【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和试题理(含解析)新人教

2
3
n
n－1
∴ an＝bn·２＝ 2 ( mn＋ 1－m) ．
(2) 由(1) 得： an＝ 2n－ 1( mn＋ 1－ m) ，
an＋1－ an＝ [ m( n＋ 1) ＋ 1－m] ·２n－ ( mn＋ 1－ m) ·２n－1＝ 2n－ 1( mn＋ 1＋ m) ，
∵数列 { an} 是单调递减数列，
列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 ( ) ．
A． 1 升
67 B． 升
66
47 C． 升443 D． 升33anan＋1＋ 12
6．等差数列 { an} 中，a1＝ a3＋ a7－ 2a4＝ 4，则 n2＋3n 的值为整数时 n 的个数为 (
)．
d＞ 0，得 a2＝ 3， a5＝ 9，
1
2
1
1
在 Tn＝1－ 2bn 中，令 n＝ 1，得 b1＝ 3，当 n≥２时， Tn＝ 1－ 2bn，Tn－ 1＝ 1－ 2bn－ 1 ，
1
1
两式相减得 bn＝ 2bn － 1－ 2bn ，
bn 1
∴
bn
＝
－1
3(
n≥
2)
．
2 ∴ bn＝ ·
3
1 3
＝ n－ 1
的前
n 项和为
Tn，且
Tn＝
1－
1 bn(
n∈
N* )
．
2
(1) 求数 列 { an} ，{ bn } 的通项公式； (2) 记 cn＝ anbn，求数列 { cn} 的前 n 项和 Sn.
1
参考答案
一、选择题
43 1． B 解析： 令 an＝ 43－ 3n≥0，解得 n≤ ，故选 B.
3
2． C 解析： 由 a5＋ a8＋ a11＝ 3a1＋ 21d＝ 3( a1＋ 7d) ＝ 3a8 是定值，可知
×2＝－ 2 011.
2
故选 C.
5． B 解析： 设最上面一节容积为 a，容积依次增大 d，由题意知，
13
7
67
4a1＋ 6d＝ 3 和 3a1＋ 21d＝ 4，可求得 a1＝ 22， d＝66. 故 a5＝66.
故选 B.
6． C 解析： a3＋a7－ 2a4＝ 2d＝4， ∴ d＝2.
∴ an＝2n＋ 2.
anan＋1＋ 12 (2 n＋ 2)(2 n＋ 4) ＋12
∴ n2＋ 3n ＝
n2＋ 3n
20 ＝ 4＋n( n＋ 3) .
当 n＝1,2 时，符合题意． 3π π
7．D 解析： 若 m＞ 0，则公差 d＝ 2 － 2 ＝ π ，显然不成立，所以
3π π
2
－ 3
2
＝
π 3
.
m＜ 0，则公差 d＝
∴对任意的正整数
n，不等式 2n－1( mn＋ 1＋m) ＜ 0 恒成立，即
m＜－
1 恒成立
m＜
n＋ 1
1
1
－ n＋ 1
min
＝－
. 2
1 ∴ m＜－ 2.
12．解： (1) 由 a2＋ a5＝ 12，a2a5＝ 27，且公差 a5－ a2
∴ d＝ 3 ＝ 2，a1＝1. ∴ an＝2n－ 1( n∈ N* ) ．
1
1
1 2× 9 1－3n－ 1 2n－ 1
＝2 3＋
1
－ 3n＋1
1－ 3
1 1 1 2n－ 1
＝2
＋ － n－ 333
n＋1
3
4 4n＋ 4 ＝ 3－ 3n＋1 .
∴
Sn ＝ 2－
2n＋ 3n
2 (
n∈
N*
)
．
4
n ∴ a2＝1， Sn＝ 2
11
2＋
n 2
＝
1 4
n2
＋
1 4n
＝
1 (
n2＋
n)
．
4
a a n＋2
n＋ 1
an＋1
a2
an ＋1
9．96
解析：由 － ＝ 1 可知， an＋1 an
an
是等差数列， 公差为 1，其首项为 ＝ 1，∴
a1
an
＝ n. 累乘得 an＝ ( n－1)( n－2) …3·2·1( n≥2) ， ∴ a6－a5＝ 120－ 24＝ 96. n＋ m 10． 20 n－ m· a 解析： 设等差数列的首项为
15( a1＋ a15)
所以 S15＝
＝15a8 是定值．
2
故选 C.
