高考数学 五年高考三年模拟 第二节 点、线、面的位置关系试题 新人教版

第二节 点、线、面的位置关系
一、选择题
1.. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 有两个动点E ，F ，且2
2
EF =，则下列结论中错误的是 （A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面
（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值 2. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ②和④
【解析】选D.
3．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中 心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．90答案：C
【解析】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此AD 与平面11BB C C
所成角即为ADE ∠，设AB a =，则32AE a =
，2
a DE =， 即有0
tan 3,60ADE ADE ∠=∴∠=．4．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂
C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥
D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 5．C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．
【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．
6.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的 一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l // α B. m // l 且n // l 2 C. m // β 且n // β D. m // β且n // l 2 【答案】：B
[解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在
1221,//,//m l n l λλ⋂
7. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，
则异面直线BE 与1CD
所成的角的余弦值为 A.
10
B.
1
5
C.
310
D.
35
解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B
与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1310
cos A BE ∠=。

故选C 8．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD
的距离为 （ ） A ．
3
3
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、
直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，160B AB ︒
∠=，如图，
11tan603BB ︒=⨯=，故选D.
9．已知二面角l αβ--的大小为0
50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和 平面β所成的角都是0
25的直线的条数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
答案 B
10．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是 A ．若侧棱的长小于底面的边长，则
h
d
的取值范围为（0，1） B ．若侧棱的长小于底面的边长，则
h
d
的取值范围为223(,)23 C ．若侧棱的长大于底面的边长，则
h
d
的取值范围为23(,2)3 D ．若侧棱的长大于底面的边长，则h
d 的取值范围为23(,)+∞
C
11.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900
,∠ACC 1=600
,∠BCC 1=450
,侧棱CC 1的长为1，则
该三棱柱的高等于 A.21 B.2
2
C.2
3 D.
3
3
A
12．正方体ABCD —1A 1B 1C 1D 的棱上到异面直线AB ，C 1C 的
距离相等的点的个数为（C ）
A ．2
B ．3 C. 4 D. 5 13．平面六面体ABCD - 1A 1B 1
C 1
D 中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为【 C 】
A ．3 B. 4 C.5 D. 6 14．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，
B ，
C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为 A ．O ABC -是正三棱锥
y
x
z
O
A
B C
D
B ．直线OB ∥平面ACD
C ．直线A
D 与OB 所成的角是45
D ．二面角D OB A --为45 答案 B
15.如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则 下列结论正确的是
Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面 C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒
直线与平面所成的角为45
答案 D 二、填空题
16．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端 点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t
的取值范围是 ．
答案：1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着 F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面ADB ，即有CB BD ⊥，对于
2,1,3CD BC BD ==∴=，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，则有1
2
t =
，因此t 的取值范围是1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
17.对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________ （写出所有正确命题的编号）。

○
1相对棱AB 与CD 所在的直线异面； ○
2由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点； ○
3若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ○
4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; y
x
z
O
A
B C
D
○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

[解析]①④⑤
18.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的 中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ D ）（A ）
34 （B ）54 （C ）74 (D) 34
解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所 成的角,由三角余弦定理，易知113
co c s 4
os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠⋅=⋅=.故选D
19.已知二面角α-l-β为60
，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α
的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ C ） (A) (B)2 (C) 23 (D)4
解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于
PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=︒则 23,3AQ BP ==，2AC PD ∴==
又
2221223PQ AQ AP AP =+=+≥
当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。

故答案选C 。

20.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小 是 。

答案 90
21．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高 为 4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果
用反三角函数表示）.
答案 6
30arcsin 6
6
cos
5arctan ==are
三、解答题 22．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中 点，点D 在11B C 上，11A D B C
⊥。

求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查 空间想象能力、推理论证能力。

满分14分。

23．（本小题满分14分）
如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点
F 、
G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正
投影．
（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ； （3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.
解：（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、
1DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ，则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其
底面11FG DE 面积为
2212
1
2221=⨯⨯+⨯⨯=
， 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴3
2
3111111=⋅=
-EE S V FG DE FG DE E . （2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、
)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，
)1,1,0(1-=FE ，
∴01)1(01=+-+=⋅FE FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1，
11FE FG ⊥，
又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE .
（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ，则6
2,cos 111111=
⋅>=
<EA
G E EA G E EA G E ，设异
面直线11E G EA 与所成角为θ，则3
3321sin =-
=θ. 24.（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；
（III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。

