数学文卷·2012届浙江省台州中学高三上学期第三次统练测试题(2011.12)

台州中学2011学年第一学期统练三试题
高三 数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}{}
|1,|21x M x x N x =<=>，则M N I = （ ） A ．∅
B ． {}|0x x <
C ．{}|1x x <
D ．{}|01x x <<
2．i 是虚数单位，则复数1i
i
+的虚部是（ ） A ．1
B ．1-
C ．
12
D ．12
-
3.下列命题为真命题的是 ( )
A ．0>>b a 是2
2
b a >的充分条件 B ．b a >是b
a 1
1<的充分条件 C ．b a >是
b
a 1
1<的必要条件 D ．b a >是22b a >的充要条件 4.若定义在R 上的偶函数)(x f 在]0,(-∞上单调递减，且0)1(=-f ，则不等式0)(>x f 的解集是（ ）
A ．),1()1,(∞+--∞Y
B ．)1,0()1,(Y --∞
C ．)1,0()0,1(Y -
D ．),1()0,1(∞+-Y
5. 函数x x x f ln |2|)(--=在定义域内零点的个数 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， 则下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α
B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β
C ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α
D ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β
7.
阅读如图所示的程序框图，若输出的S 是126，则①应为 （ ） A ．?5≤n B ．?6≤n C ．?7≥n D ．?8≤n
8．已知凸函数的性质定理：“若函数)(x f 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意
n x x x ,,,21Λ，
有：
)()]()()([1
2121n
x x x f x f x f x f n n n +++≤+++ΛΛ”．若函数x y sin =在区间
),0(π上是凸
函数，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是（ ） A ．
2
1
B ．
2
3
C ．
2
3
3 D ．
2
3 9. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，N M ,是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双
曲线上的动点，且直线PN PM ,的斜率分别为12,k k ，021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则双曲线的离心率为 （ ） A ．2 B ．
25 C ．23 D ．2
3
10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若对任意],[b a x ∈，都有
|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在],[b a 上是“亲密函数”，区间],[b a 称为“亲密
区间”．若2)(2
++=x x x f 与12)(+=x x g 在],[b a 上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（ ）
A ．]2,0[
B ．]1,0[
C ．]2,1[
D ．]0,1[-
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分．
11.函数ax y cos =)0(>a 的最小正周期为π，则实数_______=a ． 12.已知曲线3
4
313+=
x y ，则曲线在点)4,2(P 处的切线方程为 ． 13．一个骰子连续投两次，则两次投出点数之和为5的概率是 .
14.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图 是边长为2的正三角形，则其全面积是__________ ．
15. 若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+2
22
y x y x ，则11y x -+的最大值是 ．
16.如图，在△ABC 中，AN =31
NC ，P 是BN 上的一点，若AC AB m AP 11
2+=，则实数的值为___________． 17.有下列数组成一排：
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41322314312213211211，，，，，，，，，，⎪⎭
⎫
⎝⎛5142332415，，，，，…… 第16题图
2
第14题图
如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：
11，2112，，312213，，，41322314，，，，5
142332415，
，，，，……则此数列中的2012项
是 ．
台州中学2011学年第一学期统练三答题卷
高三 数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
11. 12. 13.
14. 15 16. 17.
三、解答题：本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18. （本题满分14分）已知：A 、B 、C 是ABC ∆的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量
()1cos ,3+=
A m ，()1,sin -=A n ，且⊥．
（1）求角A 的大小；（2）若,3
3
cos ,2=
=B a 求b 的长． 19.（本题满分14分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项． （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足)(12*
N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S ．
20. （本题满分14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，PD EC //，
且22===EC AD PD （1）求证：//BE 平面PDA ；（2）求PA 与平面PBD 所成角的大小．
21．（本题满分15分）设函数32
21(),32
f x x ax x a R =
++∈． （1）当2x =时，()f x 取得极值，求a 的值； （2）若()f x 在(0,)+∞内为增函数，求a 的取值范围；
（3）设x x x g ln )(=，是否存在正实数a ，使得对任意]1,0(,21∈x x ，都有
)()(21x g x f ≤成立？
若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
22. （本题满分15分）如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F , 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点 （1）写出抛物线2C 的标准方程；
（2）若12
AM MB u u u u r u u u r
，求直线l 的方程；
（3）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭
圆1C 的长轴长的最小值．
台州中学2011-2012学年第一学期统练三答案
高三 数学（文科）
一、DCAAC DBCBB
二、11．2 12．044=--y x 13．91 14．12 15．1 16．113
17．59
5 三、解答题
18．（1）由01cos sin 3=--=⋅A A n m 得21)6
sin(=
-
π
A ，又6
566π
ππ<-<-A ， 则6
6
π
π
=
-
A ，即3
π
=
A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）由
3
3
cos ,2=
=B a ，得
3
6sin =
B ，
B
b
A a sin sin =
，则
3
2
4=
b ．．．．．．．．．．．．．．．14分 19．（1）∵11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项，∴3312)1(2a a a a =-+=
即
22
3
=a a ，则
11122--=⋅=n n n a a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）∵n n a n b +-=12， ∴
2
12121212
222125311
210--+
-+=+++++-++++=-n
n n n n n S ΛΛ122-+=n n
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 20．（1）AD BC PD CE //,//Θ D AD PD C BC CE ==I I ,
PAD BCE 面面//∴ BCE BE 面⊆Θ
PAD BE 面//∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）连结AC 交BD 于O ， ABCD PD 面⊥ AC PD ⊥∴
BD AC ⊥ΘPBD
AO 面⊥∴即
所成角与面为PBD PA APO ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
2
1
sin =∠APO
6π
=
∠∴APO 6
π
所成角为与平面PBD PA ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 21．解：2
()21f x x ax '=++，
（1）由题意：(2)8210f a '=++=，解得9
2
a =-
．
经检验，92a =-
符合题意，所以a 的值为2
9
- ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）要使()f x 在(0,)+∞内为增函数，只需在(0,)+∞内有2
210x ax ++≥恒成立
即
)1
2(x x a +-≥在(0,)+∞内恒成立， 而22)1
2(-≤+-x
x ，故a 的取值范围是),22[∞+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10
分
（3）由x x x g ln )(=，得01ln )(=+='x x g ，e
x 1=
， 当0)(),1,0(<'∈x g e x ，)(x g 单调递减，当0)(],1,1
(>'∈x g e
x ，)(x g 单调递增，
则e
e g x g 1
)1()(min -==
由2
()21f x x ax '=++，]1,0(,0∈>x a ，得0)(>'x f ，)(x f 在]1,0(上单调递增
a f x f 2
135)1()(max +=
=，由题意得min max )()(x g x f ≤，即e a 1
2135-≤+
则3
10
2-
-
≤e a ，由已知0>a ，故不存在实数a 满足题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
22．（1）x y 42
=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(2)设),4(),,4(22
212
1y y B y y A →
→=MB AM 21 ),44(21),44(22
212
1y y y y +-=-- 212
1
y y -=∴
4
4{
2+==my x x y 01642
=--∴my y 2
121212416
{y y m y y y y =-=+-=∴
2
2
=
∴m 0822:=--∴y x l ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 （3）设4:+=my x l ，坐标原点O 关于直线l 的对称点为),4(02
y y P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=4
28
402
0200
y
m y m
y y 4:1+=∴=∴y x l m 设椭圆方程为122
22=+b
y a x
4
1{22
22+==+y x b y a x 消元整理01617)1(8)12(24222=-+--+-a a y a y a 2
34
,0≥≥∆a 得 34长轴长的最小值为∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分。