专题22不等式选讲【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题22 不等式选讲
一、解答题
1．(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：
(1)23a b c ++≤；(2)若2b c =，则
11
3a c
+≥．【答案】(1)见解析：
(2)见解析：
解析：(1)证明：由柯西不等式有()()()22
2222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦
，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤；(2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤，即043a c <+≤，所以
1143
a c ≥+，由权方和不等式知()2
221211129
3444a c a c a c a c ++=+≥=≥++，
当且仅当
124a c =，即1a =，12
c =时取等号，【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2．(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a ，b ，c 都是正数，且3
3
3
2221a b c ++=，证明：
(1)19
abc ≤
；
(2)
a b c b c a c a b +++++；【答案】解析：证明：因为0a >，0b >，0c >，则3
20a >，3
20b >，3
20c >，
所以3332
22
3
a
b c
++，
即()12
13abc ≤
，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===时取等号．小问2详解】
【
证明：因为0a >，0b >，0c >，
所以b c +≥，a c +≥，a b +≥，
所以
a b c ≤=
+，b a c ≤=+，c a b ≤=+
a b c b c a c a b ++≤==+++当且仅当a b c ==时取等号．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2022年全国乙卷理科·第23题
3．(2021年高考全国甲卷理科·第23题)已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．
(1)画出()y f x =和()y g x =的图像；(2)若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．【答案】(1)图像见解析；(2)11
2
a ≥解析：(1)可得2,2
()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨
-≥⎩
，画出图像如下：
34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+--=+-≤<⎨⎪
⎪
≥⎪⎩
，画出函数图像如下：
(2)()|2|f x a x a +=+-，
如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，
()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，
则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，1|2|42a +-=，解得112a =或5
2-(舍去)
，
则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移
112个单位，11
2
a ∴≥
.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值函数的图像及其应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第23题
4．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．
(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．
【答案】(1)(][),42,-∞-+∞ ．(2)3
,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
．
解析：(1)当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．
(2)依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，
333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，
所以3a a +>-或3a a +<，
解得32
a >-
．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第23题
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．
(1)画出()y f x =的图像；
(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．
【答案】(1)详解解析；(2)76⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭．【解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧
⎪+≥⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪
--≤-⎪⎩
，作出图象，如图所示：
(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +
的图象，如图所示：
由()3511x x --=+-，解得76
x =-
．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题
6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2
()|21|f x x a x a =-+-+．
(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围． 【答案】(1)32x x ⎧≤
⎨⎩
或112x ⎫
≥⎬⎭
；(2)(][),13,-∞-+∞ ．解析：(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，
()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3
2
x ≤；
当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；
当4x ≥时，
()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112
x ≥
；
综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤
⎨⎩
或112x ⎫≥⎬⎭
．(2)()()()()2
2
2
22121211f x x a x a x a
x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当
221a x a -≤≤时取等号)，
()2
14a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，
a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
7．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．
(1)证明：ab +bc +ca <0；
(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c
．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．
解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，
()222
12
ab bc ca a b c ∴++=-
++1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222
12
0ab bc ca a b c ∴++=-
++<；(2)不妨设max{,,}a b c a =，
由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，
1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc
++++∴=⋅==≥=．
当且仅当b c =
时，取等号，
a ∴≥
，即max{,,}a b c …．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．
.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
8．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．
(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
(2)若2
2
2
1
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】【答案】(1)
4
3
；(2)见详解．【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++
222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-
222
3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦…
故由已知得232
(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511
,,333
x y z ==-=-时等号成立．
所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为
4
3
．(2)由于2
[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣
⎦…故
由
已
知
得
2
2
2
2
(2)(2)(1)()3
a x y z a +-+-+-…
，当且仅当
4122
,,3
33
a
a a x y z ---=
=
=时等号成立．因此2
2
2
(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为
2
(2)3a +由题设知2(2)1
33
a +…，解得3a -≤或1a -≥．
【解法2】柯西不等式法
(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2
2
2
4(1)(1)(1)3x y z -++++≥
，当且仅当5
11
,,3
33
x y z ==-=-时等号成立．
所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为
4
3
．
(2)222
1(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当
4122
,,3
33
a
a a x y z ---=
=
=时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．
所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．
【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．
()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；
()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．
【答案】【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】
()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.
当1x <时，2
()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.
()2因为()=0f a ，所以a ≥.
当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.
【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，
2x ≥三种情况，即可求出结果；
()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.
