由二阶循环矩阵构造Hopf-Galois_代数与拟三角Hopf_代数
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(１) ( ｍ⊗ｉｄ) ｏμ ＝ η⊗ｉｄꎬ( ｉｄ⊗ｍ) ｏμ ＝ ｉｄ⊗ηꎬ
(２) ( μ⊗ｉｄ⊗ｉｄ) ｏμ ＝ ( ｉｄ⊗ｉｄ⊗μ) ｏμꎬ
则称 Ａ 是一个 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数ꎬ其中 ｍ:Ａ⊗Ａ→Ａ 和 η:Ｒ → Ａ 分别是代数 Ａ 的乘法和单位ꎬＡ ｏｐ 是代
数 Ａ 的反代数.
ａ ｎ－２
⋱
⋮
ａ１
ａ０
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
显然ꎬ实数域上的 ｎ 阶矩阵的全体构成的集合关于矩阵的加法与矩阵的乘法ꎬ构成 Ｒ 上的一个代数ꎬ
以后称为一个 ｎ 阶循环矩阵代数.
— ７ —
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第 ４６ 卷第 ３ 期(２０２３ 年)
南京师大学报( 自然科学版)
这里 ｍ 是代数 Ｂ 的乘法映射ꎬη 是代数 Ｂ 的单位映射ꎬΔ 是余代数 Ｂ 的余乘法映射ꎬε 是余代数 Ｂ 的
余单位映射.
定义 ３ [７] 称( ＨꎬμꎬηꎬΔꎬε) 是一个双代数ꎬ如果存在一个线性映射 Ｓ:Ｈ→Ｈ 使得对任意 ｈ∈Ｈꎬ
∑ ｈ１ Ｓ( ｈ２ ) ＝ ε( ｈ)１ ＝ ∑ Ｓ( ｈ１ ) ｈ２ ꎬ
迅速发展起来ꎬ成为代数学中的一个重要分支ꎬ并在众多的数学分支中都有着重要的应用ꎬ例如ꎬ组合理
论、Ｇａｌｏｉｓ 理论、代数群论、Ｌｉｅ 理论等ꎬ并在量子逆扩散方法和超对称理论的研究中占有重要的地位 [４] .
拟三角 Ｈｏｐｆ 代数( Ｑｕａｓｉｔｒｉａｎｇｕｌａｒ Ｈｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａ) 是由世界著名数学家 Ｄｒｉｎｆｅｌｄ 于文[５] 中提出的ꎬ实际
çç ０
÷
０
０ ０ ø
è１
于是 Ａ ＝ ａ ０ Ｉ ｎ ＋ａ １ Ｊ １ ＋ａ ２ Ｊ ２ ＋ ＋ａ ｎ－１ Ｊ ｎ－１ ꎬ并且 Ｉ ｎ ꎬＪ １ ꎬＪ ２ ꎬꎬＪ ｎ－１ 线性无关ꎬ故它可以看作是 ｎ 循环矩阵代
数的一组基.
２ 由二阶循环矩阵构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数
下面ꎬ将在二阶循环矩阵代数 Ａ 上构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｉｏｓ 映射 μ:Ａ→Ａ⊗Ａ ｏｐ ⊗Ａ.
第 ４６ 卷第 ３ 期
南京师大学报( 自然科学版)
２０２３ 年 ９ 月
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＡＮＪＩＮＧ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ( Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ)
Ｖｏｌ ４６ Ｎｏ ３
Ｓｅｐｔꎬ２０２３
取 ａ １ ＝ １ꎬａ ２ ＝ ａ ３ ＝ ＝ ａ ｎ－１ ＝ ａ ０ ＝ ０ꎬ则得到如下基础循环矩阵:
１
０ ０ ö
æ０
ç
÷
０
１ ０ ÷
ç０
Ｊ ＝ ç⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ÷ ꎬ
ç
÷
０
０ １ ÷
着许多应用ꎬ如ꎬ在编码理论、数理统计、结构计算、图像管理、石油勘探等方面有着广泛的应用. 自此ꎬ众
多学者开始研究循环矩阵 [１] .
近年来ꎬ众多学者和专家从代数学、组合数学、数学物理和几何学等领域方向ꎬ研究具有附加结构的
( Ｈｏｐｆ) 代数ꎬ例如ꎬＨｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数和拟三角 Ｈｏｐｆ 代数等.
⊗Ｆ⊗Ｆ.