方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE ，所以∠CED （或其 补角） 为异面直线BF 与DE 所成的角。

设P 为AD 的中
点，连结EP ，PC 。

因为FE //=AP ，所以FA //=
EP ，同理AB //=PC 。

又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD 。

而PC ，AD
都在平面ABCD 内,故EP ⊥PC ，EP ⊥AD 。

由AB ⊥AD ，可 得PC ⊥AD 设FA=a ，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a 2，
故∠CED=60°。

所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60° （
II
）
证
明
：
因
为
.CE MP MP .CE DM CE M ⊥⊥=，则连结的中点，所以为且DE DC
.
CDE AMD CDE CE .AMD CE M DM MP 平面，所以平面平面而平面，故又⊥⊂⊥=
（III ）因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CD EQ DE CE .EQ PQ CD Q ⊥=
.E CD A EQP CD PQ PD PC 的平面角为二面角，故，所以--∠⊥=
由（I ）可得，.2
226EQ a PQ a PQ EP ==
⊥，， ，
中，于是在3
3
cos EPQ Rt ==
∠∆EQ PQ EQP 25. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，DB 平分ADC ∠，E 为的PC 中点，1,22AD CD DB === （1）证明：//PA 平面BDE （2）证明：AC
⊥平面PBD
（3）求直线BC 与平面PBD 所成角的正切值
26．（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，
PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．
（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面
BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．
证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，
z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，
则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，
()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-，因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n =，(4,4,3FG =--得0n FG ⋅=，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE
（II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--，因为
FM ⊥平面BOE ，所以有//FM n ，因此有009
4,4
x y ==-，即点M
的坐标为94,,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，在平面直角坐标系xoy 中，AOB ∆的内部区域满足不等式组
x
y
z
00
8x y x y >⎧⎪
<⎨⎪-<⎩
，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为9
4,4
．
27．（本题满分
14分）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．
28．（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,， 在ABE ∆中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以
BE PQ 21//==， 又BE DC 21
//==，所以DC PQ ==
//，又⊄PQ 平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， 所
以//PQ 平面ACD
（Ⅱ）在ABC ∆中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC
而⊂EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP //
所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ， 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ∆中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP
所以55
5
1sin =
==
∠AD DP DAP 29.（本小题满分12分）
如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点 。

（I ）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正值弦； （II ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

（I ）解法一：
取CD 的中点G ，连接MG ，NG 。

设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2， 则MG ⊥CD ，MG=2，NG=
2
.
因为平面ABCD ⊥平面DCED ， 所以MG ⊥平面DCEF ，
可得∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角。

因为MN=
6
，所以sin ∠MNG=
3
6为MN 与平面DCEF
所成角的正弦值 ……6分
30．（本小题满分13分）
如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ，
和
是平面ABCD 内的两点，
和
都与平面ABCD 垂直， （Ⅰ）证明：直线
垂直且平分线段AD ：
（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体ABCDEF 的体积。

【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。

【解析】(1)由于EA=ED 且'''ED ABCD E D E C ⊥∴=面
∴点E '在线段AD 的垂直平分线上,同理点F '在线段BC 的垂直平分线上. 又ABCD 是四方形
∴线段BC 的垂直平分线也就是线段AD 的垂直平分线 即点E 'F '都居线段AD 的垂直平分线上. 所以,直线E 'F '垂直平分线段AD. (2)连接EB 、EC 由题意知多面体ABCD 可分割成正四棱锥E —ABCD 和正四面体E —BCF 两部分.设AD 中点为M,在Rt △MEE '中,由于ME '=1, 3'2ME EE =∴=.
E V ∴—ABCD 21
142
'2233S ABCD EE =⋅⋅=⨯⨯=
四方形
又E V —BCF=V C －BEF=V C －BEA=V E －ABC 211122
'223323
ABC
S EE =
⋅=⨯⨯⨯= ∴多面体ABCDEF 的体积为V E —ABCD ＋V E —BCF=22
31．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．
如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，
2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°
（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点
（II ）求二面角S AM B --的大小。