【解析】
()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；
当1x <时，原不等式可化，即()2
10x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；
为
当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()2
10x -<，显然不成立；此时解集为
空集；
综上，原不等式的解集为(),1-∞；
()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，
即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；
当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a -<⎧⎪=⎨--<⎪⎩
≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1
a <不满足题意；
综上，a 的取值范围是[)1,+∞.
【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题
10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：
(1)
222111
a b c a b c
++++≤；(2)3
3
3
()()(24a b b c c a +++++．
【答案】解：(1)因为2
2
2
2
2
2
2,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有
222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++=
=++≥．所以222111
a b c a b c
++++≤.
(2)因为, , a b c 为正数且1abc =
，故有
333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c
=324
⨯⨯⨯=≥所以3
3
3
()()()24a b b c c a +++++≥．【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题
11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)
设函数()211f x x x =++-．
为
(1)画出()y f x =的图象；
(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．
【答案】【官方解析】(1)()13,212,1
23,1x x f x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+-≤<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
()y f x =的图像如图所示
(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5
．
【民间解析】(1)()211f x x x =++-3,11
2,
12132
x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪
=+-
≤≤⎨⎪⎪-<-
⎪⎩
，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3
a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知3
2a b ≥⎧⎨
≥⎩
，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题
12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =
时，
24,1,()2,
12,26, 2.
x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩
≤≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．(2)()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．
而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ．【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题
13．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．
(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．
【答案】解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,
2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为1{|}2
x x >．
(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax ≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题
14．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,
．
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求的取值范围
【答案】(1);(2)．
()2
4f x x ax =-++()11g x
x x =++-1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a 1x x ⎧⎪-≤≤⎨⎪⎩[]1,1-
【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,
,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,
等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以
且,得,所以的取值范围为．
【解析】(1)当时,不等式等价于①
当时,①式化为,无解;
当时,①式化为,从而;
当时,①式化为,从而
所以不等式的解集为 (2)当时,
所以的解集包含,等价于当时,
又在的最小值必为与之一,所以
,得．
所以的取值范围为．
【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题
【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题
15．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知函数．(1)求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．
1a =()()f x g x ≥2
|1||1|40x x x x -+++--≤x 1x <-11x -≤≤1x >[1,1]x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[1,1]-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()12f -≥()12f ≥11a -≤≤a []1,1-1a =()()f x g x ≥2
1140x x x x -+++--<1x <-2
340x x --≤11x -≤≤2
20x x --≤11x -≤≤1x >2
40x x +-≤1x <≤
()()f x g x ≥1x x ⎧⎪-≤≤
⎨⎪⎩[]1,1x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[]1,1-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()()12
12
f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩11a -≤≤a []1,1-()12f x x x =+--()1f x ≥()2
f x x x m ≥-+m
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由综上可得不等式的解集为．
(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围
不等式的解集为空集等价于不等式恒成立
记，则当时，当时，当时，所以所以不等式的解集为空集时，所以不等式的解集非空时，的取值范围为．
解法二：原式等价于存在，使成立，即设{}
1x x ≥5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝
⎦
()3, 11221, 12
3, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪
=+--=-≤≤⎨⎪>⎩
()1f x ≥131x <-⎧⎨
-≥⎩12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩2
31
x >⎧⎨≥⎩131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 1222x x -≤≤⎧⎨
≥⎩12x ⇒≤≤2
31
x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2
f x x x m ≥-+m ()2
f x x x m ≥-+()2
m f x x x >-+()()2
F x f x x x =-+2223, 1
31, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩
()max
m F x >⎡⎤⎣⎦1x <-()()2
2
11131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---
<-=- ⎪⎝⎭12x -≤≤()2
2
3535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x >()()2
2
11332124F x x x x F ⎛
⎫=-++=--+
<= ⎪⎝
⎭()max 35
24
F x F ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣
⎦⎝⎭()2
f x x x m ≥-+5
4
m >
()2
f x x x m ≥-+m 5,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
x R ∈2
()f x x x m -+≥2
max [()]f x x x m
-+≥2
()()g x f x x x
=-+
由(1)知 当时，，其开口向下，对称轴所以当时，，其开口向下，对称轴为所以当时，，其开口向下，对称轴为所以综上所以的取值范围为．
【考点】绝对值不等式的解法【点评】绝对值不等式的解法有三种：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，
证明：
(1)；(2)．
【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：