为了满足(１) 式ꎬ取 ｒ ＝ Ｆꎬ须有
Ｆ⊗Ｅ ＝ ｌ １ Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ２ Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ３ Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ４ Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ５ Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ６ Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ７ Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ８ Ｆ⊗Ｅ.
Ｅ⊗Ｆ ＝ ｌ １ Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ２ Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ３ Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ４ Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ５ Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ６ Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ７ Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ８ Ｅ⊗Ｆ.
Ｈｏｐｆ Ａｌｇｅｂｒａ ｆｒｏｍ Ｓｅｃｏｎｄ￣Ｏｒｄｅｒ Ｃｉｒｃｕｌａｎｔ Ｍａｔｒｉｘ
Ｌｉ ＡｎꎬＦａｎｇ ＹｕｎｆｅｉꎬＣｈａｎｇ ＺｈｉｃｈｅｎｇꎬＨｕａｎｇ ＸｉｎｑｉꎬＺｈａｎｇ Ｌｉａｎｇｙｕｎ
( Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ ＳｃｉｅｎｃｅꎬＮａｎｊｉｎｇ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎｊｉｎｇ ２１００９５ꎬＣｈｉｎａ)
Ｈｏｐｆ ｔｏｒｓｏｒｓ) 是由 Ｇｒｕｎｓｐａｎ 于文
[２] 中提出的. 由于这种量子挠子与 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 对象有关ꎬ文[３] 称这种结构为 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数.
Ｈｏｐｆ 代数是一个既具有代数结构又具有余代数结构的一类特殊代数. ２０ 世纪 ６０ 年代后ꎬＨｏｐｆ 代数
ｄｏｉ:１０.３９６９ / ｊ.ｉｓｓｎ.１００１－４６１６.２０２３.０３.００２
由二阶循环矩阵构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数
与拟三角 Ｈｏｐｆ 代数
李 安ꎬ方云霏ꎬ常志诚ꎬ黄芯琪ꎬ张良云
( 南京农业大学理学院ꎬ江苏 南京 ２１００９５)
[ 摘要] 本文分别由二阶循环矩阵构造了 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数与 Ｈｏｐｆ 代数ꎬ最后ꎬ由二阶循环矩阵构造拟三角
— ６ —
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李 安ꎬ等:由二阶循环矩阵构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数与拟三角 Ｈｏｐｆ 代数
１ 准备知识
定义 １ [６] 设 Ａ 是一个代数( 单位元记为 １) ꎬ如果存在一个代数映射 μ:Ａ→Ａ⊗Ａ ｏｐ ⊗Ａꎬ使得
ｌ ４ ＋ｌ ８ ｌ １ ＝ ｌ ２ ｌ ４ ꎬｌ ５ ｌ ３ ＝ ｌ ４ ｌ １ ꎬｌ ６ ｌ ３ ＝ ｌ ４ ｌ ２ ꎬ
如果对任意 ｒ∈Ａꎬ记
μ( ｒ) ＝
因此ꎬ有
并记
ｒ⊗１ ＝
∑ ｒ (１) ⊗ｒ (２) ⊗ｒ (３) ꎬ
∑ ｒ (１) ⊗ｒ (２) ｒ (３) ꎬ１⊗ｒ ＝ ∑ ｒ (１) ｒ (２) ⊗ｒ (３) .
∑ ｒ (１) ⊗ｒ (２) ⊗ｒ (３) ⊗ｒ (４) ⊗ｒ (５) : ∑
(１)
＝ μ( ｒ (１) ) ⊗ｒ (２) ⊗ｒ (３) ∑ ＝ ｒ (１) ⊗ｒ (２) ⊗ μ( ｒ (３) ) .
式(２) 右边为 ｌ １ Ｅ⊗Ｅ⊗μ( Ｅ) ＋ｌ ２ Ｅ⊗Ｅ⊗μ( Ｆ) ＋ ｌ ３ Ｅ⊗Ｆ⊗μ( Ｅ) ＋ ｌ ４ Ｅ⊗Ｆ⊗μ( Ｆ) ＋ ｌ ５ Ｆ⊗Ｅ⊗μ( Ｅ) ＋ ｌ ６ Ｆ
⊗Ｅ⊗μ( Ｆ) ＋ｌ ７ Ｆ⊗Ｆ⊗μ( Ｅ) ＋ｌ ８ Ｆ⊗Ｆ⊗μ( Ｆ) .