（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，
连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,2NE AD ==
设MN x =，则NC EB x ==,
在RT MEB ∆中，60MBE ∠=︒3ME x ∴=。

在RT MNE ∆中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+
解得1x =，从而12
MN SD =∴ M 为侧棱SC 的中点M. 解法二:过M 作CD 的平行线.
解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案.
（II ）分析一:利用三垂线定理求解。

在新教材中弱化了
三垂线定理。

这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理
的方法求作二面角。

过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于
H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则JM ∥CD ,JM ⊥面
SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所
求二面角的补角.
分析二：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.
分析三：利用空间向量求。

在两个半平面内分别与交线AM 垂直的两个向量的夹角即可。

另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。

命题人在这里一定会照顾双方的利益。

32.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC
（I ）证明：AB AC =
（II ）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。

（I ）分析一：连结BE ，111ABC A B C -为直三棱柱， 190,B BC ∴∠=︒ E 为1B C 的中点，BE EC ∴=。

又DE ⊥平面1BCC ，
BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，
AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，进而证AF ∥DE ，
AF BC ⊥，得AB AC =也可。

分析三：利用空间向量的方法。

具体解法略。

（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可。

作AG BD ⊥于G ，连GC ，则GC BD ⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=︒.不妨设23AC =，则2,4AG GC ==.在RT ABD ∆中，由AD AB BD AG ⋅=⋅，易得6AD =.
设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面
BCD 所成的角为α。

利用
11133
B B
C BC
D S D
E S h ∆∆⋅=⋅，可求得h =23，又可求得143B C = 11sin 30.2
h B C αα==∴=︒ 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.︒
分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解。

如图可证得BC AFED ⊥面，所以面AFED BDC ⊥面。

由分析一易知：四边形AFED 为正方形，连AE DF 、，并设交点为O ，则EO BDC ⊥面，OC ∴为EC 在面BDC 内的射影。

ECO ∴∠即为所求。

以下略。

分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n ，则1B C 与平面BCD 所成的角即为1B C 与法向量n 的夹角的余角。

具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。

命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

34．（本小题共14分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒
=∠=∠=，
点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥BC .
又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ， ∴12DE BC =， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ， ∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E.
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥AB，又PA=AB ，
∴△ABP 为等腰直角三角形，∴12AD AB =
， ∴在Rt△ABC 中，60ABC ︒∠=，∴12
BC AB =. ∴在Rt△A DE 中，2sin 24
DE BC DAE AD AD ∠===， ∴AD 与平面PAC 所成的角的大小2arcsin
4. （Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，∴DE⊥平面PAC ，
又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE⊥AE，DE⊥PE ，
∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角，
∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥AC，∴90PAC ︒∠=.
∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE⊥PC，这时90AEP ︒∠=，
故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.
【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -，
设PA a =，由已知可得
()()1330,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a a C a P a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
（Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
， ∴0BC AP ⋅=，∴BC⊥AP .
又∵90BCA ︒∠=，∴BC⊥A C ，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，
∴13131,,0,,44242D a a a E a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，∴∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵13131,,,0,,4424
2AD a a a AE a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴14cos 4
AD AE
DAE AD AE ⋅∠==⋅. ∴AD 与平面PAC 所成的角的大小14arccos
4. （Ⅲ）同解法1.
36．（本小题共14分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；
（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与
平面PDB 所成的角的大小.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、
直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算
能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD ABCD ⊥底面，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ，
∴平面AEC PDB ⊥平面.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ，
∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，
∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，
∴OE//PD ，12OE PD =，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ， 在Rt △AOE 中，1222
OE PD AB AO ===， ∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.
37．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如题（19）图，在四棱锥S ABCD -中，
AD
BC 且AD CD ⊥；平
面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，2,3CE AS ==．求：
（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离；
（Ⅱ）二面角E CD A --的大小．
39 （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB//DC ，∠BAD=2
π，CD=AD=2.，四边形ABFE 为平行四边形，FA⊥平面ABCD ，FC=3，ED=7，求：
（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离：
（Ⅱ）二面角F-AD-E 的平面角的正切值，
40.（本小题满分12分）
如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB AA =
D 是11A B 的中点，点
E 在11A C 上，且DE AE ⊥。

