理万有引力与航天(一)解题方法和技巧及练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该星球半径为R ，引力常量为G ，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度；(3)该星球的“第一宇宙速度”．【答案】(1)02v g t = (2) 032πv RGt ρ=(3)v = 【解析】(1) 根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间02v t g= 可得星球表面重力加速度：02v g t=． (2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：2GMmmg R =得：2202v R gR M G Gt ==因为343R V π=则有：032πv M V RGtρ== (3)重力提供向心力，故2v mg m R=该星球的第一宇宙速度v ==【点睛】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键．2．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大．【答案】（1）()2R H Tπ+（2）()3224R H GT π+（3【解析】（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()R H v T+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．根据牛二定律得2224π()()R H MmG m R H T +=+解得2324π()R H M GT +=． （3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2002Mm V G m RR =又2324π()R H M GT+=． 联立得()2πR H R HV TR++=3．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，行星半径为求： (1)行星的质量M ；(2)行星表面的重力加速度g ； (3)行星的第一宇宙速度v ． 【答案】（1） （2）（3）【解析】 【详解】(1)设宇宙飞船的质量为m ，根据万有引力定律求出行星质量 (2)在行星表面求出:(3)在行星表面求出:【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．4．如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。
高考物理母题解读(五)万有引力和航天
高考母题解读高考题千变万化，但万变不离其宗。
千变万化的新颖高考题都可以看作是由母题衍生而来。
研究高考母题，掌握母题解法规律，使学生触类旁通，举一反三，可使学生从题海中跳出来，轻松备考，事半功倍。
母题1、万有引力定律【解法归纳】1. 万有引力定律揭示了自然界中一切物体之间普遍存在的一种相互作用，解释了重力产生的原因和天体运动的原因。
2. 在地面附近，若不考虑地球自转，地球对物体的万有引力等于物体重力，G2Mm R =mg ，重力加速度g=GM/R 2。
若测得地面附近的重力加速度和地球半径R ，可得地球质量M=gR 2/G.。
.典例：（2012·新课标理综）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。
一矿井深度为d 。
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。
矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A.R d -1B. R d +1C. 2)(R d R -D. 2)(dR R -【针对训练题精选解析】1.（2012·福建理综）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。
假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N ，已知引力常量为G,，则这颗行星的质量为A ．mv 2/GNB ．mv 4/GN ．C ． Nv 2/Gm ．D ．Nv 4/Gm .2. （2012年开封二模）“奋进”号宇航员斯蒂法尼斯海恩•派帕在2008年11月18日进行太空行走时，丢失了一个工具包，关于工具包丢失的原因可能是3. A. 宇航员松开了拿工具包的手，在万有引力作用下工具包“掉”了下去4. B. 宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包，使其速度发生了变化5. C. 工具包太重，因此宇航员一松手，工具包就“掉”了下去6. D. 由于惯性，工具包做直线运动而离开了圆轨道2.答案：B 解析：宇航员太空行走时宇航员和工具包都处于完全失重状态，二者相对静止。
高考物理专题汇编物理万有引力与航天(一)及解析
高考物理专题汇编物理万有引力与航天(一)及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．(1)求卫星B的运行周期．(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？【答案】(1)32()2BR hTgRp+= (2)23()tgRR hω=-+【解析】【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式得()()2224BMmG m R hTR hπ=++①，2MmG mgR=②联立①②解得：()322BR hTR gπ+=③（2）由题意得()02Btωωπ-=④，由③得()23BgRR hω=+⑤代入④得()23tR gR hω=-+2．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m＝2.0 kg的小物块从斜面底端以速度9 m/s沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)该星球表面上的重力加速度g 的大小. (2)该星球的第一宇宙速度.【答案】（1）g=7.5m/s 2 （2）3×103m/s 【解析】 【分析】 【详解】（1）小物块沿斜面向上运动过程00v at =- 解得：26m/s a =又有：sin cos mg mg ma θμθ+= 解得：27.5m/s g =（2）设星球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：2mv mg R=3310m/s v ==⨯3．设地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G ．将地球视为半径为R 、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．若把一质量为m 的物体放在地球表面的不同位置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同．（1）若把物体放在北极的地表，求该物体对地表压力的大小F 1； （2）若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F 2；（3）假设要发射一颗卫星，要求卫星定位于第（2）问所述物体的上方，且与物体间距离始终不变，请说明该卫星的轨道特点并求出卫星距地面的高度h ．