静定结构的位移计算

= 0.0044m = 0.44cm()
实际位移状态
虚设力状态
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作业： 第77页 4-1（a）、（b）、4-2
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⑤几种常见图形的情况：
单位荷载弯矩图由若干直线段组成 时，就应该分段图乘。
MMP
EI
dx
=
1 EI
( AP1 y1

AP2 y2

AP3 y3 )
两个梯形相乘时，不必找出梯形的 形心，而将一个梯形分解为两个三角 形，然后分别与另一梯形图乘。
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya

bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
=
1c 3
2d 3
均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。
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几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
h
h l/2 顶点 l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
l
A=hl/2
作业情况
一、桁架的内力标注在图上。
二、隔离体要画出。 用1-1截面将其断开……完了？？？ 应说明取那边为隔离体，并将隔离体 要画出。
三、桁架的内力+、-号代表 拉、压，仍有同学出错。
四、右面隔离体能计算出 FN1、FN2、FN3、FN4吗？
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§4—1 结构位移和虚功的概念 §4—2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4—3 静定结构由荷载引起的位移 §4—4 图乘法 §4—5 互等定理
△CD= △C+ △D
B
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线位移
角位移
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3. 计算位移的目的
（1）为了校核结构的刚度。
（2）结构施工的需要。
△
（3）为分析超静定结构打
起拱高度
下基础。
a）荷载作用；
4、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
-t
+t
β
M FQ FN k = d 2 w
Δ=

MMP EI
dx
（4）桁架
每一杆的内力及 截面都沿杆长不变
D =
FN FNP dx = FN FNPl
EA
EA
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
FN FQ M
k = MP EI
= FNP EA
= kFQP GA
真实位 移状态
在计算由于内力所引起的变形时，没有考虑杆件的曲
率对变形的影响，因此只有对直杆才正确，应用于曲杆计 算则是近似的。
是杆件截面抗弯、拉、
du = dx = FNP dx
EA
剪刚度；
k是截面形状系
dv = dx = kFQP dx 数k矩=1.2， k圆
GA
=10/9。
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
FN FQ M
k = MP EI
= FNP EA
真实位 移状态
= kFQP GA
D
=


MM EI
P
dx


DCV
=
1 EI
( AP1 y1 AP2 y2 )
= 2 ( 2 l ql 2 ) 5 l = 5ql 4 () EI 3 2 8 32 384EI
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例4-7：试求图示刚架C点的水平位 移ΔCH。EI为常数。
解：做出MP图和 M 图分别如图b、c 所示。
（1）M 图的BC段没有弯矩，只需 在AB段进行图乘。
t1
P2 K ΔKH
t2
K‘ Ε2γ2κ2
位移状态 2
c2
M \ FQ \ FN
虚拟力状态 1
c1 P=1
R2 返 回R1
2. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设 置相应的虚拟力状态。
例如:
广义力与 广义位移
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A
B 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！
P=1
求A点的 水平位移
二、变形体的虚功原理
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚 位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内 力所作的变形虚功总和。即：
W=Ｖ
称为虚功方程，式中：
W ——外力虚功 Ｖ ——内力虚功（虚应变能）
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对于杆件结构虚功原理 对于直杆构成的结构
杆件的虚功方程
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虚功原理的两种用法
1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。 这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用 虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。
2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这 是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚 功原理，这种形式的应用即为虚力原理。
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D Rc = Md FNdu FQdv
D = Md FN du FQdv Rc P1
杆件结构位移计算的一般公式
κγε
d x2
不产生内力，
Δ
产生变形产生位移
不产生内力和变形 产生刚体移动
位移是几何量，自然可用几何法来求，如
b=D l
但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。
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5.线性变形体系
计算位移时，常假定：1）荷载与位移成正比 σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系；4） 荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。 即：线弹性体系。可用叠加原理。

FN FNP EA
dx



k
FQ FQP GA
dx
注意到 无支座移动
（1） FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的 原因；虚设单位荷载引起的内力是 M \ FN \ FQ （2）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位
移的影响。
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荷载作用下的位移计算
（3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
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§4—1 结构位移和虚功的概念
一、结构位移
P
1. 变形和位移
A
在荷载作用下，结构将产生变形和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
△Ay △A
□
△Ax
A′
2. 位移的分类
线位移：
角位移： A
(△A)
△Ay △Ax
△C
A
△D
绝对位移
C C′ P
D′ D
相对位移 A
（2）两图均为直线， M 图上取面 积，MP图上取相应竖标，较为简便。
DCH
=
2 EI
1 4m 4m 2
(1 80KN m 2 160KN m)
3
3
1067KN
=
()
EI
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例4-8：试求图示伸臂梁A端 的角位移φA及C端的竖向位移 ΔCV。 EI = 5104 KN m2 解：做出MP图和 M 图分别如 图b、c、d所示。
桁架结构，在C、D上 作用与杆垂直的等值反 向的两个力F
W
=
FDC