22
23,1()31,12
3,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩
1x ≤-2
()3g x x x =-+-1
12
x =
>-()()11135
g x g ≤-=---=-12x -<<()2
31g x x x =-+-32
x =
()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-=
⎪
⎝⎭
2x ≥()2
3g x x x =-++1
2
x =()()24231g x g ≤=-++=()max 54
g x =
⎡⎤⎣⎦m 5,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
3
3
0,0,2a b a b >>+=3
3
()()4a b a b ++≥2a b +
≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦
解法二：解法三：又，所以．
当时，等号成立．所以，，即．
(2)解法一：由及得
所以．
解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：
，
即，因为，所以，即
，矛盾，所以假设不成立，
即．
解法三：因为，
所以：．
又，所以: 。

所以，，即．
5566553325533
()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b
++=+++=+++
-33233332()2()4
a b a b a b ≥++=+=()()()()(
)
2
555533
5533
42a b a b a b a b a b
ab a b a b ++-=++-+=+-0,0a b >>(
)
2
5533
2
220ab a b a b ab a b +-=-≥a b =()(
)55
40a b a b
++-≥5
5()()4a b a
b ++≥3
3
2a b +=2
()4
a b ab +≤222
2()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦
2233()()()4()4
a b a b a b a b ⎡⎤+≥+⋅+-⎢⎥⎣⎦+=
2a b +≤2a b +>2a b >-3323(2)8126a b b b >-=-+-3
3
2
8126a b b b +>-+3
3
2a b +=2
61260b b -+<26(1)0b -<2a b +≤3
3
2a b +=()()(
)3
3
3
3
3
22333
843344a b a b a b
a
a b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()2
22333a b a b a b a b a b =-+-=-+-0,0a b >>()()2
30a b a b -+-≤()3
8a b +≤2a b +≤
【考点】基本不等式；配方法
【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形后若与二次函数有关，可用配方法．【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
17．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
已知函数()2f x x a a =-+.
(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;
(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ){}
13x x -≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.
【解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x =-+.
解不等式2226x -+≤,得13x -≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}
13x x -≤≤.(Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+≥当1
2
x =
时等号成立.所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a -+≥.①当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解.当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥所以的取值范围是[)2,+∞.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题
18．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数()11
22
f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．(I)求M ；
(II)证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+．【答案】(1){}|11M x x =-<<；(2)见解析
【官方解答】(1)()12,,2111,
,2212,.2x x f x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
⎪
≥⎪⎩
当1
2x ≤-
时，由()2f x <得22x -<，解得1x >-；当11
22x -<<时，()2f x <恒成立；
当1
2
x ≥时，由()2f x <，得22x <，解得1x <．
所以()2f x <的解集{}|11M x x =-<<．
(2)由(1)知，当a b M ∈，时，11a -<<，11b -<<，从而
()()
()()22
22222211110a b ab a b a b a b +-+=+--=--<．
因此1a b ab +<+．
【民间解答】⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若1
12
x -<<-；
当11
22
x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；
当12x >时，()2f x x =，若()2x <，1
12
x <<．
综上可得，{}|11M x x =-<<．
⑵当()11a b ∈-，
，时，有()()
22110a b -->即22221a b a b +>+，
则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()2
2
1ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题
19．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数(x)123f x x =+--．(I)画出(x)y f =的图像；(II)求不等式(x)1f >的解集．
【答案】
(I)见解析 (II)()()
11353⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭
，，，【官方解答】(I)()4133212342
x x f x x x x x ⎧
⎪--⎪
⎪
=--<<
⎨⎪
⎪
-⎪⎩，≤，，≥，()y f x =如图所示：
(II)由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =-时，得1
3
x =
或5x =故()1f x >的解集为{}
13x x <<；()1f x -<的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩
⎭
或()1f x >∴，解集为()()11353⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
，，，．
【民间解答】(I)
如上图所示：
(II)()4133212342
x x f x x x x x ⎧
⎪--⎪
⎪
=--<<
⎨⎪
⎪
-⎪⎩，≤，，≥()1
f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1
x -∴≤当312x -<<
，321x ->，解得1x >或13x <113x -<<∴或312x <<当32
x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 3
32x <∴≤或5
x >综上，1
3
x <或13x <<或5
x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭ ，，，．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题
20．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >
+>；
>
+是a b c d -<-的充要条件．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析．
解析：(Ⅰ)因
为2a b +=++
2c d =++由题设a b c d +=+，
ab cd >
，得22>+
+>(Ⅱ)(ⅰ)若
a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为
a b c d +=+，所以ab cd >，由(Ⅰ)
>+(ⅱ)
若
>+
22>
，即a b ++
>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-
，综上，+>是a b c d -<-的充要条件．
考点：推理证明．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第24题
21．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数()12,0f x x x a a =+-->．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围【答案】(Ⅰ)2
{|
2}3
x x <<(Ⅱ)(2，+∞)分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．
解析：(Ⅰ)当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，
等价于11221x x x ≤-⎧⎨
--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221
x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得2
23x <<，
所以不等式f(x)>1的解集为2
{|
2}3
x x <<． (Ⅱ)由题设可得，12,1()312,12,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪
=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
，
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21
(