【答案】（1）2GMm R （2）22224Mm F G m R R T π=-（3）h R = 【解析】 【详解】(1) 物体放在北极的地表，根据万有引力等于重力可得：2MmG mg R= 物体相对地心是静止的则有：1F mg =，因此有：12MmF GR = (2)放在赤道表面的物体相对地心做圆周运动，根据牛顿第二定律：22224Mm GF mR RTπ-=解得： 22224Mm F G m R R Tπ=-(3)为满足题目要求，该卫星的轨道平面必须在赤道平面内，且做圆周运动的周期等于地球自转周期T以卫星为研究对象，根据牛顿第二定律：2224()()Mm GmR h R h Tπ=++解得卫星距地面的高度为：h R =4．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重力加速度为g ,地球自转的周期为T ．【答案】l =【解析】 【分析】 【详解】设卫星周期为1T ,那么:22214()()Mm m R h G R h T π+=+, ① 又2MmGmg R=, ② 由①②得1T =设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则12Tl R T π⋅=. 所以12RT l T π==【点睛】摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．5．利用万有引力定律可以测量天体的质量． （1）测地球的质量英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ．若忽略地球自转的影响，求地球的质量． （2）测“双星系统”的总质量所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动的两个星球A 和B ，如图所示．已知A 、B 间距离为L ，A 、B 绕O 点运动的周期均为T ，引力常量为G ，求A 、B 的总质量．（3）测月球的质量若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T 1，月球、地球球心间的距离为L 1．你还可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的质量．【答案】（1）2gR G；（2）2324L GT π；（3）2321214L gR GT G π-． 【解析】 【详解】（1）设地球的质量为M ，地球表面某物体质量为m ，忽略地球自转的影响，则有2Mm G mg R =解得：M =2gR G； （2）设A 的质量为M 1，A 到O 的距离为r 1，设B 的质量为M 2，B 到O 的距离为r 2， 根据万有引力提供向心力公式得：2121122()M M G M r L Tπ=， 2122222()M M GM r L T π=， 又因为L =r 1+r 2解得：231224L M M GT π+=；（3）设月球质量为M 3，由（2）可知，2313214L M M GT π+=由（1）可知，M =2gR G解得：23213214L gR M GT Gπ=-6．我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2(万有引力常量为G)试计算：()1双星的轨道半径 ()2双星运动的周期．【答案】()2112121?M M L L M M M M ++，；()()122?2L L G M M π+； 【解析】设行星转动的角速度为ω，周期为T ．()1如图，对星球1M ，由向心力公式可得： 212112M M GM R ωL= 同理对星2M ，有：212222M M GM R ωL= 两式相除得：1221R M (R M ，=即轨道半径与质量成反比) 又因为12L R R =+ 所以得：21121212M M R L R L M M M M ==++，()2有上式得到：()12G M M 1ωLL+=因为2πT ω=，所以有：()12L T 2πL G M M =+答：()1双星的轨道半径分别是211212M M L L M M M M ++，；()2双星的运行周期是()12L2πLG M M +点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期．7．我国预计于2022年建成自己的空间站。
高考物理考点突破：万有引力与航天
11、（21年广东）.2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ）
A. 核心舱的质量和绕地半径
B. 核心舱的质量和绕地周期
C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期
D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径
(2)根据G ＝mg求重力加速度，再求运动物理量．
【对点训练】
1、(2017·课标全国Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M，Q到N的运动过程中()
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
考点四 万有引力与重力加速度
重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转需要的向心力．在通常情况下不考虑地球自转，则重力等于万有引力．
1．忽略地球自转
在地面附近：重力mg＝G ，g＝
在距地面h处：重力mg′＝G ，g′＝
2．考虑地球自转
在两极上，mg＝G .
在赤道上，mg′＝G －mω2R
A. 6×105mB. 6×106mC. 6×107mD. 6×108m
10、（2021年全国乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为 （太阳到地球的距离为 ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
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高考物理母题解读(五)万有引力和航天1
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考母题解读
高考题千变万化，但万变不离其宗。
千变万化的新颖高考题都可以看作是由母题衍生而来。
研究高考母题，掌握母题解法规律，使学生触类旁通，举一反三，可使学生从题海中跳出来，轻松备考，事半功倍。
母题1、万有引力定律 【解法归纳】
1. 万有引力定律揭示了自然界中一切物体之间普遍存在的一种相互作用，解释了重力产生的原因和天体运动的原因。
2. 在地面附近，若不考虑地球自转，地球对物体的万有引力等于物体重力，G 2Mm
R
=mg ，重力加速度g=GM/R 2。
若测得地面附近的重力加速度和地球半径R ，可得地球质量M=gR 2/G.。
.
典例：（2012·新课标理综）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。
一矿井深度为d 。
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。
矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A.R d -
1 B. R d +1 C. 2)(R d R - D. 2
)(d
R R -
【针对训练题精选解析】
1.（2012·福建理综）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。
假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N ，已知引力常量为G,，则这颗行星的质量为
A ．mv 2/GN
B ．mv 4/GN ．
C ． Nv 2/Gm ．
D ．Nv 4/Gm .