FDD
=
F (DC

DD)
=
F
DC
d
DD
M = Fd
ED' = DC D D
EC '
d
W = M
广义力为力偶M，广义 位移为CD杆的转角φ
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（三）、实功与虚功
实功：力在本身引起的位移上作的功。
例如：一个体系
力状态
点的相对位移。
mA
4）若广义力是一对等值、反向的力偶m
W=mA+mB =m（ A+ B）=mΔ
Δ
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
A
表示AB两截面的相对转角。
B
P
β ΔB Δ
Bm
B
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5）两种情况的功
广义力是等值、反 向的一对力F
W = FDA FDB = F(DA DB )
力状态
位移状态
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力状态
位移状态
微段上的虚应变能表示为
dV = FN1du2 FQ1dv2 M1d2
V =
FN1du2
FQ1dv2
M1d2
对于直杆构成的结构
V = FN12dx FQ1 2dx M1k2dx
单个杆 件的应 变能
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将图b与图c相乘则得
A
=

1 5104

1 2

48 6
1 3
1
= 9.6104 rad ( )
结果中的负号表示φA 的 实际方向与Ｍ＝１的方向 相反，即逆时针方向。
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将图b与图d相乘则得
BC 段 在 均 布 荷 载 和 集 中荷载作用下，其弯矩图 不是标准的抛物线图形。
= 2.88103 0.6525103
二次抛物线ω=hl/3
二次抛物线ω=2hl/3
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。返 回
b)非标准抛物线成直线形
a h
b ＝a
+
举例
b h
c l
d
S
=
l
6 (2ac 2bd
m=1
求A截面 的转角
P=1 m=1 m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
求AB两点 的相对位移
l 1/l
1/l 求AB两点
连线的转角
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§4—3荷载作用下的位移计算
D = Md FN du FQdv Rc
d
= k dx
=
MP EI
dx
注：EI、EA、GA
()
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例 4—3 求图示桁架下弦 5的挠度。设各杆的截面面 积 A = 0.12m0.12m = 0.014m2，
E = 850 107 Pa 。 解：虚拟状态如图b所示。 实际状态和虚拟状态所产 生的杆件内力均列在表中， 根据公式：
可得所示结点5的挠度为
D5V
=
(125 5 260)KN m 850104 KN / m2 0.0144m2
MMP dx = 1 (
EI
EI
M M P'dx
M M P"dx)
MMP
EI
dx
=
1 EI
( al 2
ya

bl 2
yb )
ya
=
2c1d 33
yb
=
1c 3
2d 3
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两个图形都呈直线变化，但均含有
不同符号的两部分，图乘时也将其中 一图形分解为三角形。
MMP dx = 1 (
W=
虚功：力在其它
因素引起的位移上作的
位移状态
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
例如： W12=P1·△2
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§4—２变形体系的虚功原理和单位荷载法
一、虚应变能
当结构的力状态的外力因结构的位移状态的 位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相 对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以v 表示。
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例 4—2 求图示刚架A点
的 竖 向位移△Ay。E、A、 I为常数。
解：1. 设置虚拟状态 选取坐标如图。
则各杆弯矩方程为:
AB段：
x, BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
3. 代入公式得
， BC段： MP=
△Ay=
=
(-x)(- qx 2 ) 2
dx EI
+
qL2 dx (-L)(- 2 ) EI
二次抛物线A=2hl/3 顶点
h
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线A=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线A=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线A=hl/(n+1)
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图乘法 位移计算举例
D
=


MM EI
P
dx
=
AP yC
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原 理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然 后讨论静定结构的位移计算。
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二、功和虚功
（一）、功的概念
定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作 用点沿力作用线方向的分位移的乘积。
Ｗ=F△
△是力作用线方向的分位移
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（二）、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力F； 与位移相应的因子，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是： 它们的乘积是虚功。即：W=FΔ
ad
bc ) 2hl
3
cd 2
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例4-6：试求图示简支梁A
端的角位移 A 和中点C的竖
向位移 DCV 。EI为常数。
解：荷载作用下的弯矩图和两个单 位弯矩图分别如图b、c、d所示。
将图b与图c相乘则得
A
=
1 EI
(2 3
l
ql 2 8
)
1 2
=
ql 3 24EI
(
)
将图b与图d相乘则得
通过虚设单位广义力作用的力 状态，利用虚功方程求位移的方 法—单位荷载法。
注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) 一般公式右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标yC 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
h
顶点
3l/4
l/4
h l/2 顶点 l/2
1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在 力的方向上的分量。
2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。
3）若广义力是等值、反向的一对力P
W=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ P
AP t
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
mΔA
t
表示AB两点间距的改变，即AB两