整理上述等式ꎬ并得到如下方程:
ｌ １ ＋ｌ ５ ｌ １ ＝ ｌ １ ＋ｌ ２ ｌ １ ꎬｌ ２ ＋ｌ ６ ｌ １ ＝ ｌ ２ ｌ ２ ꎬｌ ３ ＋ｌ ７ ｌ １ ＝ ｌ ２ ｌ ３ ꎬ
则称 Ｂ 是一个拟三角双代数( Ｈｏｐｆ 代数) .
这里 表示 Ｂ⊗Ｂ 上的扭曲映射ꎬＲ１３ ＝
显然ꎬ ∑ Ｒ １ ε( Ｒ ２ ) ＝ １ ＝
∑ Ｒ１ ⊗１⊗Ｒ２ ꎬＲ２３ ＝ ∑ １⊗Ｒ１ ⊗Ｒ２ ꎬＲ１２ ＝ ∑ Ｒ１ ⊗Ｒ２ ⊗１ꎬｒ ＝ Ｒ.
∑ ε( Ｒ１ ) Ｒ２ .
特别地ꎬ每个双代数( Ｈｏｐｆ 代数) Ｂ 都有拟三角双代数结构( Ｈｏｐｆ 代数) ( ＢꎬＲ ＝ １⊗１) ꎬ以后称之为平
(２)
以后ꎬ称代数映射 μ 为 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数 Ａ 的一个 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 映射.
定义 ２ [７] 设( Ｂꎬｍꎬη) 是一个代数ꎬ如果( ＢꎬΔꎬε) 又是一个余代数ꎬ并且 Δ 和 ε 都是代数同态( 等价
于 ｍꎬη 都是余代数同态) ꎬ则称( ＢꎬｍꎬηꎬΔꎬε) 为一个双代数ꎬ简称 Ｂ 为双代数.
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ:ｃｉｒｃｕｌａｎｔ ｍａｔｒｉｘꎬＨｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ ａｌｇｅｂｒａꎬＨｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａꎬｑｕａｓｉｔｒｉａｎｇｕｌａｒ Ｈｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａ
美国学者 Ｍｕｉｒ 在 １８８５ 年首次提出循环矩阵的观念. 但在 １９５０ 年以前ꎬ有关循环矩阵的研究甚少ꎬ没
有引起数学工作者的特别关注. 随着现代科学技术的发展ꎬ自 １９５０ 年以来ꎬ人们发现循环矩阵在实际中有
则称( ＨꎬμꎬηꎬΔꎬε) 是一个 Ｈｏｐｆ 代数 ( 以后ꎬ简称为 Ｈｏｐｆ 代数 Ｈ) ꎬ并称映射 Ｓ 为 Ｈｏｐｆ 代数 Ｈ 的
对极.
满足
定义 ４ [８] 设( ＢꎬμꎬηꎬΔꎬε) 是一个双代数( Ｈｏｐｆ 代数) ꎬ如果存在一个可逆元 Ｒ ＝
∑ Ｒ１ ⊗Ｒ２ ∈Ｂ⊗Ｂ
( ＱＴ１) Δ( ａ) ＝ ＲΔ( ａ) Ｒ － １ ꎬ
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒꎬ ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ Ｈｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ｆｒｏｍ ｓｅｃｏｎｄ￣ｏｒｄｅｒ ｃｉｒｃｕｌａｎｔ
ｍａｔｒｉｘ. Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｑｕａｓｉｔｒｉａｎｇｕｌａｒ Ｈｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａ ｆｒｏｍ ｓｅｃｏｎｄ￣ｏｒｄｅｒ ｃｉｒｃｕｌａｎｔ ｍａｔｒｉｘ.
( ＱＴ２) ( Δ ⊗ ｉｄ) Ｒ ＝ Ｒ １３ Ｒ ２３ ꎬ即ꎬ∑ Ｒ １１ ⊗ Ｒ １２ ⊗ Ｒ ２ ＝
∑ Ｒ１ ⊗ ｒ１ ⊗ Ｒ２ ｒ２ ꎬ
( ＱＴ３) ( ｉｄ ⊗ Δ) Ｒ ＝ Ｒ １３ Ｒ １２ ꎬ即ꎬ∑ Ｒ １ ⊗ Ｒ ２１ ⊗ Ｒ ２２ ＝ ∑ Ｒ １ ｒ １ ⊗ ｒ ２ ⊗ Ｒ ２ ꎬ
经过整理ꎬ可得如下方程:
ｌ １ ＋ｌ ４ ＝ ０ꎬｌ ２ ＋ｌ ３ ＝ ０ꎬｌ ５ ＋ｌ ８ ＝ １ꎬｌ ６ ＋ｌ ７ ＝ ０ꎬ
ｌ １ ＋ｌ ７ ＝ ０ꎬｌ ２ ＋ｌ ８ ＝ １ꎬｌ ３ ＋ｌ ５ ＝ ０ꎬｌ ６ ＋ｌ ４ ＝ ０.
