高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第二十三章 选修系列 23.4 不等式选讲
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m 2 n 2 的最小值为 设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则
5 2
1 2
5 2
1 2
.
答案 5
(m 2 n 2 )(a 2 b 2 ) ≥ |ma+nb|= 5 ,当且仅当 解析 根据柯西不等式得 m2 n 2 = · = (a2+b2=5,
5.(2017课标全国Ⅱ理,23,10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2. 证明 本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 5
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m a
n b
10 ma+nb=5),即m=a=n=b= 时取等号,故 m2 n 2 的最小值为 5 . 2
4.(2013湖南理,10,5分)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 答案 12
.
解析 由柯西不等式(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2得3(a2+4b2+9c2)≥36,所以a2+4b2+9c2≥12.当 且仅当a=2b=3c=2时,a2+4b2+9c2取得最小值12.
高考数学
(江苏省专用)
§23.4 不等式选讲
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,21D,10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8. 证明 本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力. 由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 因为a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)2≤64, 因此ac+bd≤8. 2.(2016江苏,21D,10分)[选修4—5:不等式选讲] 设a>0,|x-1|< ,|y-2|< ,求证:|2x+y-4|<a.
3(a b) =2+3ab(a+b)≤2+ (a+b)
2
4
3(a b) =2+ ,
3
4
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 失分警示 运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中易 因逻辑混乱而失分.
6.(2017课标全国Ⅲ理,23,10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
3 3 x , x , 解析 原不等式可化为 2 或 2 x 3 2 3x 3 2. 1 解得x≤-5或x≥- . 3
1 综上,原不等式的解集是 x | x 5或x . 3
4.(2014江苏,21D,10分,0.27)[选修4—5:不等式选讲]已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
即2a3-b3≥2ab2-a2b.
B组
考点
统一命题·省(区、市)卷题组
不等式的解法与证明
.
1.(2015山东改编,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是 答案 (-∞,4) 解析 ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2, ∴x<1.
②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4,
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解析 本题考查绝对值不等式的解法.
3, x 1, (1)f(x)= 2 x 1, 1 x 2, 3, x 2.
当x<-1时, f(x)≥1无解; 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2; 当x>2时,由f(x)≥1解得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
证明 因为x>0,y>0,
3 xy 2 >0, 所以1+x+y2≥3
3 2 x y >0, 1+x2+y≥3
3 3 2 xy 2 · x y =9xy. 故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3 3
5.(2013江苏,21D,10分,0.538)已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. 证明 2a3-b3-(2ab2-a2b) =2a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b) =(a-b)(a+b)(2a+b). 因为a≥b>0, 所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,
∴1≤x<4. ③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解. 综合①②③知x<4. 2.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案
1 1, 2
1 2
解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min= ,依题意得a2+ a+2≤ ⇔-1≤a≤ . 3.(2014陕西,15A,5分)(不等式选做题)
5, 3 5 ≤ =- | x | +
2
4 2 4 3 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= 5. 且当x= 2 4
a 3 a 3
证明 因为|x-1|< ,|y-2|< ,
a + a 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(ya 3
a 3
解后反思 利用绝对值的三角不等式求最值时,可借助:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|来求解,但一定要 注意等号成立的条件. 3.(2015江苏,21D,10分,0.521)解不等式x+|2x+3|≥2.
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答案 5
(m 2 n 2 )(a 2 b 2 ) ≥ |ma+nb|= 5 ,当且仅当 解析 根据柯西不等式得 m2 n 2 = · = (a2+b2=5,
5.(2017课标全国Ⅱ理,23,10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2. 证明 本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
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m a
n b
10 ma+nb=5),即m=a=n=b= 时取等号,故 m2 n 2 的最小值为 5 . 2
4.(2013湖南理,10,5分)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 答案 12
.
解析 由柯西不等式(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2得3(a2+4b2+9c2)≥36,所以a2+4b2+9c2≥12.当 且仅当a=2b=3c=2时,a2+4b2+9c2取得最小值12.
高考数学
(江苏省专用)
§23.4 不等式选讲
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,21D,10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8. 证明 本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力. 由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 因为a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)2≤64, 因此ac+bd≤8. 2.(2016江苏,21D,10分)[选修4—5:不等式选讲] 设a>0,|x-1|< ,|y-2|< ,求证:|2x+y-4|<a.
3(a b) =2+3ab(a+b)≤2+ (a+b)
2
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3(a b) =2+ ,
3
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所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 失分警示 运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中易 因逻辑混乱而失分.
6.(2017课标全国Ⅲ理,23,10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
3 3 x , x , 解析 原不等式可化为 2 或 2 x 3 2 3x 3 2. 1 解得x≤-5或x≥- . 3
1 综上,原不等式的解集是 x | x 5或x . 3
4.(2014江苏,21D,10分,0.27)[选修4—5:不等式选讲]已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
即2a3-b3≥2ab2-a2b.
B组
考点
统一命题·省(区、市)卷题组
不等式的解法与证明
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1.(2015山东改编,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是 答案 (-∞,4) 解析 ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2, ∴x<1.
②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4,
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解析 本题考查绝对值不等式的解法.
3, x 1, (1)f(x)= 2 x 1, 1 x 2, 3, x 2.
当x<-1时, f(x)≥1无解; 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2; 当x>2时,由f(x)≥1解得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
证明 因为x>0,y>0,
3 xy 2 >0, 所以1+x+y2≥3
3 2 x y >0, 1+x2+y≥3
3 3 2 xy 2 · x y =9xy. 故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3 3
5.(2013江苏,21D,10分,0.538)已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. 证明 2a3-b3-(2ab2-a2b) =2a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b) =(a-b)(a+b)(2a+b). 因为a≥b>0, 所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,
∴1≤x<4. ③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解. 综合①②③知x<4. 2.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案
1 1, 2
1 2
解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min= ,依题意得a2+ a+2≤ ⇔-1≤a≤ . 3.(2014陕西,15A,5分)(不等式选做题)
5, 3 5 ≤ =- | x | +
2
4 2 4 3 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= 5. 且当x= 2 4
a 3 a 3
证明 因为|x-1|< ,|y-2|< ,
a + a 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(ya 3
a 3
解后反思 利用绝对值的三角不等式求最值时,可借助:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|来求解,但一定要 注意等号成立的条件. 3.(2015江苏,21D,10分,0.521)解不等式x+|2x+3|≥2.