江西省宜春市上高县二中2022年数学高一上期末联考试题含解析
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（2）因为 ，两边同时平方，得 .
【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同角三角函数的基本关系，熟记公式是关键，属于基础题
18、（1） ；（2）
【解析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知 ，
【详解】 有四个不同的零点 、 、 、 ，即 有四个不同的解
的图象如下图示，
由图知： ，
所以 ，即 的取值范围是(0,＋∞)
由二次函数的对称性得： ，
因为 ，即 ，故
故选：D
【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.
第II卷
4、B
【解析】由已知求得 ，则由诱导公式可求.
【详解】函数 的图象可以由 的图象向右平移2各单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标为 ，又 的反函数过点 ，所以函数 过点 ，所以 ，解得 ，所以 .
故答案为：8
13、
【解析】利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的平移变换及余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因 ，
将 的图像向左平移 个单位，得到 ，
21．已知： ， ．设函数
求：（1） 的最小正周期；
（2） 的对称中心，
（3）若 ，且 ，求
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用两角和的正弦公式化简函数， 代入周期计算公式 即可求得周期.
【详解】 ，周期为：
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
【详解】幂函数 的图象经过点 ，设 ，
，
解得 故 ，
所以 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2；（2） .
【解析】（1）由条件利用对数的运算性质求得要求式子的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系平方即可求解
【详解】（1）原式 .
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知 ，则 的周期为（）
A. B.
C.1D.2
2．已知 为第二象限角，则 的值是（）
A.3B.
C.1D.
3．已知函数 ，函数 有四个不同的的零点 ， ， ， ，且 ，则（）
A.a的取值范围是(0, )B. 的取值范围是(0,1)
棱柱的体积为12
②12是下底面的周长，6是三棱柱的高，此时，下底面的边长为4，面积为 ，所以正三
棱柱的体积为24 ，
故答案为 或
【点睛】本题的易错点在于只求一种情况，应该注意考虑问题的全面性．分类讨论是高中数学的常考
思想，在运用分类讨论思想做题时，要做到不重不漏
16、
【解析】先代入点的坐标求出幂函数，再计算即可.
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数 若函数 有三个不同的零点 ，且 ，则 的取值范围是____
12．已知 且 ， 且 ，函数 的图象过定点A，A在函数 的图象上，且函数 的反函数过点 ，则 ______.
13．若将函数 的图像向左平移 个单位后所得图像关于 轴对称，则 的最小值为___________.
14．在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 ， 两点， ， 的纵坐标分别为 ， .则 的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________.
15．正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是_____.
16．幂函数 的图象经过点 ，则 _____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算： ，（ 为自然对数的底数）；
（2）已知 ，求 的值.
18．在 中，设角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的取值范围.
19．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ ）的最小正周期为π，且
11、 ；
【解析】作图可知:
点睛：利用函数零点 情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
12、8
【解析】由图象平移变换和指数函数的性质可得点A坐标，然后结合反函数的性质列方程组可解.
故选：A
【点睛】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题.
2、C
【解析】由 为第二象限角，可得 ，再结合 ，化简即可.
【详解】由题意， ，
因为 为第二象限角，所以 ，
所以 .
故选：C.
3、D
【解析】将问题转化为 与 有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.）函数 的最小正周期为 ；
（2） ，得 ，所以对称中心 ；
（3）由题意， ，得 或 ，所以 或
点睛：本题考查三角函数的恒等关系的综合应用．本题中，由向量的数量积，同时利用三角函数化简的基本方法，得到 ，利用三角函数的性质，求出周期、对称中心等
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.
9、D
【解析】化简集合 、 ，进而可判断这两个集合的包含关系.
【详解】因为 ， ，因此， .
故选：D.
10、A
【解析】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
【点睛】本题考查正弦型函数性质单调性，函数的平移变换，函数的值域的应用．属中档题.
