湖南省高三数学下学期月考试题(七)理-人教版高三全册数学试题

某某省2017届高三数学下学期月考试题（七） 理
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
－13，12，B ＝{}x |ax ＋1＝0，且B
A ，则a 的可取值组成的集合为
(D )
(A ){－3，2} (B ){－3，0，2} (C ){3，－2} (D ){3，0，－2} 【解析】a ＝0
B ＝，满足条件；a≠0时，由－1a ＝－13或－1a ＝1
2
得a ＝3，－2，故a
的可取值组成的集合为{3，0，－2}，故选D .
(2)已知命题p ：
x 0∈R ，使2x 0＋2－x 0＝1；命题q ：
x ∈R ，都有lg(x 2＋2x ＋3)>0.
下列结论中正确的是(A)
(A)命题“綈p ∧q ”是真命题 (B)命题“p ∧綈q ”是真命题 (C)命题“p ∧q ”是真命题 (D)命题“綈p ∨綈q ”是假命题
【解析】由判断p ：2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，故命题p 错误；命题q ：lg(x 2
＋2x ＋3)＝lg[(x ＋1)2
＋2]≥lg 2>0，命题q 正确，故选A.
(3)一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a ，b 分别是数列{2n －2
}(n ∈N *
)的第2项和第
4项，则这个样本的方差是(C)
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【解析】由已知a ＝1，b ＝4，则s 2＝14[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2
]＝5，故选
C.
(4)下面给出了关于复数的三种类比推理，其中类比错误的是(A) ①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则； ②由向量a 的性质|a |2
＝a 2
可以类比复数的性质|z |2
＝z 2
； ③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． (A)② (B)①② (C)①③ (D)③
【解析】对于复数的乘法运算法则判断出①对；对于②向量a 的性质|a |2＝a 2，但|z |
2
是实数，但z 2
不一定是实数，如z ＝i ，就不成立，故错；对于③复数加法的几何意义判断出③对．故选A.
(5)设M 是△ABC 边BC 上一点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →
，则λ＋μ的值为(C) (A)14 (B)13 (C)1
2
(D)1 【解析】∵M 在BC 边上，∴存在实数t ∈[]0，1使得BM →＝tBC →. AM →
＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t ()
AC →－AB →＝()1－t AB →＋tAC →， ∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2
AC →，
∴λ＝1－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝1
2
.故C 正确．
(6)已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为x ，y ，z ，则
1x ＋y ＋x ＋y
z
的最小值是(B) (A)2 (B)3 (C)3.5 (D)4 【解析】由已知可得，∵x ＋y ＋z ＝1，∴1x ＋y ＋x ＋y z ＝x ＋y ＋z x ＋y ＋x ＋y z ＝1＋z x ＋y ＋x ＋y
z
≥3.选B.
(7)与圆x 2
＋(y －2)2
＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(B) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)6条
【解析】当直线截距为零时，设方程为y ＝kx ，利用点到直线的距离等于半径可求得k ＝±1，即直线方程为y ＝±x ；当直线截距不为零时，设方程为x a ＋y
a
＝1，同理可求得a ＝4，直线方程为x ＋y ＝4，故满足题意的直线共有3条．选B.
(8)函数f (x )＝lg(||x －1)的大致图象是(B)
【解析】易知f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，由|x |－1>0可得其定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以选B.
(9)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C ，2tan B 依次成等差数列，
则sin 2B ＝(C)
(A)1 (B)－45 (C)45 (D)±4
5
【解析】由条件，得tan C ＝32tan B ，tan A ＝1
2tan B ，所以△ABC 为锐角三角形，又tan
A ＝－tan(C ＋
B )＝－tan
C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－5
2tan B 1－32
tan 2
B ＝1
2tan B ，得tan B ＝2，所以sin 2B ＝2sin
B cos B ＝
2sin B cos B sin 2B ＋cos 2B ＝2tan B tan 2
B ＋1＝4
5
，故选C. (10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)
(A)803 (B)403 (C)203 (D)103
【解析】该几何体可以看作是三棱柱割出一个三棱锥形成的，故V ＝12×4×4×4－13×
12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×4×4×4＝803.
