2017北京市高考压轴卷 数学(文)Word版含解析新

2017北京市高考压轴卷
文科数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，且A ⊆B ，则实数a=（ ） A ．0
B ．﹣1
C ．﹣2
D ．﹣3
2. 函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f （x+2）是偶函数，则f （1），f （2.5），f （
3.5）的大关系是（ ）
A ．f （2.5）＜f （1）＜f （3.5）
B ．f （2.5）＞f （1）＞f （3.5）
C ．f （3.5）＞f （2.5）＞f （1）
D ．f （1）＞f （3.5）＞f （2.5） 3. 给出下列命题： ①函数y=cos （﹣2x ）是偶函数； ②函数y=sin （x+）在闭区间上是增函数；
③直线x=
是函数y=sin （2x+
）图象的一条对称轴；
④将函数y=cos （2x ﹣）的图象向左平移
单位，得到函数y=cos2x 的图象，其中正确的
命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. 命题“若
6π
α=
，则
33
tan =
α”的逆否命题是
A.若
6π
α≠
，则
33tan ≠
α B.若6π
α=
，则
33tan ≠α C.若
33tan ≠
α，则6πα≠ D. 若33tan ≠α，则6π
α=
5. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β B ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
6. 双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与圆()
()2
2
3
11x y -+-=相切，则此双
曲线的离心率为（ ）
(A)2 (B)5 (C)3 (D)2
7 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A ．1
B ．2
3
C ．13
21
D ．610987
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）
9. 已知
是（-∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值
范围是
10. 若复数+b （b ∈R ）所对应的点在直线x+y=1上，则b 的值为 ． 11.如图，
()y f x =是可导函数，直线l 是曲线
()
y f x =在4x =处 的切线，令
()()
f x
g x x =
，则()4g '= .
12. ．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ．
13. 在四边形CD AB 中，()C 2,4A =，()D 2,1B =-，则该四边形的面积为_______ 14.如图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线
分别以为圆心，为半径画的弧，曲线
称为螺旋线旋转一圈．然
后又以
为圆心
为半径画弧…，这样画到第
圈，则所得整条螺旋线的长度
______．(用表示即可)
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15.（本小题满分13分）
在ABC ∆中， 223=4cos A cosA +． (1)求角A 的大小；
(2)若2a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围．
16 (本小题满分13分)
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．
（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；
（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1
222212x x x x x x n
s n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．
17. （本小题共13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，S n =n 2
+n ．
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设{}的前n 项和为T n ，求证T n ＜1．
18.（本小题共13分）
已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD ，
,E F 分别是线段,AB BC 的中点.
（1）证明： PF FD ⊥；
（2）若1PA =，求点E 到平面PFD 的距离.
19.（本小题满分共14分）
已知函数
()()2ln .f x x ax a x a R =--∈
（1）若函数
()
f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，求证：()32211
4;
326x x f x x ≥+-+ （3）当
[)
,x e ∈+∞时，
()0
f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
20.（本小题共14分）
已知椭圆C )0(122
22>>=+b a b
y a x 上点到两焦点的距离和为32，短轴长为21，直线l 与椭
圆C 交于M 、 N 两点.
（Ⅰ）求椭圆C 方程；
（Ⅱ）若直线MN 与圆O 25
1
22=
+y x 相切，证明：MON ∠为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求OM ON 的取值范围．
试卷答案
1B
【解答】解：集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，且A ⊆B ， 可得a+2=1，解得a=﹣1． 故选：B ． 2B
【分析】根据函数y=f （x+2）是偶函数，知x=2是其对称轴，又函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，可知其在（2，4）上为减函数，
而2.5，3.5∈（2，4），1∉（2，4），而f （1）=f （3），根据函数的单调性可得结果． 【解答】解：因为函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f （x+2）是偶函数， 所以x=2是对称轴，在（2，4）上为减函数， f （2.5）＞f （1）=f （3）＞f （3.5）． 故选B ． 3B
【分析】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数y=sin（x+）的增区间，判断②的正误；
直线x=代入函数y=sin（2x+）是否取得最值，判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的正误即可．
解：①函数y=sin （﹣2x）=sin2x，它是奇函数，不正确；
②函数y=sin（x+）的单调增区间是，k∈Z，在闭区间上是增函数，正确；
③直线x=代入函数y=sin（2x+）=﹣1，所以x=图象的一条对称轴，正确；
④将函数y=cos（2x ﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos（2x+）的图象，所以④不正确．
故选：B．
4.C
5. B
【分析】A：漏掉了m⊂β．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C：漏掉了m与n相交、异面的情况．D：可以举出墙角的例子．
解：A：直线m也可以在平面β内．
B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．
C：m与n可能平行也可能相交也可能异面．
D：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．
故选B．
6A
【解析】由题意可得3
1
b a
-
=，计算2
e=，∴选A.
