2021人教A版高中数学必修2章末测评：第2章 点、直线、平面之间的位置关系含解析

章末综合测评(二)点、直线、平面之间的位
置关系
(满分：150分时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是()
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
C[若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α.]
2．下面给出了四个条件：
①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有()
A．3个B．2个C．1个D．0个
D[①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面．] 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°
D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°.]
4．已知a，b，c是直线，则下面四个命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．
其中真命题的个数为()
A．0 B．3 C．2 D．1
D[异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．]
5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()
A．30°B．45°C．60°D．90°
B[当三棱锥D-ABC的体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，连接OD，OB，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.]
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B[选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.] 7．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB 的中点，则EF的长是()
A．1 B． 2
C．
2
2D．
1
2
B[取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与
AC 所成的角，即∠EDF ＝90°.在△EDF 中，ED ＝12SB ＝1，DF ＝12AC ＝1，所以EF
＝ED 2＋DF 2＝ 2.]
8．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α内有两条相交直线与β平行
C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一个平面
B [若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A ，
C ，
D 中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B 中条件是α∥β的充要条件．故选B.]
9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A -CD -B 的余弦值为( )
A ．12
B ．13
C ．33
D ．23
C [取AC 的中点E ，C
D 的中点F ，连接B
E ，E
F ，BF ，则EF ＝12，BE ＝22，
BF ＝32，因为EF 2＋BE 2＝BF 2，所以△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33.]
10．如图，在多面体ACBDE 中，BD ∥AE ，且BD ＝2，AE ＝1，F 在CD 上，
要使AC ∥平面EFB ，则DF FC 的值为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．12
B [连接AD 交BE 于点O ，连接OF , 因为A
C ∥平面EFB ，平面AC
D ∩平面
EFB ＝OF ，所以AC ∥OF . 所以OD OA ＝DF FC . 又因为BD ∥AE ，所以△EOA ∽△BOD ，
所以OD OA ＝DB EA ＝2. 故DF FC ＝2.]
11．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点)，记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则( )
A ．β＜γ，α＜γ
B ．β＜α，β＜γ
C ．β＜α，γ＜α
D ．α＜β，γ＜β
B [如图G 为A
C 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影
D 在线段AO 上，
过D 作DE ⊥AC 于E ，易得PE ∥VG ，过P 作PF ∥AC 交VG 于F ，
过D 作DH ∥AC ，交BG 于H ，
则α＝∠BPF ，β＝∠PBD ，γ＝∠PED ，
则cos α＝PF PB ＝EG PB ＝DH PB ＜BD PB ＝cos β，又α、β⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，可得β＜α； tan γ＝PD ED ＞PD BD =tan β，可得β＜γ.
]
12．如图所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，现在沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3重合，重合后的点记为G . 给出下列关系：
①SG ⊥平面EFG ；②SE ⊥平面EFG ；③GF ⊥SE ；④EF ⊥平面SEG .
其中成立的有( )
A ．①与②
B ．①与③
C ．②与③
D ．③与④
B [由SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF ＝G ，GE ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，得SG ⊥平面EFG ，排除
C ，
D ，若S
E ⊥平面EFG ，则SG ∥SE . 这与SG ∩SE ＝S 矛盾，排除A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l 1∥l 2，在l 1上取2个点，l 2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.
1 [因为l 1∥l 2，所以经过l 1，l 2有且只有一个平面．]
14．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝
CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________.
平行[因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC. 又因为AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF.]
15．已知平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β，且C∉l，AB∩l＝R.若过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.
CR[根据题意画出图形，如图，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ. 因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.]
16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________.
36π[如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r，则
OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥S-ABC的体积
V＝1
3×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2SC·OB·OA＝
r3
3，
即r3
3
＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明](1)∵C1C⊥平面ABC，
∴C1C⊥AC.
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，
而B1C⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥B1C.
(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图，
∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，
且AB＝2
3CD. 试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面P AD？若能，请确定
点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
[解] 在PC 上能找到点E ，且满足CE PE ＝12，可使BE ∥平面P AD .
证明如下：延长DA 和CB 交于点F ，连接PF .
在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝23CD .
所以AB CD ＝BF FC ＝23，所以BC BF ＝12.
又CE PE ＝12，所以在△PFC 中，CE PE ＝BC BF ，
所以BE ∥PF .
而BE ⊄平面P AD ，PF ⊂平面P AD ，
所以BE ∥平面P AD .
19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P -ABC ，P A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，P A ＝AC ，M 为PB 的中点．
(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求二面角M -AC -B 的大小．
[解] (1)证明：由P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ，
又因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，
所以BC ⊥平面P AC ，所以PC ⊥BC .
(2)取AB中点O，连接MO，过O作HO⊥AC于H，
连接MH，
因为M是BP的中点，所以MO∥P A，
又因为P A⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，
所以∠MHO为二面角M-AC-B的平面角，设AC＝2，则BC＝23，MO＝1，OH＝3，
在Rt△MHO中，tan ∠MHO＝MO
HO ＝3
3，
所以二面角M-AC-B的大小为30°.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面P AC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．
[解](1)因为P A⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
所以P A⊥BD.
又因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，P A∩AC＝A，
所以BD⊥平面P AC.
(2)因为P A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以P A⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.
又AB∥CD，所以AB⊥AE.
又P A⊂平面P AB，AB⊂平面P AB，P A∩AB＝A，所以AE⊥平面P AB.
又AE⊂平面P AE，所以平面P AB⊥平面P AE.
(3)棱PB上存在点F，且F为PB的中点，使得CF∥平面P AE.
取F为PB的中点，取G为P A的中点，连接CF，FG，EG.
因为G，F分别为P A，PB的中点，则FG∥AB，且FG＝1
2AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝1
2AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG.
因为CF⊄平面P AE，EG⊂平面P AE，
所以CF∥平面P AE.
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
[解](1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝
AD2＋PD2＝5，所以cos ∠DAP＝AD
AP
＝5
5.
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5
5.
(2)因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.
又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.
(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，在
Rt△DPF中，可得sin ∠DFP＝PD
DF
＝5
5.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5
5.
22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②.
①②
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC.
又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，
∴DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，
∴A1F⊥平面BCDE，∵BE⊂平面BCDE，
∴A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D，
∴A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。