2. （2012年开封二模）“奋进”号宇航员斯蒂法尼斯海恩•派帕在2008年11月18日进行太空行走时，丢失了一个工具包，关于工具包丢失的原因可能是
3. A. 宇航员松开了拿工具包的手，在万有引力作用下工具包“掉”了下去
4. B. 宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包，使其速度发生了变化
5. C. 工具包太重，因此宇航员一松手，工具包就“掉”了下去
6. D. 由于惯性，工具包做直线运动而离开了圆轨道
2.答案：B解析：宇航员太空行走时宇航员和工具包都处于完全失重状态，二者相对静止。
工具包丢失的原因可能是宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包，使其速度发生了变化，选项B正确。
3．（2012湖南2月联考）有密度相同的两颗行星A和B，已知A星的表面重力加速度是B星表面重力加速度的2倍（忽略行星自转的影响），则下列说法正确的是（）A．两行星A、B的质量之比为8∶1
B．两行星A、B的半径之比为2∶1
C．两行星A、B的第一宇宙速度之比为1∶2
D．两行星A、B的第一宇宙速度之比为2∶1
4．（2012年2月济南检测）如右图所示，从地面上A 点发射一枚远程弹道导弹，假设导弹仅在地球引力作用下，沿ACB 椭圆轨道飞行击中地面目标B ，C 为轨道的远地点，距地面高度为h 。
已知地球半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G 。
则下列结论正确的是A ．导弹在C 点的速度大于
)
(h R GM +
B ．导弹在
C 点的速度等于 ()3h R GM +C ．导弹在C 点的加速度等于2)(h R GM
+
D ．导弹在C 点的加速度大于
2
)(h R GM
+
地球半径 R=6400km 月球半径
r=1740km 地球表面重力加速度 g 0=9.80m/s 2 月球表面重力加速度 g ′=1.56m/s 2 月球绕地球转动的线速度
v=1km/s
A
B R
C h 地球 M
5．（2013年3月吉林二模）某同学在学习中记录了一些与
地球、月球有关的数据资料如表中
所示，利用这些数据来计算地球表
面与月球表面之间的距离s，则下列运算公式中正确的是
A．c
t
2
B．
vT
2π－
R－r
C．
v2
g′－R－r
D．
3g
R2T2
4π2
－R－r
6．（2010上海物理）如图，三个质点a、b、c质量分别为
m
1
、m2、M（M >> m1，M >> m2）.在C的万有引力作用下，a、b
在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之
比r a:r b=1:4,则它们的周期之比T a:T b=______;从图示位置开
始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
月球绕地球转动周期T=27.3天
光速c=2.998×105km
/s
用激光器向月球表面发射激光光束，经
过约t=2.565s接收到从月球表面反射
回来的激光信号
【解析】根据r T m r 22
24Mm G π=，得GM
r T 3
24π=
,所以T a :T b =3a r :3b r =1:8。
在b 运动一周的过程中，a 运动8周，所以a 、b 、c 共线了8次。
【答案】1:8 8
【点评】此题考查万有引力定律、匀速圆周运动和圆周运动中的追击相遇问题。
7. （2008·海南物理）一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4∶1．已知地球与月球的质量之比约为81∶1，则该处到地心与到月心的距离之比约为 . 答案：9∶2
解析：由万有引力定律，F 1=G 211r m M ，F 2=G 22
2r m
M ，又F 1∶ F 2=4∶1，M 1∶M 2=81∶1．联立解得r 1∶r 2=9∶2．
8.（2012·全国理综）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k 。
设地球的半径为R 。
假定地球的密度均匀。
已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d 。
9.（2009·全国理综2）如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。
如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。
重力加速度在原坚直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。
为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点附近重力加速度反常现象。
已知引力常数为G 。
（1） 设球形空腔体积为V ，球心深度为d （远小于地球半径），PQ =x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常
（2） 若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与k δ（k>1）之间变
化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
解析：.（21分）
（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。
因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 g m r Mm
G
∆=2
① 来计算，式中m 是Q 点处某质点的质量，M 是填充后球形区域的质量，
M=ρV ② 而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离 22x d r += ③
g ∆在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小。
Q
点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常'g ∆是这一改变在竖直方向上的投影 g r
d
g ∆=
∆' ④ 联立①②③④式得 2
/322)('x d Vd
G g +=
∆ρ ⑤
9.（2012年3月福建福州质检）在福建省科技馆中，有一个模拟万有引力的装置。
在如图1所示的类似锥形漏斗固定的容器中，有两个小球在该容器表面上绕漏斗中心轴做水平圆周运动，其运行能形象地模拟了太阳系中星球围绕太阳
的运行。
图2为示意图，图3为其模拟的太阳系运行图。
图2中离中心轴的距离相当于行星离太阳的距离。
（1）在图3中，设行星A1和B2离太阳距离分别为r1和r2，求A1和B2运行速度大小之比。
（2）在图2中，若质量为m的A球速度大小为v，在距离中心轴为x1的轨道面上旋转，由于受到微小的摩擦阻力，A球绕轴旋转同时缓慢落向漏斗中心。
当其运动到距离中心轴为x2的轨道面时，两轨道面之间的高度差为H。
求此过程中A球克服摩擦阻力所做的功。