整理可得ꎬｌ １ ＝ －ｌ ４ ＝ －ｌ ７ ＝ ｌ ６ ꎬｌ ８ － １ ＝ －ｌ ２ ＝ －ｌ ５ ＝ ｌ ３ .
æ１ ０ ö
æ０ １ ö
根据上述讨论ꎬ二阶循环矩阵代数 Ａ 上有一组基为 Ｅ: ç
÷ ꎬＦ: ç
÷ ꎬ并且满足 ＦＦ ＝ Ｅ. 由于 μ
è０ １ ø
è１ ０ ø
为代数映射ꎬ所以 μ( Ｅ) ＝ Ｅ⊗Ｅ⊗Ｅꎬ
令 μ( Ｆ) ＝ ｌ １ Ｅ⊗Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ２ Ｅ⊗Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ３ Ｅ⊗Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ４ Ｅ⊗Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ５ Ｆ⊗Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ６ Ｆ⊗Ｅ⊗Ｆ ＋ ｌ ７ Ｆ⊗Ｆ⊗Ｅ ＋ ｌ ８ Ｆ
结合代数. 下面回顾一些基本概念.
收稿日期:２０２３－０２－２１.
基金项目:中华农业科教基金会项目( ＮＫＪ２０２１０２００９) 、国家大学生实践创新训练计划资助项目(２０２２１０３０７０３２Ｚ) .
通讯作者:张良云ꎬ教授ꎬ博士生导师ꎬ研究方向:代数学. Ｅ￣ｍａｉｌ:ｚｌｙｕｎ＠ ｎｊａｕ.ｅｄｕ.ｃｎ
上它不仅是量子群ꎬ而且也是量子 Ｙａｎｇ￣Ｂａｘｔｅｒ 方程的解. 因此ꎬ拟三角 Ｈｏｐｆ 代数的研究十分重要.
本文基于以上的研究背景ꎬ将由二阶循环矩阵构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数与 Ｈｏｐｆ 代数ꎬ最后ꎬ由二阶循环
矩阵构造拟三角 Ｈｏｐｆ 代数等.
本文所有研究对象均是在实数域 Ｒ 上考虑ꎬ张量积为实数域 Ｒ 上的张量积ꎬ代数均为具有单位元的
Ｈｏｐｆ 代数.
[ 关键词] 循环矩阵ꎬＨｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数ꎬＨｏｐｆ 代数ꎬ拟三角 Ｈｏｐｆ 代数
[ 中图分类号] Ｏ１５２.５ [ 文献标志码] Ａ [ 文章编号]１００１－４６１６(２０２３)０３－０００６－０６
Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ Ｑｕａｓｉｔｒｉａｎｇｕｌａｒ
为了满足(２) 式ꎬ同理取 ｒ ＝ Ｆꎬ须有
式(２) 左边为 ｌ １ μ( Ｅ) ⊗Ｅ⊗Ｅ ＋ ｌ ２ μ( Ｅ) ⊗Ｅ⊗Ｆ ＋ ｌ ３ μ( Ｅ) ⊗Ｆ⊗Ｅ ＋ ｌ ４ μ( Ｅ) ⊗Ｆ⊗Ｆ ＋ ｌ ５ μ( Ｆ) ⊗Ｅ⊗Ｅ ＋
ｌ ６ μ( Ｆ) ⊗Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ７ μ( Ｆ) ⊗Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ８ μ( Ｆ) ⊗Ｆ⊗Ｆ.
凡的拟三角双代数结构( Ｈｏｐｆ 代数) .
定义 ５ [１] 称实数域 Ｒ 上的 ｎ 阶矩阵
æ ａ０ ａ１ ａ２
ç
ç ａ ｎ－１ ａ ０ ａ １
Ａ＝ ç ⋮ ⋮ ⋮
ç
ç ａ２ ａ３ ａ４
ç
è ａ１ ａ２ ａ３
为 ｎ 阶循环矩阵ꎬ简记为 Ａ ＝ Ｃ( ａ ０ ꎬａ １ ꎬꎬａ ｎ－１ ) .