uuur uuur
uuru
3． B 解析： 由于 A， B，C三 点共线，及 OB ＝ a2 OB a ＋ 2 009 OC ，
∴ a2＋a2 009 ＝ 1，
2 010( a1＋a2 010 ) S ＝ 2 010
2
2 010( a2＋ a2 009)
2 n(
n∈
N* )
．
3
2 4n－ 2 (2) cn＝ (2 n－1) · 3n＝ 3n ，
13 5
2n－ 1
∴ Sn＝2 3＋ 32＋ 33＋…＋ 3n ，
Sn
13
2n－ 3 2n－ 1
3 ＝ 2 32＋ 33＋…＋
n
3
＋ 3n＋1
，
2 ∴ Sn＝2
3
1 3＋ 2
11 32＋ 33＋…＋
1
n
3
2n－ 1 － 3n＋1
一、选择题
课时作业 28 等差数列及其前 n 项和
1．若数列 { an} 中， an＝ 43－3n，则 Sn 取最大值时， n＝ (
A． 13
B． 14
C． 15
)． D． 14 或 15
2．等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn( n＝ 1,2,3 ，… ) ，若当首项 a1 和公差 d 变化时， a5＋
＝
2
＝ 1 005.
4． C
n( n－ 1)
na1＋ Sn
d 2
解析： n＝
n
d ＝ a1＋( n－ 1) 2，
a8 是定值，
Sn
d
∴ n 为以 a1 为首项，以 2为公差的等差数列．
S2 009
S2 007
d
∴ 2 009 － 2 007 ＝2× 2＝2. ∴ d＝2.
2 011 ×2 01 0
∴ S2 011 ＝2 011 ×( － 2 011) ＋
a8＋ a11 是一个定值，则下列 选项中为定值的是 (
)．
A． S17
B． S18
C． S15
D． S14
3．已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 O→B＝ a2O→A＋ a2 009 O→C，且 A，B， C 三点共线 ( 该
直线不过原点 O) ，则 S2 010 ＝(
)．
A． 2 010
a1，公差为 d，
S7－ S3 4a1＋ 18d 2 8
则
＝
＝＝
S10 10a1＋ 45d 5 S10
S10 ＝ 20；
Sn－ Sm 同理 Sn＋m
n＋ m－ 1
( n－ m) · a1＋ 2 d
＝
( n＋ m)( n＋ m－ 1)
( n＋ m) a1＋
2
d
n－m a ＝＝
n＋m Sn＋m
n＋ m Sn＋ m＝n－ m· a.
8．已知 { an} 为等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1＝ 2，S2＝a3，则 a2 ＝__________ ， Sn
＝ __________.
a a n＋2
n＋1
9．已知 { an} 满足 a1＝ a2＝ 1，an＋1－ an ＝1，则 a6－ a5 的值为 __________ ．
10．等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S7－ S3＝ 8，则 S10＝ __________ ；一般地，若 Sn－ Sm
所以 m＝ cos
π 2
＋
π 3
＝－
3 2 ，故选
D.
2
二、填空题
8． 1
1( n2＋ n)
1
1
解析： 由 a1＝ ， S2＝a3 得， a1＋ a2＝a3，即 a3－ a2＝ ，∴｛an} 是一个
4
2
2
1
1
以
a1
＝
为首项，以 2
为公差的等差数列． 2
1
11
∴ an＝ 2＋ ( n－1) × 2＝ 2n，
B． 1 005
C． 22 010
D． 2－ 2010
S2 009
S2 007
4．等差数列 { an} 中， Sn 是其前 n 项和， a1＝－ 2 0 11， 2 009 －2 007 ＝ 2，则 S2 011 的值
为(
)．
A．－ 2 010
B． 2 010
C．－ 2 011
D． 2 011
5．《九章算术》 “竹九节”问题： 现有一根 9 节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数
A． 4
B． 3
C． 2
D． 1
7．已知函数 f ( x) ＝ cos x，x∈(0,2 π) 有两个不同的零点 x1，x2，且方程 f ( x) ＝ m有两
个不同的实根 x3， x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数
m＝( ) ．
1 A．2
1 B．－ 2
3 C． 2
3 D．－ 2
二、填空题 1
＝ a( n＞ m) ，则 Sn＋m＝ __________. 三、解答题 11．已知数列 { an} 满足： a1＝ 1， an＋1＝ 2an＋ m·２n( m是与 n 无关的常数且 m≠0) ． an (1) 设 bn＝ 2n，证明数列 { bn} 是等差数列，并求 an；
(2) 若数列 { an} 是单调递减数列，求 m的取值范围． 12． a2， a5 是方程 x2－ 12x＋ 27＝0 的两根，数列 { an} 是公差为正的等差数列，数列 { bn}
三、解答题 11．解： (1) an＋1＝ 2an＋m·２n，
a a m n＋ 1
n＋ 1
n
同除 2 得2n＋ 1＝ 2n＋2，
m 即 bn＋1＝ bn＋2.
1
m
∴数列 { bn} 是首项为 2，公差为 2的等差数列．
1
m mn＋ 1－ m
∴ bn＝ ＋ ( n－ 1) ＝
.
2
2
2
an ∵ bn＝ n，