20、（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）根据所有的基本事件的个数为 ，而所得点数相同的情况有 种，从而求得事件“两颗骰子点数相同”的概率；（2）根据所有的基本事件的个数，求所求的“点数之和小于 ”的基本事件的个数，最后利用概率计算公式求解即可；（3）根据所有的基本事件的个数，求所求的“点数之和等于或大于 ”的基本事件的个数，最后利用概率计算公式求解即可
所以 ， 是锐角，可得 ，
所以 ，
所以 的终边与单位圆交点的纵坐标为 .
故答案为： .
15、 或
【解析】分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入体积计算公式即可
【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和12的矩形，所以有以下两种情况，
①6是下底面的周长，12是三棱柱的高，此时，下底面的边长为2，面积为 ，所以正三
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解
8、D
【解析】利用线面关系，面面关系的性质逐一判断.
【详解】解：对于A选项， ， 可能异面，故A错误；
对于B选项，可能有 ，故B错误；
对于C选项， ， 的夹角不一定为90°，故C错误；
故对D选项，因为 ， ，故 ，因为 ，故 ，故D正确.
（1）求ω和φ的值；
（2）函数f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移 个单位，得到函数g（x）的图象，
①求函数g（x）的单调增区间；
②求函数g（x）在 的最大值
20．抛掷两颗骰子，计算：
（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；
（2）事件“点数之和小于7” 概率；
（3）事件“点数之和等于或大于11”的概率.
（2）利用函数的平移变换求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的单调区间
（3）利用函数的定义域求出函数的值域
【详解】（1） 的最小正周期为 ，所以 ，即 =2，
又因为 ，则 ，所以 .
（2）由（1）可知 ，则 ，
① 由 得，
函数 增区间为 .
② 因为 ，所以 .
当 ，即 时，函数 取得最大值，最大值为 .
A. B.
C. D.
8．对于空间中的直线 ， 以及平面 ， ，下列说法正确的是（）
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
9．设集合 ， ，则集合 与集合 的关系是（）
A. B.
C. D.
10．已知 是自然对数的底数，函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是
试题解析：抛掷两颗骰子，总的事件有 个.
（1）记“两颗骰子点数相同”为事件 ，则事件 有6个基本事件，
∴
（2）记“点数之和小于7” 事件 ，则事件 有15个基本事件，
∴
（3）记“点数之和等于或大于11”为事件 ，则事件 有3个基本事件，
∴ .
考点：古典概型.
21、（1） ；（2） （k∈Z）；（3） 或 .
即 ，
由正弦定理得
由余弦定理得 ，
又 .
（2） ，
则 的周长
.
，
，
周长的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.
19、(1) ； （2）① 增区间为 ;②最大值为3.
【解析】（1）直接利用函数的周期和函数的值求出函数的关系式
7、B
【解析】
试题分析：取BC中点M，则有 ,所以三棱锥 的体积是 ，选B.
考点：三棱锥体积
【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A
考点：函数的零点
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
C. D.
4．已知α是第三象限的角，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
5．直线 和直线 的距离是
A. B.
C. D.
6．已知点 位于第二象限，那么角 所在的象限是
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
7．三棱锥 的外接球为球 ，球 的直径是 ，且 ， 都是边长为1的等边三角形，则三棱锥 的体积是
【详解】 α是第三象限的角，且 ，
， .
故选：B.
5、A
【解析】因为直线 即 ，故两条平行直线 和 的距离
故选A
6、C
【解析】通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角 所在的象限．
【详解】点 位于第二象限，
可得 ， ，
可得 ， ，
角 所在的象限是第三象限
故选C．
【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，是基础题．第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负.
又 关于 轴对称，
所以 ， ，所以 ，
所以当 时 取最小值 ；
故答案为：
14、
【解析】根据任意角三角函数的定义可得 ， ， ， ，再由 展开求解即可.