（I ）
证明平面ADE ⊥平面11ACC A （II ）
求直线AD 和平面ABC 所成角的正弦值。

解 （I ） 如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面111A B C
又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.
而DE ⊥AE 。

AA 1 AE=A 所以DE ⊥平面AC C 1A 1，又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面AC C 1A 1。

（2）解法1 如图所示，设F 使AB 的中点，连接DF 、DC 、CF ，由正三棱柱ABC- A 1B 1C 1的性质及D 是A 1B 的中点知A 1B ⊥C 1D ， A 1B ⊥DF
又C 1D DF=D ，所以A 1B ⊥平面C 1DF ，
而AB ∥A 1B ，所以
AB ⊥平面C 1DF ，又AB ⊂平面ABC ，故
平面AB C 1⊥平面C 1DF 。

过点D 做DH 垂直C 1F 于点H ，则DH ⊥平面AB C 1。

连接AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角。

由已知AB=2A A 1，不妨设A A 1=2，则AB=2，DF=2，D C 1=3，
C 1F=5，AD=221A
D AA +=3，DH=F C DC DF 11·=5
32⨯—5
30，
所以 sin ∠HAD=AD DH =510。

即直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为
510。

41.（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱ABC -1A 1B 1C 中，AB =4, A 1A =7,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E
（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;
（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC -1A 1B 1C 的性质知1AA ⊥平面ABC
又DE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥A 1A .
而DE ⊥A 1A ，111AA A E A =,所以DE ⊥平面11ACC A
又DE ⊂平面1A DE ，故平面1A DE ⊥平面11ACC A
（Ⅱ）解法 1过点A 作AF 垂直1A E 于点F
连接DF .由（Ⅰ）知，平面1A DE ⊥平面11ACC A ，
所以AF ⊥平面1A DE ,故ADF ∠直线AD 和
平面1A DE ∠所成的角。

因为DE ⊥11ACC A 所以DE ⊥AC 而
∆ABC 是边长为4的正三角形，于是AD =2 3 AE=4-CE =4- 12CD =3 又因为A 1A = 7 所以1A E =
221AA AE +=2(7)3+= 4 11374
AE AA AF A E •== , 21sin 8AF ADF AD ∠== 即直线AD 和平面1A DE 所成的角的正弦值为
218 42．（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小；
（3）求点N 到平面ACM 的距离.
20．解：
方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则A M⊥M C 。

又因为P A ⊥平面ABCD ，则PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，
所以CD ⊥平面ＰＡＤ，则CD ⊥AM ，所以A M ⊥平面PCD ，
所以平面ABM ⊥平面PCD 。

（2）由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =，则M 是PD 的中点可得 22AM =2223MC MD CD +=则1262
ACM S AM MC ∆⋅=设D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=即68h =， 可求得26h = 设所求角为θ，则6sin h CD θ==，6θ=。

（1） 可求得PC=6。

因为AN ⊥NC ，由PN PA PA PC =，得PN 83
=。

所以:5:9NC PC =。

故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面ACM 距离的59。

又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为51069h =。

N O D M B P A
43（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相
垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=
（I ）求证：EF BCE ⊥平面；
（II ）设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM BCE 平面？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III ）求二面角F BD A --的大小。

（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向
量知识解决数学问题的能力。

解法一：
（Ⅰ）因为平面ABEF ⊥平面ABCD ,BC ⊂
平面ABCD ，
平面ABEF 平面ABCD AB =，
所以BC ⊥平面ABEF
所以BC ⊥EF .
因为ABE ∆为等腰直角三角形，
AB AE =，
所以45AEB ∠=
又因为45AEF ∠=，
所以454590FEB ∠=+=，
即EF ⊥BE B =,
所以EF ⊥平面BCE 。

