实变函数-23 开集,闭集,完备集 24 直线上的开集、闭集及完备集的构造

注：E 为包含E的最小闭集
⑵开集与闭集的对偶性
a. (E)c (Ec ) (Ec ) (E )c
b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。
P0为 E的接触点： 0,有O( p0, ) E P0为 E的聚点： 0,有O( p0, ) (E {p0}) P0为 E的内点： 0,使得O( p0, ) E P0为 E的外点： 0, 使得O( p0 , ) E ,即O( p0 , ) Ec
知 ' 0, 有O(x', ') (E {x '})
(当
'
min{
d (x,
x '), d (x,
x ')}时,有x O(x', ')
O(
x
,
）
)
E
从而 O(x, ) (E {x})
即x为E的聚点，从而 (E')' E'
O( x', ')
利用(E)' (E E')' E'(E')' E'E' E' E 可得E为闭集
从而x是（a,的内点，
故(a,b)是开集。
a
x
b
说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然)
例：闭区间[a,b]为闭集
证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},
则 O(x, ) [a, b]c ,
从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， a
p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},
使得
lim
n
pn
p 0
或
p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使
lim
n
pn
p 0
得
Eº为开集
证明：只要证 E (E ) 任取 x E ，由内点的定义知 0,使得O(x, ) E
任取 y O(x, ) ，取 ' d(x, y)
闭集的余集是开集
证明：设E为闭集，即 E E 任取 x Ec ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内，
这与 x Ec 矛盾， 所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。
P0为 E的接触点： 0,有O( p0, ) E P0为 E的内点： 0,使得O( p0, ) E
6.R中有关紧性的两个结论
⑴Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.
点列{a1 , a2 , a3 , a4 ,…} a1 = (a11, a12, a13, … ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, … , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, … ,a3n)
开集的余集是闭集
证明：设E为开集，即 x E, 0,使得O(x, ) E 从而 O(x, ) Ec 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 CE CE ，即Ec为闭集。
P0为 E的接触点： 0,有O( p0, ) E P0为 E的内点： 0,使得O( p0, ) E
⑶开集的性质
A
B
a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。
注：无限多个开集的交不一定为开集，如： En=(0,1+1/n), Rn中只有空集和Rn既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1)
若E为开集，则Ec为闭集;
⑷闭集的性质
若E为闭集，则Ec为开集
O( x', ')
0, 有O(x, ) (E'{x})
取x 'O(x, ) (E '{x})，由x ' E '
知 ' 0, 有O(x', ') (E {x '})
(当
'
min{
d ( x,
x '), d(x,
x ')}时,有x O(x', ')
O(
x,
）
)
E`为闭集
O( x, )
( A )c Ac
a.空集，Rn为闭集；
( A )c Ac
b.任意多个闭集之交仍为闭集；
c.有限个闭集之并仍为闭集。
注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]
⒌直线上的开集构造
定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有 限个或可数个互不相交的开区间的并。
( )(
)(
)
(
第二章 点集
第三节 开集，闭集，完备集 第四节 直线上的开集、闭集及完备集的构造
1.开集、闭集
若Eº= E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 E E ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
P0为 E的接触点： 0,有O( p0, ) E P0为 E的聚点： 0,有O( p0, ) (E {p0}) P0为 E的内点： 0,使得O( p0, ) E
由于E E' E E' {E的孤立点全体} 故E E等价于E' E
说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然) 要证E是闭集，只要证 E' E或E E(因为E E显然)
例：开区间(a,b)为开集
证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|},
则 O(x, ) (a,b) ,
则O( y, ') O(x, ) E
从而y为E的内点，从而O(x, ) E
所以x为Eº的内点，即 x (E ) O( y, ')
E
从而E (E )，即E为开集
注： Eº为含于E内的最大开集
O( x, )
E`为闭集
O( x, )
证明：只要证 (E')' E' 任取 x (E')' ，由聚点的定义知 E
bx
从而[a,b]是闭集。
说明： 要证E是闭集，只要证
E ' E或Ec (E')c或E E或Ec (E)c (因为E E显然)
注：闭集为对极限运算封闭的点集
即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点
若 E E （或 E' E）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）
利用：
)(
⑴直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或 可数个互不相交的开区间所得之集.
开集的构造
⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区
间的公共端点;
但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。
( )(
)(
)
(
)(
⑶Rn中的开集一般不能表示成至 多可数个互不相交的开区间之并， 但总可表示成至多可数个互不相 交的半开半闭区间之并.