【详解】以 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 ， 两点， ， 的纵坐标分别为 ，
所以 ， 是锐角，可得 ，
因为锐角 的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为 ，
【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同角三角函数的基本关系，熟记公式是关键，属于基础题
18、（1） ；（2）
【解析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知 ，
【详解】 有四个不同的零点 、 、 、 ，即 有四个不同的解
的图象如下图示，
由图知： ，
所以 ，即 的取值范围是(0,＋∞)
由二次函数的对称性得： ，
因为 ，即 ，故
故选：D
【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.
第II卷
4、B
【解析】由已知求得 ，则由诱导公式可求.
【详解】函数 的图象可以由 的图象向右平移2各单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标为 ，又 的反函数过点 ，所以函数 过点 ，所以 ，解得 ，所以 .
故答案为：8
13、
【解析】利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的平移变换及余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因 ，
将 的图像向左平移 个单位，得到 ，
21．已知： ， ．设函数
求：（1） 的最小正周期；
（2） 的对称中心，
（3）若 ，且 ，求
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用两角和的正弦公式化简函数， 代入周期计算公式 即可求得周期.
【详解】 ，周期为：
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
【详解】幂函数 的图象经过点 ，设 ，
，
解得 故 ，
所以 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2；（2） .
【解析】（1）由条件利用对数的运算性质求得要求式子的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系平方即可求解
【详解】（1）原式 .
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知 ，则 的周期为（）
A. B.
C.1D.2
2．已知 为第二象限角，则 的值是（）
A.3B.
C.1D.
3．已知函数 ，函数 有四个不同的的零点 ， ， ， ，且 ，则（）
A.a的取值范围是(0, )B. 的取值范围是(0,1)
棱柱的体积为12
②12是下底面的周长，6是三棱柱的高，此时，下底面的边长为4，面积为 ，所以正三
棱柱的体积为24 ，
故答案为 或
【点睛】本题的易错点在于只求一种情况，应该注意考虑问题的全面性．分类讨论是高中数学的常考
思想，在运用分类讨论思想做题时，要做到不重不漏
16、
【解析】先代入点的坐标求出幂函数，再计算即可.
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数 若函数 有三个不同的零点 ，且 ，则 的取值范围是____
12．已知 且 ， 且 ，函数 的图象过定点A，A在函数 的图象上，且函数 的反函数过点 ，则 ______.
13．若将函数 的图像向左平移 个单位后所得图像关于 轴对称，则 的最小值为___________.
14．在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 ， 两点， ， 的纵坐标分别为 ， .则 的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________.
15．正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是_____.
16．幂函数 的图象经过点 ，则 _____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算： ，（ 为自然对数的底数）；
（2）已知 ，求 的值.
18．在 中，设角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的取值范围.
19．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ ）的最小正周期为π，且
11、 ；
【解析】作图可知:
点睛：利用函数零点 情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
12、8
【解析】由图象平移变换和指数函数的性质可得点A坐标，然后结合反函数的性质列方程组可解.
故选：A
【点睛】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题.
2、C
【解析】由 为第二象限角，可得 ，再结合 ，化简即可.
【详解】由题意， ，
因为 为第二象限角，所以 ，
所以 .
故选：C.
3、D
【解析】将问题转化为 与 有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.）函数 的最小正周期为 ；
（2） ，得 ，所以对称中心 ；
（3）由题意， ，得 或 ，所以 或
点睛：本题考查三角函数的恒等关系的综合应用．本题中，由向量的数量积，同时利用三角函数化简的基本方法，得到 ，利用三角函数的性质，求出周期、对称中心等
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.
9、D
【解析】化简集合 、 ，进而可判断这两个集合的包含关系.
【详解】因为 ， ，因此， .
故选：D.
10、A
【解析】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
【点睛】本题考查正弦型函数性质单调性，函数的平移变换，函数的值域的应用．属中档题.