ａ ｎ－１
(２) ( μ⊗ｉｄ⊗ｉｄ) ｏμ ＝ ( ｉｄ⊗ｉｄ⊗μ) ｏμꎬ
则称 Ａ 是一个 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数ꎬ其中 ｍ:Ａ⊗Ａ→Ａ 和 η:Ｒ → Ａ 分别是代数 Ａ 的乘法和单位ꎬＡ ｏｐ 是代
数 Ａ 的反代数.
ａ ｎ－２
⋱
⋮
ａ１
ａ０
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
显然ꎬ实数域上的 ｎ 阶矩阵的全体构成的集合关于矩阵的加法与矩阵的乘法ꎬ构成 Ｒ 上的一个代数ꎬ
以后称为一个 ｎ 阶循环矩阵代数.
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第 ４６ 卷第 ３ 期(２０２３ 年)
南京师大学报( 自然科学版)
这里 ｍ 是代数 Ｂ 的乘法映射ꎬη 是代数 Ｂ 的单位映射ꎬΔ 是余代数 Ｂ 的余乘法映射ꎬε 是余代数 Ｂ 的
余单位映射.
定义 ３ [７] 称( ＨꎬμꎬηꎬΔꎬε) 是一个双代数ꎬ如果存在一个线性映射 Ｓ:Ｈ→Ｈ 使得对任意 ｈ∈Ｈꎬ
∑ ｈ１ Ｓ( ｈ２ ) ＝ ε( ｈ)１ ＝ ∑ Ｓ( ｈ１ ) ｈ２ ꎬ
迅速发展起来ꎬ成为代数学中的一个重要分支ꎬ并在众多的数学分支中都有着重要的应用ꎬ例如ꎬ组合理
论、Ｇａｌｏｉｓ 理论、代数群论、Ｌｉｅ 理论等ꎬ并在量子逆扩散方法和超对称理论的研究中占有重要的地位 [４] .
拟三角 Ｈｏｐｆ 代数( Ｑｕａｓｉｔｒｉａｎｇｕｌａｒ Ｈｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａ) 是由世界著名数学家 Ｄｒｉｎｆｅｌｄ 于文[５] 中提出的ꎬ实际
çç ０
÷
０
０ ０ ø
è１
于是 Ａ ＝ ａ ０ Ｉ ｎ ＋ａ １ Ｊ １ ＋ａ ２ Ｊ ２ ＋ ＋ａ ｎ－１ Ｊ ｎ－１ ꎬ并且 Ｉ ｎ ꎬＪ １ ꎬＪ ２ ꎬꎬＪ ｎ－１ 线性无关ꎬ故它可以看作是 ｎ 循环矩阵代
数的一组基.
２ 由二阶循环矩阵构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数
下面ꎬ将在二阶循环矩阵代数 Ａ 上构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｉｏｓ 映射 μ:Ａ→Ａ⊗Ａ ｏｐ ⊗Ａ.
第 ４６ 卷第 ３ 期
南京师大学报( 自然科学版)
２０２３ 年 ９ 月
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＡＮＪＩＮＧ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ( Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ)
Ｖｏｌ ４６ Ｎｏ ３
Ｓｅｐｔꎬ２０２３
取 ａ １ ＝ １ꎬａ ２ ＝ ａ ３ ＝ ＝ ａ ｎ－１ ＝ ａ ０ ＝ ０ꎬ则得到如下基础循环矩阵:
１
０ ０ ö
æ０
ç
÷
０
１ ０ ÷
ç０
Ｊ ＝ ç⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ÷ ꎬ
ç
÷
０
０ １ ÷
着许多应用ꎬ如ꎬ在编码理论、数理统计、结构计算、图像管理、石油勘探等方面有着广泛的应用. 自此ꎬ众
多学者开始研究循环矩阵 [１] .
近年来ꎬ众多学者和专家从代数学、组合数学、数学物理和几何学等领域方向ꎬ研究具有附加结构的
( Ｈｏｐｆ) 代数ꎬ例如ꎬＨｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数和拟三角 Ｈｏｐｆ 代数等.
⊗Ｆ⊗Ｆ.
为了满足(１) 式ꎬ取 ｒ ＝ Ｆꎬ须有
Ｆ⊗Ｅ ＝ ｌ １ Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ２ Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ３ Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ４ Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ５ Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ６ Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ７ Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ８ Ｆ⊗Ｅ.
Ｅ⊗Ｆ ＝ ｌ １ Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ２ Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ３ Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ４ Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ５ Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ６ Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ７ Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ８ Ｅ⊗Ｆ.
