上海交通大学附属中学高三数学总复习 第二次训练题 基本初等函数、函数与方程及函数的应用

上海交通大学附属中学2014届高三数学（理科班）第二次总复习训
练题：
基本初等函数·函数与方程及函数的应用
本试卷 (选择题)和 (非选择题)两部分．考试时间45分钟．答案详细附试卷后
1．(2013·广州惠州调研)已知幂函数y ＝f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，22，则log 4f(2)的值为
( )
A.1
4 B ．－14
C ．2
D ．－2
2．(2013·陕西高考)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b·log c b ＝log c a B ．log a b·log c a ＝log c b C ．log a (bc)＝log a b·log a c D ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c
3．(2013·河北质检)若f(x)是奇函数，且x 0是y ＝f(x)＋e x
的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )
A ．y ＝f(－x)e x
－1 B ．y ＝f(x)e －x
＋1 C ．y ＝e x
f(x)－1
D ．y ＝e x
f(x)＋1
4．(2013·天津一中模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫430.4
，c ＝log 34
(log 34)，则( )
A ．c<b<a
B ．a<b<c
C ．c<a<b
D ．a<c<b
5．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1]
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫0，32
D ．[1,2)
6．(2013·东北三校联合模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a·2x
，x≤0，log 1
2
x ，x>0.
若关于x 的方程
f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，0)∪(0,1)
C ．(0,1)
D ．(0,1)∪(1，＋∞)
7．已知a ＝5－22
，函数f(x)＝a x
，若实数m ，n 满足f(m)>f(n)，则m ，n 的大小关系为________．
8．(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．
9．(2013·江苏扬州中学期中)已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
＋ax ，x≤1，ax －1，x>1，若∃x 1，x 2∈R ，
x 1≠x 2，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．
10．已知函数f(x)＝－x 2
＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e
2
x
(x>0)．
(1)若g(x)＝m 有零点，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
11．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f(x)的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 12．(2013·江西七校联考)已知函数f(x)＝log 4(4x
＋1)＋kx(k ∈R)为偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程f(x)＝log 4(a·2x
－a)有且只有一个根，求实数a 的取值范围．
1．选A 设f(x)＝x a
，由其图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，22得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
2⇒a ＝12，故log 4f(2)
＝log 4212
＝1
4
.
2．选B 利用对数的换底公式进行验证， log a b·log c a ＝log c b
log c a
·log c a ＝log c b ，则B 对．
3．选C 由已知可得f(x 0)＝－ex 0，则e －x 0f(x 0)＝－1，e －x 0f(－x 0)＝1，故－x 0一定是y ＝e x
f(x)－1的零点．
4．选C 由题意得0<a<1，b>1，而log 34>1，c ＝log 34
(log 34)，得c<0，故c<a<b.
5．选D 法一：当2－x>1，即x<1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.
法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图所示．
由图像可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.
6．选B 若a ＝0，当x≤0时，f(x)＝0，故f(f(x))＝f(0)＝0有无数解，不符合题意，故a≠0.显然当x≤0时，a·2x
≠0，故f(x)＝0的根为1，从而f(f(x))＝0有唯一根，即为f(x)＝1有唯一根．而x>0时，f(x)＝1有唯一根12，故a·2x
＝1在(－∞，0]上无根，当
a·2x ＝1在(－∞，0]上有根可得a ＝12x ≥1，故由a·2x
＝1在(－∞，0]上无根可知a<0或
0<a<1.
7．解析：由题意知，a ＝5－22
∈(0,1)，故函数f(x)＝a x
是减函数，由f(m)>f(n)得m<n.
答案：m<n
8．解析：如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x
40
＝
AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤x ＋40－x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4022
，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．
答案：20
9．解析：由已知∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，则需x≤1时，f(x)不单调即可，即对称轴a
2
<1，解得a<2.
答案：a<2
10．解：(1)∵g(x)＝x ＋e 2
x ≥2e 2
＝2e(x>0)，
当且仅当x ＝e
2
x 时取等号．
∴当x ＝e 时，g(x)有最小值2e. 因此g(x)＝m 有零点，只需m≥2e. ∴m ∈[2e ，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根， 则函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点．
如图所示，作出函数g(x)＝x ＋e
2
x (x>0)的大致图像．
∵f(x)＝－x 2
＋2ex ＋m －1 ＝－(x －e)2
＋m －1＋e 2
，
∴其对称轴为x ＝e ，f(x)max ＝m －1＋e 2
. 若函数f(x)与g(x)的图像有两个交点， 必须有m －1＋e 2
>2e ，即m>－e 2
＋2e ＋1. 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根， 则m 的取值范围是(－e 2
＋2e ＋1，＋∞)． 11．解：(1)当0＜x≤100时，p ＝60； 当100＜x≤600时，
p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x.
所以p ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
60， 0＜x≤100，
62－0.02x ， 100＜x≤600.
(2)设利润为y 元，则
当0＜x≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ； 当100＜x≤600时，
y ＝(62－0.02x)x －40x ＝22x －0.02x 2
.
所以y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
20x ， 0＜x≤100，
22x －0.02x 2
， 100＜x≤600.
当0＜x≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000； 当100＜x≤600时，
y ＝22x －0.02x 2
＝－0.02(x －550)2
＋6 050， 所以当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050. 显然6 050＞2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元． 12．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即log 4(4－x
＋1)－kx ＝log 4(4x
＋1)＋kx ， 即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－1
2
.
(2)依题意令log 4(4x ＋1)－12
x ＝log 4 (a·2x
－a)，
即⎩⎪⎨⎪⎧
4x
＋1＝x
－
x
，
a·2x
－a>0.
令t ＝2x ，则(1－a)t 2
＋at ＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意． ①当a ＝1时，t ＝－1，不合题意，舍去． ②上式有一正一负根t 1，t 2， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝a 2
－－，
t 1t 2＝1
1－a <0，
经验证满足a·2x
－a>0，∴a>1.
③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a ＝±22－2，此时t ＝a －
，若a ＝2(2－1)，
则有t ＝
a
－
<0，此时方程(1－a)t 2
＋at ＋1＝0无正根，故a ＝2(2－1)舍去；
若a ＝－2(2＋1)，则有t ＝a －
>0，且a· 2x
－a ＝a(t －1)＝a ⎣
⎢
⎡⎦
⎥
⎤a －
－1＝
－－
>0，因此a ＝－2(2＋1)．
综上所述，a 的取值范围为{a|a>1或a ＝－2－22}．。