20、（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）根据所有的基本事件的个数为 ，而所得点数相同的情况有 种，从而求得事件“两颗骰子点数相同”的概率；（2）根据所有的基本事件的个数，求所求的“点数之和小于 ”的基本事件的个数，最后利用概率计算公式求解即可；（3）根据所有的基本事件的个数，求所求的“点数之和等于或大于 ”的基本事件的个数，最后利用概率计算公式求解即可
所以 ， 是锐角，可得 ，
所以 ，
所以 的终边与单位圆交点的纵坐标为 .
故答案为： .
15、 或
【解析】分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入体积计算公式即可
【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和12的矩形，所以有以下两种情况，
①6是下底面的周长，12是三棱柱的高，此时，下底面的边长为2，面积为 ，所以正三
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解
8、D
【解析】利用线面关系，面面关系的性质逐一判断.
【详解】解：对于A选项， ， 可能异面，故A错误；
对于B选项，可能有 ，故B错误；
对于C选项， ， 的夹角不一定为90°，故C错误；
故对D选项，因为 ， ，故 ，因为 ，故 ，故D正确.
（1）求ω和φ的值；
（2）函数f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移 个单位，得到函数g（x）的图象，
①求函数g（x）的单调增区间；
②求函数g（x）在 的最大值
20．抛掷两颗骰子，计算：
（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；
（2）事件“点数之和小于7” 概率；
（3）事件“点数之和等于或大于11”的概率.
（2）利用函数的平移变换求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的单调区间
（3）利用函数的定义域求出函数的值域
【详解】（1） 的最小正周期为 ，所以 ，即 =2，
又因为 ，则 ，所以 .
（2）由（1）可知 ，则 ，
① 由 得，
函数 增区间为 .
② 因为 ，所以 .
当 ，即 时，函数 取得最大值，最大值为 .
A. B.
C. D.
8．对于空间中的直线 ， 以及平面 ， ，下列说法正确的是（）
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
9．设集合 ， ，则集合 与集合 的关系是（）
A. B.
C. D.
10．已知 是自然对数的底数，函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是
试题解析：抛掷两颗骰子，总的事件有 个.
（1）记“两颗骰子点数相同”为事件 ，则事件 有6个基本事件，
∴
（2）记“点数之和小于7” 事件 ，则事件 有15个基本事件，
∴
（3）记“点数之和等于或大于11”为事件 ，则事件 有3个基本事件，
∴ .
考点：古典概型.
21、（1） ；（2） （k∈Z）；（3） 或 .
即 ，
由正弦定理得
由余弦定理得 ，
又 .
（2） ，
则 的周长
.
，
，
周长的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.
19、(1) ； （2）① 增区间为 ;②最大值为3.
【解析】（1）直接利用函数的周期和函数的值求出函数的关系式
7、B
【解析】
试题分析：取BC中点M，则有 ,所以三棱锥 的体积是 ，选B.
考点：三棱锥体积
【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A
考点：函数的零点
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
C. D.
4．已知α是第三象限的角，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
5．直线 和直线 的距离是
A. B.
C. D.
6．已知点 位于第二象限，那么角 所在的象限是
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
7．三棱锥 的外接球为球 ，球 的直径是 ，且 ， 都是边长为1的等边三角形，则三棱锥 的体积是
【详解】 α是第三象限的角，且 ，
， .
故选：B.
5、A
【解析】因为直线 即 ，故两条平行直线 和 的距离
故选A
6、C
【解析】通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角 所在的象限．
【详解】点 位于第二象限，
可得 ， ，
可得 ， ，
角 所在的象限是第三象限
故选C．
【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，是基础题．第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负.
又 关于 轴对称，
所以 ， ，所以 ，
所以当 时 取最小值 ；
故答案为：
14、
【解析】根据任意角三角函数的定义可得 ， ， ， ，再由 展开求解即可.
【详解】以 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 ， 两点， ， 的纵坐标分别为 ，
所以 ， 是锐角，可得 ，
因为锐角 的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为 ，