Ｈｏｐｆ Ａｌｇｅｂｒａ ｆｒｏｍ Ｓｅｃｏｎｄ￣Ｏｒｄｅｒ Ｃｉｒｃｕｌａｎｔ Ｍａｔｒｉｘ
Ｌｉ ＡｎꎬＦａｎｇ ＹｕｎｆｅｉꎬＣｈａｎｇ ＺｈｉｃｈｅｎｇꎬＨｕａｎｇ ＸｉｎｑｉꎬＺｈａｎｇ Ｌｉａｎｇｙｕｎ
( Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ ＳｃｉｅｎｃｅꎬＮａｎｊｉｎｇ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎｊｉｎｇ ２１００９５ꎬＣｈｉｎａ)
Ｈｏｐｆ ｔｏｒｓｏｒｓ) 是由 Ｇｒｕｎｓｐａｎ 于文
[２] 中提出的. 由于这种量子挠子与 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 对象有关ꎬ文[３] 称这种结构为 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数.
Ｈｏｐｆ 代数是一个既具有代数结构又具有余代数结构的一类特殊代数. ２０ 世纪 ６０ 年代后ꎬＨｏｐｆ 代数
ｄｏｉ:１０.３９６９ / ｊ.ｉｓｓｎ.１００１－４６１６.２０２３.０３.００２
由二阶循环矩阵构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数
与拟三角 Ｈｏｐｆ 代数
李 安ꎬ方云霏ꎬ常志诚ꎬ黄芯琪ꎬ张良云
( 南京农业大学理学院ꎬ江苏 南京 ２１００９５)
[ 摘要] 本文分别由二阶循环矩阵构造了 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数与 Ｈｏｐｆ 代数ꎬ最后ꎬ由二阶循环矩阵构造拟三角
— ６ —
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李 安ꎬ等:由二阶循环矩阵构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数与拟三角 Ｈｏｐｆ 代数
１ 准备知识
定义 １ [６] 设 Ａ 是一个代数( 单位元记为 １) ꎬ如果存在一个代数映射 μ:Ａ→Ａ⊗Ａ ｏｐ ⊗Ａꎬ使得
ｌ ４ ＋ｌ ８ ｌ １ ＝ ｌ ２ ｌ ４ ꎬｌ ５ ｌ ３ ＝ ｌ ４ ｌ １ ꎬｌ ６ ｌ ３ ＝ ｌ ４ ｌ ２ ꎬ
如果对任意 ｒ∈Ａꎬ记
μ( ｒ) ＝
因此ꎬ有
并记
ｒ⊗１ ＝
∑ ｒ (１) ⊗ｒ (２) ⊗ｒ (３) ꎬ
∑ ｒ (１) ⊗ｒ (２) ｒ (３) ꎬ１⊗ｒ ＝ ∑ ｒ (１) ｒ (２) ⊗ｒ (３) .
∑ ｒ (１) ⊗ｒ (２) ⊗ｒ (３) ⊗ｒ (４) ⊗ｒ (５) : ∑
(１)
＝ μ( ｒ (１) ) ⊗ｒ (２) ⊗ｒ (３) ∑ ＝ ｒ (１) ⊗ｒ (２) ⊗ μ( ｒ (３) ) .
式(２) 右边为 ｌ １ Ｅ⊗Ｅ⊗μ( Ｅ) ＋ｌ ２ Ｅ⊗Ｅ⊗μ( Ｆ) ＋ ｌ ３ Ｅ⊗Ｆ⊗μ( Ｅ) ＋ ｌ ４ Ｅ⊗Ｆ⊗μ( Ｆ) ＋ ｌ ５ Ｆ⊗Ｅ⊗μ( Ｅ) ＋ ｌ ６ Ｆ
⊗Ｅ⊗μ( Ｆ) ＋ｌ ７ Ｆ⊗Ｆ⊗μ( Ｅ) ＋ｌ ８ Ｆ⊗Ｆ⊗μ( Ｆ) .
整理上述等式ꎬ并得到如下方程:
ｌ １ ＋ｌ ５ ｌ １ ＝ ｌ １ ＋ｌ ２ ｌ １ ꎬｌ ２ ＋ｌ ６ ｌ １ ＝ ｌ ２ ｌ ２ ꎬｌ ３ ＋ｌ ７ ｌ １ ＝ ｌ ２ ｌ ３ ꎬ
则称 Ｂ 是一个拟三角双代数( Ｈｏｐｆ 代数) .