(11)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝14
b 2
，sin A ＋sin C ＝p sin
B ，且B 为锐角，则实数p 的取值X 围是(B)
(A)(1，2) (B)⎝
⎛⎭⎪⎫62，2 (C)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
62，3 (D)(1，3) 【解析】由正弦定理知a ＋c ＝pb ，由余弦定理，b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝(a ＋c )2
－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0<cos B <1，得p 2
∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由
题意知p >0于是p ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
62，2，选B. (12)已知圆O 的方程为x 2
＋y 2
＝9，若抛物线C 过点A (－1，0)，B (1，0)，且以圆O 的切线为准线，则抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为(D)
(A)x 29－y 28＝1(x ≠0) (B)x 29＋y 28＝1(x ≠0)
(C)x 29－y 2
8＝1(y ≠0) (D)x 29＋y 2
8
＝1(y ≠0) 【解析】设抛物线C 的焦点为F (x ，y )，准线为l ，过点A ，B ，O 分别作AA ′⊥l ，BB ′⊥l ，OP ⊥l ，其中A ′，B ′，P 分别为垂足，则l 为圆的切线，P 为切点，且||AA ′＋||BB ′＝2||OP ＝6.因为抛物线过点A ，B ，所以||AA ′＝||FA ，||FB ＝||BB ′，所以||FA ＋||FB ＝||AA ′＋||BB ′＝6>||AB ＝2，所以点F 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且点F 不在x 轴上，所以抛物线C 的焦点F 的轨迹方程为x 29＋y 2
8
＝1(y ≠0)，选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．
(13)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6
的展开式中，系数最大的项为第__3或5__项． 【解析】⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －1x 6
的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最
大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大．
(14)已知函数f (x )＝－x 2
＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0，4]内任取的实数，则不等式
f (1)>0成立的概率是__9
32
__．
【解析】f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如图，A (1，0)，B (4，0)，C (4，3)，S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 正方形＝924×4＝9
32
. (15)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1，0)上单调递减，则a 2＋b 2
的
取值X 围为__⎣⎢⎡⎭
⎪⎫95，＋∞__．
【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ≤0在(－1，0)上恒成立，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝3－2a ＋b ≤0f ′（0）＝b ≤0，显然点(a ，b )在直线3－2a ＋b ＝0的右下方及a 轴下方(如
图)，点(a ，b )到原点的距离最小值为3（－2）2
＋1
2
＝3
5
，无最大值，因此a 2＋b 2
的最小值
为95
.
(16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x
，其中c >a >0，c >b >0.
若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__①②③__．(写出所有正确结论的序号)
①x ∈(－∞，1)，f (x )>0；
②
x 0∈R ，使ax 0，bx 0，cx 0不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC 为钝角三角形，则x 0∈(1，2)，使f (x 0)＝0； ④若△ABC 为直角三角形，对于
n ∈N *，f (2n )>0恒成立．
【解析】①因为a ，b ，c 是三角形的三条边长，所以a ＋b >c . 又因为c >a >0，c >b >0，所以0<a c <1，0<b c
<1，
所以当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝c x
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>c x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a c ＋b c －1＝c x ·a ＋b －c
c >0.
故①正确．
②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a ，b ，c 可以构成三角形的三边长，但a 2
＝4，b 2
＝9，c 2
＝16却不能构成三角形的三边长，故②正确．
③因为c >a >0，c >b >0，且△ABC 为钝角三角形，所以a 2
＋b 2
－c 2
<0， 于是f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2
＋b 2
－c 2
<0. 故函数f (x )在区间(1，2)内存在零点，故③正确． ④若△ABC 为直角三角形，由题意得，c 2
＝a 2
＋b 2
， 对于
n ∈N *，f (2n )＝a 2n ＋b 2n －c 2n ＝a 2n ＋b 2n －(a 2＋b 2)n ≤0.故④不正确．
综上，正确结论的序号为①②③.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n
3·2n －1，
若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，某某数m 的取值X 围．
【解析】(Ⅰ)设公差为d ，由题意得：
⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3， ∴a n ＝3n .5分
(Ⅱ)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝3
2n (n ＋1)，
∴T n ＝
n （n ＋1）
2
n
，8分
∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n ＝（n ＋1）（2－n ）
2n ＋1
， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝3
2，
∴T n 的最大值是32，故m ≥3
2.12分
(18)(本小题满分12分)
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
(Ⅰ) 取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； (Ⅱ) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
【解析】(Ⅰ)由于从10件产品中任取3件的结果为C 103
，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C 3k C 7
3－k
，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品
的概率为P (X ＝k )＝C 3k
C 7
3－k
C 10
3，k ＝0，1，2，3.
所以随机变量X 的分布列是
X 的数学期望EX ＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×
1120＝9
10
.6分 (Ⅱ)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品“为事件A 2”，恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3而P (A 1)＝C 31
C 32
C 103＝3
40，P (A 2)＝P (X ＝
2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1
120
，
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31
120
.12分 (19)(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．
(Ⅰ)证明：BE ⊥DC ；
(Ⅱ)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．
【解析】(Ⅰ)依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系如图，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).2分
由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)． BE →
＝(0，1，1)，DC →
＝(2，0，0)，
故BE →·DC →
＝0，所以BE ⊥DC .4分
(Ⅱ)BC →＝(1，2，0)，CP →＝(－2，－2，2)，AC →＝(2，2，0)，AB →
＝(1，0，0)． 由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →
，0≤λ≤1，
故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →
＝(1－2λ，2－2λ，2λ)． 由BF ⊥AC ，得BF →·AC →
＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝3
4，
即BF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，12，32.8分
设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，
n 1·BF →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32
z ＝0.
不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2
＝(0，1，0)，
则cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1
＝－310
10.