……………………………………4分
（Ⅱ）存在点M ,当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE
取BE 的中点N ，连接AN,MN ，则MN ∥＝12
AB ∥＝PC 所以PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN
因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，
所以PM ∥平面BCE ……………………………………8分 （Ⅲ）由EA ⊥AB,平面ABEF ⊥平面ABCD ，易知，EA ⊥平面ABCD
作FG ⊥AB,交BA 的延长线于G ，则FG ∥EA 。

从而，FG ⊥平面ABCD
作GH ⊥BD 于G ，连结FH ，则由三垂线定理知，BD ⊥FH
因此，∠AEF 为二面角F-BD-A 的平面角
因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=2
. FG=AF ·sinFAG=12
在Rt △FGH 中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+12=32
,
GH=BG ·sinGBH=32
在Rt △FGH 中，tanFHG= FG GH = 3
故二面角F-BD-A 的大小为arctan
3. ………………………………12分
第一部分 五年高考荟萃
2009年高考题
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008上海13） 给定空间中的直线L 及平面α，条件“直线L 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线L 与平面α垂直”的（ ）条件
A ．充要
B ．充分非必要
C ．必要非充分
D ．既非充分又非必要
答案 C
2.（2008天津5）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是( )
A ．βαβα⊥⊥,//,b a
B ．βαβα//,,⊥⊥b a
C ．βαβα//,,⊥⊂b a
D ．βαβα⊥⊂,//,b a
答案 C
3.（2008安徽4）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．,,m n m n αα若则‖‖‖
B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
答案 D 4.（2008湖南5）设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )
A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
B.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β
C.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β
D.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 答案 D
5.（2008全国Ⅰ11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于 （ ）
A ．
13
B
．
3
C
．
3
D ．
23
答案 C
6.（2008全国Ⅱ10）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．
13
B
．
3
C
．
3
D ．
23
答案 C
7.（2008四川９）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有 ( )
A ．１条 B.２条 C ．３条 D ．４条 答案 B
8.（2008湖南9）长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2,AD
AA 1=1,则顶点A 、B 间的球面距离是( C )
C.
2
D.
4
答案 C
9.（2008陕西9）如图，l A B A B αβα
βαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和
b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ）
A ．m n θϕ>>，
B ．m n θϕ><，
C ．m n θϕ<<，
D ．m n θϕ<>，
答案 D
A B a b
l
α
β
11. (2007北京理•3）平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥
C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥
D ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥
答案 D 12. ( 2007安徽理•2）设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l α⊥”是l m ⊥且“l n ⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案
13.（2007福建理•8）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ B ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒ D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥
答案 D
14.（2007湖北理•4）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：
①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；
③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； 其中不正确的命题个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 答案 D
15.（2007江苏理•4）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③
答案 C
16.（2007全国Ⅰ理•7）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=， 则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ ） A ．
51 B ．52 C
．53 D ．5
4 答案 D
17.（2007福建理•10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝，
则A 、C 两点间的球面距离为 （ ） A ．
4π B ． 2
π
C ．24π
D ． 22π
答案 B
18.（2007四川理•4）如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ）
A ．BD ∥平面C
B 1D 1 B ．A
C 1⊥BD
C ．AC 1⊥平面CB 1
D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60° 答案 D
19. (2006福建）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )
A . 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
B . 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
C . 若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n
D . 若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m 答案 C
20. （2006广东）给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 ( )
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1 答案 B 21. （2006湖南卷）过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1
平行的直线共有 ( )
1111A C D D
C
B A
A.4条
B.6条
C.8条
D.12条 答案 D
22.（2006全国II ）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面
α、β所成的角分别为π4
和 π
6
，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足
为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝（ ）
A . 2∶1
B .3∶1
C .3∶2
D .4∶3 答案 A
23. (2006重庆卷) 对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l A .平行 B .相交 C .垂直 D .互为异面直线 答案 C
24.（2005上海春13） 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是 （ ）
A . 若//l m ，//m n ，则//l n
B . 若l α⊥，//n α，则l n ⊥
C . 若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥
D . 若//l α，//n α，则//l n 答案 D
25.（2005上海14）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四
个点在同一平面上”的
（ ）
A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充要条件
D . 非充分非必要条件 答案 A 二、填空题
26.（2008陕西14）长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其
中
1::AB AD AA =A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则
m
n
的值为 ． 答案 12
27.(2008全国Ⅰ16）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角
C AB
D --
的余弦值为
3
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 答案
6
1 28.（2008安徽16）已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若
A'
B'A B β
α
6,AB =213,AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是 .
答案
43
π 29.（2008辽宁14）在体积为43π的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC =2，A ，C
两点的球面距离为
3
3
π，则球心到平面ABC 的距离为_________． 答案
32
30.（2007四川理•14）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2， 底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ． 答案
6
π 31.（2007浙江理•16）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且
45POB ∠=︒。