这里 表示 Ｂ⊗Ｂ 上的扭曲映射ꎬＲ１３ ＝
显然ꎬ ∑ Ｒ １ ε( Ｒ ２ ) ＝ １ ＝
∑ Ｒ１ ⊗１⊗Ｒ２ ꎬＲ２３ ＝ ∑ １⊗Ｒ１ ⊗Ｒ２ ꎬＲ１２ ＝ ∑ Ｒ１ ⊗Ｒ２ ⊗１ꎬｒ ＝ Ｒ.
∑ ε( Ｒ１ ) Ｒ２ .
特别地ꎬ每个双代数( Ｈｏｐｆ 代数) Ｂ 都有拟三角双代数结构( Ｈｏｐｆ 代数) ( ＢꎬＲ ＝ １⊗１) ꎬ以后称之为平
(２)
以后ꎬ称代数映射 μ 为 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数 Ａ 的一个 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 映射.
定义 ２ [７] 设( Ｂꎬｍꎬη) 是一个代数ꎬ如果( ＢꎬΔꎬε) 又是一个余代数ꎬ并且 Δ 和 ε 都是代数同态( 等价
于 ｍꎬη 都是余代数同态) ꎬ则称( ＢꎬｍꎬηꎬΔꎬε) 为一个双代数ꎬ简称 Ｂ 为双代数.
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ:ｃｉｒｃｕｌａｎｔ ｍａｔｒｉｘꎬＨｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ ａｌｇｅｂｒａꎬＨｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａꎬｑｕａｓｉｔｒｉａｎｇｕｌａｒ Ｈｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａ
美国学者 Ｍｕｉｒ 在 １８８５ 年首次提出循环矩阵的观念. 但在 １９５０ 年以前ꎬ有关循环矩阵的研究甚少ꎬ没
有引起数学工作者的特别关注. 随着现代科学技术的发展ꎬ自 １９５０ 年以来ꎬ人们发现循环矩阵在实际中有
则称( ＨꎬμꎬηꎬΔꎬε) 是一个 Ｈｏｐｆ 代数 ( 以后ꎬ简称为 Ｈｏｐｆ 代数 Ｈ) ꎬ并称映射 Ｓ 为 Ｈｏｐｆ 代数 Ｈ 的
对极.
满足
定义 ４ [８] 设( ＢꎬμꎬηꎬΔꎬε) 是一个双代数( Ｈｏｐｆ 代数) ꎬ如果存在一个可逆元 Ｒ ＝
∑ Ｒ１ ⊗Ｒ２ ∈Ｂ⊗Ｂ
( ＱＴ１) Δ( ａ) ＝ ＲΔ( ａ) Ｒ － １ ꎬ
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒꎬ ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ Ｈｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ｆｒｏｍ ｓｅｃｏｎｄ￣ｏｒｄｅｒ ｃｉｒｃｕｌａｎｔ
ｍａｔｒｉｘ. Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｑｕａｓｉｔｒｉａｎｇｕｌａｒ Ｈｏｐｆ ａｌｇｅｂｒａ ｆｒｏｍ ｓｅｃｏｎｄ￣ｏｒｄｅｒ ｃｉｒｃｕｌａｎｔ ｍａｔｒｉｘ.
( ＱＴ２) ( Δ ⊗ ｉｄ) Ｒ ＝ Ｒ １３ Ｒ ２３ ꎬ即ꎬ∑ Ｒ １１ ⊗ Ｒ １２ ⊗ Ｒ ２ ＝
∑ Ｒ１ ⊗ ｒ１ ⊗ Ｒ２ ｒ２ ꎬ
( ＱＴ３) ( ｉｄ ⊗ Δ) Ｒ ＝ Ｒ １３ Ｒ １２ ꎬ即ꎬ∑ Ｒ １ ⊗ Ｒ ２１ ⊗ Ｒ ２２ ＝ ∑ Ｒ １ ｒ １ ⊗ ｒ ２ ⊗ Ｒ ２ ꎬ
经过整理ꎬ可得如下方程:
ｌ １ ＋ｌ ４ ＝ ０ꎬｌ ２ ＋ｌ ３ ＝ ０ꎬｌ ５ ＋ｌ ８ ＝ １ꎬｌ ６ ＋ｌ ７ ＝ ０ꎬ
ｌ １ ＋ｌ ７ ＝ ０ꎬｌ ２ ＋ｌ ８ ＝ １ꎬｌ ３ ＋ｌ ５ ＝ ０ꎬｌ ６ ＋ｌ ４ ＝ ０.