易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以余弦值为310
10.12分
(20)(本小题满分12分)
已知M (4，0)，N (1，0)，曲线C 上的任意一点P 满足：MN →·MP →＝6|PN →
|. (Ⅰ)求点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)过点N (1，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点，交y 轴于H 点，设HA →＝λ1AN →，HB →
＝
λ2BN →
，试问λ1＋λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理
由．
【解析】(Ⅰ)设P (x ，y )，则MN →＝(－3，0)，MP →＝(x －4，y )，PN →
＝(1－x ，－y )． ∵MN →·MP →＝6|PN →|，∴－3×(x －4)＋0×y ＝6（x －1）2＋y 2
， 化简得，x 24＋y 2
3＝1为所求点P 的轨迹方程.4分
(Ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)， 则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m .从而HA →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1，y 1＋1m ，AN →＝(1－x 1，－y 1), 由HA →＝λ1AN →得
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1，y 1＋1m ＝λ1(1－x 1，－y 1)，y 1＋1m ＝－λ1y 1，－λ1
＝1＋1my 1.
同理由HB →＝λ2BN →
得－λ2＝1＋1my 2
.
∴－(λ1＋λ2)＝2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫1my 1＋1my 2＝2＋1m ·y 1＋y 2y 1y 2.①7分
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2
3
＝1.得(4＋3m 2)y 2
＋6my －9＝0.
∴y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m
2.
代入①式得－(λ1＋λ2)＝2＋1m ·y 1＋y 2y 1y 2＝2＋23＝83，∴λ1＋λ2＝－8
3.10分
②当直线l 与x 轴重合时，A (－2，0)，B (2，0)，H (0，0)．
由HA →＝λAN →，HB →＝λ2BN →
，得λ1＝－23，λ2＝－2，∴λ1＋λ2＝－83. 11分
综上，λ1＋λ2为定值－8
3.12分
(21)(本小题满分12分) 设函数f (x )＝ln x ＋a
e x .
(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间；
(Ⅱ)若a ＝2，证明：对任意的实数x >0，都有f (x )>e －x
. 【解析】(Ⅰ)定义域为x >0，f ′(x )＝1x －a e x 2＝e x －a
e x 2
①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，令f ′(x )＝0，有x ＝a
e
，
所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e ，单调增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫e ，＋∞.6分
综合①②，当a ≤0时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )的单调减区间
为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a e ，单调增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
e ，＋∞.
(Ⅱ)要证明f (x )>e －x
，即证明eln x ＋2x >1e
x －1，
下面先证明：e x
≥x ＋1(x ≥0)．
构造函数h (x )＝e x
－(x ＋1)(x ≥0)，h ′(x )＝e x
－1.
令h ′(x )＝0得x ＝0，当x ≥0时，h ′(x )≥0即h (x )在[0，＋∞)上单调递增． ∴h (x )＝e x
－(x ＋1)≥h (0)＝0. 于是有e x >x ＋1，x >0. ∴当x >0时，e
x －1
>x .
从而1e x －1<1
x
.9分
接下来只需证：eln x ＋2x ≥1x
，
即证：eln x ＋1
x
≥0，
令F (x )＝eln x ＋1x (x >0)，则F ′(x )＝e x －1x 2＝e x －1
x
2，
所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 即F (x )≥F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝0， ∵x ＝1e 时，e x －1
>x ，
∴0<1e x －1<1x
，
∴eln x ＋2x >1
e
x －1.(12分)
选做题：请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
(22)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
(Ⅰ)若圆x 2
＋y 2
＝4在伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝λx
y ′＝3y (λ>0)的作用下变成一个焦点在x 轴上，且离
心率为4
5
的椭圆，求λ的值；
(Ⅱ)在极坐标系中，已知点A (2，0)，点P 在曲线C ：ρ＝2＋2cos θ
sin 2
θ上运动，求P 、A 两点间的距离的最小值．
【解析】(Ⅰ)依题意变换后椭圆y 轴正半轴顶点为(0，6)，所以短半轴长b ＝6，再由离
word 心率为45可得长半轴长为10，所以λ的值为5.5分 (Ⅱ)曲线C 的极坐标方程可化为ρ＝21－cos θ
，即ρ－ρcos θ＝2.化为直角坐标方程，得
x 2＋y 2－x ＝2，即y 2＝4(x ＋1)．
设点P (x ，y )(x ≥－1)，则|PA |＝（x －2）2＋y 2＝x 2
＋8≥22，当且仅当x ＝0时取等号．
故|PA |min ＝2 2.10分
(23)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
(Ⅰ)若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件为13<x <12
，某某数m 的取值X 围； (Ⅱ)关于x 的不等式|x －3|＋|x －5|<a 的解集不是空集，某某数a 的取值X 围．
【解析】(Ⅰ)不等式|x －m |<1的解集为{x |m －1<x <m ＋1}，依题意有⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12{x |m －1<x <m ＋1}，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12
，解得－12≤m ≤43.5分 (Ⅱ)∵|x －3|＋|x －5|≥|(x －3)－(x －5)|＝2，
且|x －3|＋|x －5|<a 的解集不是空集，
∴a >2，即a 的取值X 围是(2，＋∞).10分。