专题05 数与形的第一次联姻

专题5 数与形的第一次联姻
阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：
1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小；
4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．
例题与求解
【例1】 已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于_____________．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：确定A ，B 在数轴上的位置，求出A ，B 两点所表示的有理数．
【例2】 在数轴上和有理数c b a ,,对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：
①0<abc ，②c a c b b a -=-+-，③0))()((>---a c c b b a ，④bc a -<1，其中，正确的结论有（ ）个．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：从数轴上得到101<<<<-<c b a ，再对代数式进行逐以一判断．
【例3】 如图所示，已知数轴上点C B A ,,所对应的数c b a ,,都不为0，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，试确定原点O 的大致位置．
解题思路：从化简等式入手，而2
b
a c +=是解题的关键．
【例4】 （1）阅读下面材料：
点B A ,在数轴上分别表示实数,,b a B A ,两点之间的距离表示为AB ．当B A ,两点中有一点在原点时，
当A 、B 两点都不在原点时，
①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；
②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－a ）＝|a －b |； 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |． （2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；
②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是______________，如果|AB |＝2，那么x 为_________；
③当代数式|x ＋1|十|x －2|取最小值时________，相应的x 的取值范围是___________．
④求1997...321-++-+-+-x x x x 的最小值．
（江苏省南京市中考试题）
解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式b a -所表示的意义，来回答所提出的具体问题．
【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求n a x a x a x y -+•••+-+-=21的最小值．
【例6】 如图，A 是数轴上表示－30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点C B A ,,在数轴上同时向正方向运动．点A 运动的速度是6个单位长度/秒，点B 和点C 运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，线段AC ＝6（单位长度）？
（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求2PM －PN ＝2时t 的值．
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路：（1）C B A ,,三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A 点运动到C 点左侧和右侧两种情况来分析求解．
（2）先将N M P ,,三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M 始终在点N 左侧，则分为“点P 在N M ,左边”，“点P 在N M ,之间”，“点P 在N M ,右边”三种情况来求解．
能力训练
A 级
1．已知数轴上表示负数有理数m 的点是点M ，那么在数轴上与点M 相距m 个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．
（江苏省竞赛试题）
2．如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么B A ,两点的距离为______________．
3．点B A ,分别是数3-，2
1-
在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到'
'B A 的中点对应数3，则点'
A 对应的数是________________，点A 移动的距离是____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．已知0>a ，0<b 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
5．在数轴上任取一条长度为9
1
1999的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．
A ．1998
B ．1999
C ．2000
D ．2001
（重庆市竞赛试题）
6．如图，b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（“祖冲之”邀请赛试题）
7．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）． A ．c b a -+32 B ．c b -3 C ．c b + D ．b c -
8．如图所示，在数轴上有六个，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）．
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
（“希望杯”邀请赛试题）
9．已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且64366====d c b a ，求c b a b d a -+---22323的值．
10．电子跳蚤落在数轴上的某点o K ，第一步从o K 向左挑一个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置o K 点所表示的数是_________________．
11．如图，已知B A ,分别为数轴上两点，A 点对应的数为－20，B 点对应的数为100． （1）求过B A ,中点M 对应的数．
（2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数．
（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．
B 级
1．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示：
则化简c c a b b a ------+11的结果为_____________________． 2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“站台4
3
9
”的镜头（如示意图中M 站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若B A ,站台分别位于－2，－1处，NB AN 2=，则N 站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”
（《时代学习报》数学文化节试题）
3．在数轴上，若N 点与原点O 的距离是N 点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则N 点表示的数是_________________．
（河南省竞赛试题） 4．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是__________________．
（武汉市选拔赛试题）
5．如图，直线上有三个不同的点C B A ,,，且BC AB ≠，那么，到C B A ,,三点距离的和最小的点为（ ）．
A ．
B 点外 B ．线段A
C 的中点 C ．线段AC 外一点
D ． 无穷多个
（“希望杯”邀请赛试题）
6．点)(,,,,321为正整数n A A A A n ⋅⋅⋅都在数轴上，点在原点O 的左边，且11=O A ，点2A 在点1A 的右边，且212=A A ，点3A 在点2A 的左边，且323=A A ，点4A 在点3A 的右边，且434=A A ，•••，依照上述规律，点20092008,A A 所表示的数分别为（
） ．
A ．2008，－2009
B ．－2008，2009
C ．1004，－1005
D ．1004，－1004
（福建省泉州市中考试题） 7．设11++-=x x y ，则下列四个结论中正确的是（
）．
A ．y 没有最小值
B ．只有一个x 使y 去最小值
C ．有限个x （不止一个）使y 去最小值
D ．有无穷多个x 使y 取最小值
（全国初中数学联赛试题）
8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点D C B A ,,,对应的数分别是整数
d c b a ,,,，且92=-a b ，那么数轴的原点对应点是（ ）．
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题） 9．已知y y x x +---=-++15912，求y x +的最大值和最小值．
（江苏省竞赛试题）
10．如图，在环形运输线路上有F E D C B A ,,,,,六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．
11．如图，数轴上标有12+n 个点，它们对应的整数是
n n n n n ,1,2,,2,1,0,1,2,),1(,--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个
点之间的距离都不等于4．求n 的最小值．
（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）。