若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥︒，则二面角
AB αβ--的大小是_______。

答案 90 三、解答题
32.（2008北京16）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，
AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．
（Ⅰ）证明 取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =， AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）解 AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．
A
B
D
P
A
B
E P A
C
B
P
又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C =，
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =
，2
BE AB =
=
sin 3
BC BEC BE ∴∠=
=． ∴二面角B AP C --
的大小为arcsin
（Ⅲ）解 由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．
过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =，
CH ∴⊥平面APB ．
CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离． 由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =，
PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．
在Rt PCD △
中，1
2
CD AB =
=
PD PB ==
2PC ∴==．
3
3
2=⨯=
PD CD PC CH ．
∴点C 到平面APB
的距离为
3
．
第二部分 三年联考汇编
2009年联考题
一、选择题
1.(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)设c b a ,,是空间三条直线，βα,是空间
A
C
B
D
P
H
两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( )
A ．当α⊥c 时，若β⊥c ，则βα//
B ．当α⊂b 时，若β⊥b ，则βα⊥
C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若c b ⊥，则b a ⊥
D ．当α⊂b ，且α⊄c 时，α//c ，则c b // 答案 B
2. (厦门市第二外国语学校2008—2009学年高三数学第四次月考)设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 ( ) A .βαβα⊥⊥,//,b a B .βαβα//,,⊥⊥b a C .βαβα//,,⊥⊂b a D .βαβα⊥⊂,//,b a 答案 C
3. (2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是AD 的中点，则异面直线1C E 与BC 所成的角的余弦值是（ ）
A ．510
B ．1010
C ．3
1
D ．322
答案 C
4. (四川省成都市2009届高三入学摸底测试) 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是AD 的中点，则异面直线1A B 与1C E 所成角的大小是 ( ) A .
6π B .4π C .3π D . 2
π
答案 D
5. (安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( ) A .n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n m B .α内不共线的三点到β的距离相等 C .βα,都垂直于平面γ
D 1
B 1
C 1
A 1
D C B
A
D .n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m
答案 D
6. (四川省成都市高中数学2009级九校联考)设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为 （ ）
A B .6
R π C .
56R π D .23
R π 答案 D
7. (广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)在正方体1111ABCD A B C D -中，
N M 、 为的棱A AD B 与的中点，则异面直线N M 与1BD 所成角的余弦值是 ( )
A B ．1
2
C 答案 D
8. (广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题)已知直线a b 、是异面直线，直线c d 、分别与a b 、都相交，则直线c d 、的位置关系
A.可能是平行直线
B.一定是异面直线
C.可能是相交直线
D.平行、相交、异面直线都有可能 答案 C
9. (安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)下列命题不正确．．．的是（ ） A ．,,,P A PB B ααα∉∈⊥为垂足，且A 与B 不重合，则PAB ∠为PA 与平面α所成
的角
B ．,,,,l O l OA OB αβαβ⋂=∈⊂⊂,,OA l OB l ⊥⊥则AOB ∠为二面角α－l －β的
平面角
C ．,,A l AB B α∈⊥为垂足，则AB 为直线l 到平面α的距离
D ．//,,,A B AB αβαβα∈∈⊥，则AB 为平面α与平面β的距离 答案 C
10. （浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理））设,m n 是两条不同的直线，
,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A 、若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ
B 、若//,//,//,m n αβαβ则//m n
C 、若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥
D 、若//,//,//,m n m n αβ则//αβ 答案 C 二、填空题
11. (广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考)给出下面四个命题： ①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行
③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行。