,0)3
a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22
(1)3
a +．
由题设得22
(1)3
a +＞6，解得2a >．
所以a 的取值范围为(2，+∞)．
考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第24题
22．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．
设函数()f x =1(0)
x x a a a
++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；
(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．
【答案】解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a
++-=++-≥++-=+≥，
仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．
(Ⅱ)()3f =1133335
a a a a
++-=-++<当03a <<时，()3f =165a a
-+<
，解得a >
当3a ≥时，()3f =15a a
+<
，解得a >
综上所述，a
的取值范围为．考点：(1)三角不等式的运用(2)分类讨论的思想难度：B 备注：高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题【题目来源】2014高考数学课标2理科·第24题
23．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
若,且
． (1)求的最小值
;
(2)是否存在,使得，并说明理由．【答案】解析:(1)
,得,且当
, 故,且当
,
∴的最小值为．
(2)由,得,又由(1)知
,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．
0,0a b
>>11
a b
+3
3
a b +,a b 236a b +=11a b =
+³2ab ³a b =33a b +³=a b =33
a b +623a b =+³3
2
ab £
2ab ³,a b 236a b +=
考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用 难度:B
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\均值不等式与柯西不等式【题目来源】2014高考数学课标1理科·第24题
24．(2013高考数学新课标2理科·第24题)设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：
(Ⅰ)1
3
ab bc ac ++≤；(Ⅱ)2221
a b c b c a ++≥【答案】证明：(1)由2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++………得
222a b c ab bc ac ++++….
由题设得2()1a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=.所以3()1ab bc ac ++…，即1
3
ab bc ac ++…
.(2)因为222
2,2,2a b c b a c b a c b c a +++………，
故222
()2()a b c a b c a b c b c a +++++++…，即222
a b c a b c b c a ++++….所以
222
1a b c b c a
++….
(2)7.1.3不等式性质的应用；(3)7.3.1利用基本不等式证明简单不
难度：C 备注：高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第24题
25．(2013高考数学新课标1理科·第24题)选修4—5：不等式选讲
已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +．(Ⅰ)当a =2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；
(Ⅱ)设a ＞-1,且当x ∈[2a -
，1
2
)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围．【答案】(1){|02}x x << (2)(-1，4
3
]．
解析：当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，
设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
--≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．
(Ⅱ)当x ∈[2a -
，1
2
)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+，∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2
a
-≥2a -，即a ≤43，
∴a 的取值范围为(-1，4
3
]．
考点：(1)12．3．1含绝对值不等式的解法；(2)12．3．3含绝对值的恒成立问题．难度：Ｂ备注：高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第24题一、解答题
1．(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：
(1)23a b c ++≤；(2)若2b c =，则
11
3a c
+≥．【答案】(1)见解析：
(2)见解析：
解析：(1)证明：由柯西不等式有()()()22
2222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦
，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤；(2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤，即043a c <+≤，所以
1143
a c ≥+
，
由权方和不等式知()2
221211129
3444a c a c a c a c ++=+≥=≥++，
当且仅当
124a c =，即1a =，12
c =时取等号，【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2．(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a ，b ，c 都是正数，且3
3
3
2221a b c ++=，证明：
(1)19
abc ≤
；
(2)
a b c b c a c a b +++++；【答案】解析：证明：因为0a >，0b >，0c >，则3
20a >，3
20b >，3
20c >，
所以3332
2
2
3
a b c ++，
即()1
213abc ≤
，所以19abc ≤，当且仅当333222a b c ==
，即a b c ===时取等号．小问2详解】
证明：因为0a >，0b >，0，
所以b c +≥
，a c +≥
，a b +≥，
所以
a b c ≤=
+
，b a c ≤=+
，c a b ≤=
+a b c b c a c a b ++≤==+++当且仅当a b c ==时取等号．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2022年全国乙卷理科·第23题
3．(2021年高考全国甲卷理科·第23题)已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．
【
(1)画出()y f x =和()y g x =的图像；(2)若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．【答案】(1)图像见解析；(2)112
a ≥
解析：(1)可得2,2
()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨
-≥⎩
，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪
⎪
=+--=+-≤<⎨⎪
⎪
≥⎪⎩
，画出函数图像如下：
(2)()|2|f x a x a +=+-，
如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，
()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，
则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，1|2|42a +-=，解得112a =或5
2-(舍去)，
则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移
112个单位，11
2
a ∴≥
.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值函数的图像及其应用【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第23题
4．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．
(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】(1)(][),42,-∞-+∞ ．(2)3,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
．解析：(1)当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．
(2)依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，
333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，
所以3a a +>-或3a a +<，解得3
2
a >-
．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第23题
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．
(1)画出()y f x =的图像；
(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】(1)详解解析；(2)7,6⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
．【解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧
⎪+≥⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪
--≤-⎪⎩
，作出图象，如图所示：
(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：
由()3511x x --=+-，解得7
6
x =-
．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，