整理可得ꎬｌ １ ＝ －ｌ ４ ＝ －ｌ ７ ＝ ｌ ６ ꎬｌ ８ － １ ＝ －ｌ ２ ＝ －ｌ ５ ＝ ｌ ３ .
æ１ ０ ö
æ０ １ ö
根据上述讨论ꎬ二阶循环矩阵代数 Ａ 上有一组基为 Ｅ: ç
÷ ꎬＦ: ç
÷ ꎬ并且满足 ＦＦ ＝ Ｅ. 由于 μ
è０ １ ø
è１ ０ ø
为代数映射ꎬ所以 μ( Ｅ) ＝ Ｅ⊗Ｅ⊗Ｅꎬ
令 μ( Ｆ) ＝ ｌ １ Ｅ⊗Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ２ Ｅ⊗Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ３ Ｅ⊗Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ４ Ｅ⊗Ｆ⊗Ｆ ＋ｌ ５ Ｆ⊗Ｅ⊗Ｅ ＋ｌ ６ Ｆ⊗Ｅ⊗Ｆ ＋ ｌ ７ Ｆ⊗Ｆ⊗Ｅ ＋ ｌ ８ Ｆ
结合代数. 下面回顾一些基本概念.
收稿日期:２０２３－０２－２１.
基金项目:中华农业科教基金会项目( ＮＫＪ２０２１０２００９) 、国家大学生实践创新训练计划资助项目(２０２２１０３０７０３２Ｚ) .
通讯作者:张良云ꎬ教授ꎬ博士生导师ꎬ研究方向:代数学. Ｅ￣ｍａｉｌ:ｚｌｙｕｎ＠ ｎｊａｕ.ｅｄｕ.ｃｎ
上它不仅是量子群ꎬ而且也是量子 Ｙａｎｇ￣Ｂａｘｔｅｒ 方程的解. 因此ꎬ拟三角 Ｈｏｐｆ 代数的研究十分重要.
本文基于以上的研究背景ꎬ将由二阶循环矩阵构造 Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数与 Ｈｏｐｆ 代数ꎬ最后ꎬ由二阶循环
矩阵构造拟三角 Ｈｏｐｆ 代数等.
本文所有研究对象均是在实数域 Ｒ 上考虑ꎬ张量积为实数域 Ｒ 上的张量积ꎬ代数均为具有单位元的
Ｈｏｐｆ 代数.
[ 关键词] 循环矩阵ꎬＨｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ 代数ꎬＨｏｐｆ 代数ꎬ拟三角 Ｈｏｐｆ 代数
[ 中图分类号] Ｏ１５２.５ [ 文献标志码] Ａ [ 文章编号]１００１－４６１６(２０２３)０３－０００６－０６
Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｏｐｆ￣Ｇａｌｏｉｓ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ Ｑｕａｓｉｔｒｉａｎｇｕｌａｒ
为了满足(２) 式ꎬ同理取 ｒ ＝ Ｆꎬ须有
式(２) 左边为 ｌ １ μ( Ｅ) ⊗Ｅ⊗Ｅ ＋ ｌ ２ μ( Ｅ) ⊗Ｅ⊗Ｆ ＋ ｌ ３ μ( Ｅ) ⊗Ｆ⊗Ｅ ＋ ｌ ４ μ( Ｅ) ⊗Ｆ⊗Ｆ ＋ ｌ ５ μ( Ｆ) ⊗Ｅ⊗Ｅ ＋
ｌ ６ μ( Ｆ) ⊗Ｅ⊗Ｆ ＋ｌ ７ μ( Ｆ) ⊗Ｆ⊗Ｅ ＋ｌ ８ μ( Ｆ) ⊗Ｆ⊗Ｆ.
凡的拟三角双代数结构( Ｈｏｐｆ 代数) .
定义 ５ [１] 称实数域 Ｒ 上的 ｎ 阶矩阵
æ ａ０ ａ１ ａ２
ç
ç ａ ｎ－１ ａ ０ ａ １
Ａ＝ ç ⋮ ⋮ ⋮
ç
ç ａ２ ａ３ ａ４
ç
è ａ１ ａ２ ａ３
为 ｎ 阶循环矩阵ꎬ简记为 Ａ ＝ Ｃ( ａ ０ ꎬａ １ ꎬꎬａ ｎ－１ ) .
ａ ｎ－１