属于基础题．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题
6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2
()|21|f x x a x a =-+-+．
(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围． 【答案】(1)32x x ⎧≤
⎨⎩
或112x ⎫
≥⎬⎭
；(2)(][),13,-∞-+∞ ．解析：(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，
()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3
2
x ≤；
当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；
当4x ≥时，
()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112
x ≥
；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩
或112x ⎫≥⎬⎭．
(2)()(
)()()2
2
2
22121211f x x a x a x a
x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当
221a x a -≤≤时取等号)，
()2
14a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，
a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
7．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．
(1)证明：ab +bc +ca <0；
(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．
解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，
()222
12
ab bc ca a b c ∴++=-
++1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222
12
0ab bc ca a b c ∴++=-
++<；(2)不妨设max{,,}a b c a =，
由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，
1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc
++++∴=⋅==≥=．
当且仅当b c =
时，取等号，
a ∴≥
，即max{,,}a b c …．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
8．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．
(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
(2)若2
2
2
1
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】【答案】(1)
4
3
；(2)见详解．【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++
222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-
222
3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦…
故由已知得232
(1)(1)14
3()x y z -++++≥，当且仅当511
,,333
x y z ==-=-时等号成立．
所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为
4
3
．.
(2)由于2
[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣
⎦…故
由
已
知
得
2
2
2
2
(2)(2)(1)()3
a x y z a +-+-+-…
，当且仅当
4122
,,3
33
a
a a x y z ---=
=
=时等号成立．因此2
2
2
(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为
2
(2)3a +由题设知2(2)1
33
a +…，解得3a -≤或1a -≥．
【解法2】柯西不等式法
(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2
2
2
4
(1)(1)(1)3
x y z -++++≥
，当且仅当511
,
,333
x y z ==-=-时等号成立．
所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为
43
．(2)2
2
2
1
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当
41
,,3
3a
a x y z --=
=
=时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．
所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．
【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．
()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；
()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．
【答案】【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】
()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.
当1x <时，2
()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.
所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.
()2因为()=0f a ，所以1a ≥.
当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.
【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，
2x ≥三种情况，即可求出结果；
()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.
【解析】
()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；
当1x <时，原不等式可化，即()2
10x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；
当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()2
10x -<，显然不成立；此时解集为
空集；
综上，原不等式的解集为(),1-∞；
()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，
即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()(
)()2,1
()21,x a a x f x x a x x a -<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1
a <不满足题意；
综上，a 的取值范围是[)1,+∞.
【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第23题
10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：
为为
(1)
222111
a b c a b c
++++≤；(2)3
3
3
()()()24a b b c c a +++++≥．
【答案】解：(1)因为2
2
2
2
2
2
2,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有
222111
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c
++++++=
=++≥．所以222111a b c a b c ++++≤.
(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有
333()()()a b b c c a +++++≥
3(+)(+)(+)a b b c a c =324
⨯⨯⨯=≥所以3
3
3
()()()24a b b c c a +++++≥．【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第23题
11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)
设函数()211f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图象；
(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．
【答案】【官方解析】(1)()13,212,1
23,1x x f x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+-≤<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
()y f x =的图像如图所示
(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．
【民间解析】(1)()211f x x x =++-3,1
1
2,
12132
x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪
=+-≤≤⎨⎪⎪-<-
⎪⎩
，可作出函数()f x
的图象如下图
(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3
a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知3
2
a b ≥⎧⎨
≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题
12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时，24,1,()2,
12,26, 2.
x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩
≤≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．(2)()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．
而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +
．。