7C
【试题解析】由题知：
所以m可以取：0，1，2．故答案为：C
8
9.
【解析】
解：由已知是（-∞，+∞）上的减函数，
可得，求得≤a＜，
故答案为：．
10.0
【解析】解：复数+b=+b=+b=b+i所对应的点（b，1）在直线x+y=1上，
∴b+1=1，
解得b=0．
故答案为：0．
11. 【答案】
12. 【答案】2
【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；
∴该几何体的表面积为 S 表面积=S △PAC +2S △PAB +S △ABC =×2×1+2××2+×2×1
=2+
．
故答案为：2+
．
13. 【答案】5
【解析】根据题意，440AC BD ⋅=-+=，所以AC BD ⊥，且25,5AC BD ==，从而有该四边形的面积为1
25552
S =
⋅⋅=
14. 14.(31)n n π+
【解析】设第n 段弧的弧长为
，由弧长公式，可得
…
数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n 圈，有3n 段弧，
故所得整条螺旋线的长度
15. 【答案】
(1)因为2234cos A cosA +=，所以21
22cos 2
cos A A +=， 所以24410cos A cosA -+=， 所以1cos 2
A =
. 又因为0A π<<，所以3
A π
=.
(2)因为sin sin sin a b c A B C ==
， 3
A π
=， 2a =， 所以44sin ,sinC 33
b B
c =
=， 所以()4
22sin sinC 3
l b c B =++=++. 因为23
B C π+=， 所以422sin sin 2sin 363l B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+
+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦. 又因为203B π<<
，所以1sin 126B π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，所以(]4,6l ∈
【解析】（1）根据倍角公式可将已知等式转化为关于cos A 的二次方程，解方程求得cos A 的
值，进而得到角A 的大小；
（2）根据正弦定理可将三角形的边长用对应角的正弦值表示，列出周长l 的表达式并利用两角和与差公式化为关于角B 的三角函数，进而根据三角函数的值域求得周长l 的取值范围.
16．解：（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，
令事件A=“第一大块地都种品种甲”.
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.
而事件A 包含1个基本事件：（1，2）. 所以1().6P A = （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8
x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8
x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差
差异不大，故应该选择种植品种乙.
17. 【分析】（1）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），得当n ≥2时a n =2n ，再验证n=1时，a 1=2×1=2也适合，即可得到数列{a n }的通项公式．
（2）裂项得=﹣，由此可得前n 项和为T n =1﹣＜1，再结合∈（0，1），不难得到T n ＜1对于一切正整数n 均成立．
解：（1）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣[（n ﹣1）2+（n ﹣1）]=2n ．
∵n=1时，a 1=2×1=2，也适合
∴数列{a n }的通项公式是a n =2n ．
（2）==﹣
∴{
}的前n 项和为T n =（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=
∵0＜
＜1 ∴1﹣
∈（0，1），即T n ＜1对于一切正整数n 均成立． 18. 【答案】
(1)证明：连接AF ，则2,2AF DF ==，又2222,,AD DF AF AD DF AF =∴+=∴⊥，又PA ⊥平面,ABCD DF PA ∴⊥，又,PA AF A DF ⋂=∴⊥平面PAF ，又PF ⊂平面,PAF DF PF ∴⊥.
(2) 53244EFD ADE BEF CDF ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---=-=平面，
1131·13344
P EFD EFD V S PA -∆∴==⨯⨯=， 1161,?··3324E PFD P EFD E PFD PFD V V V S h h ---∆=∴===，解得64
h =，即点E 到平面PFD 的距离为
64
.
19.
20.解：（Ⅰ）由椭圆C 22221(0)x y a b a b +=>> 上点到两焦点的距离和为23
， 得2a=23，即13 ；由短轴长为12，得2b=12，即1b 4
= 所以椭圆C 方程：229161x y += （Ⅱ）当直线MN x ⊥轴时，因为直线MN 与圆O 22125x y +=
相切，所以直线MN 方程：x=51或x=-1
5，当直线方程为x=15，得两点分别为（15，15）和（15，-15），故OM ON •=0，可证MON ∠=2π；同理可证当x=-1
5，MON ∠=2
π； 当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN ：y=kx+b ，直线MN 与圆O 25122=+y x 的交点M ),11y x （，N
),22y x （ 由直线MN 与圆O 相切得：215
k 1b
=+，即25221b k =+ ①; 联立y=kx+b ，229161x y +=，得222916)321610k x kbx b +++-=（， 因此0δ>，12x x +=-232916kb k +，12x x =2
2169116k b +-； 由OM ON •=12x x +12y y =12x x +12k )()x b kx b ++（
=（1+k 2）12x x +kb （12x x +）+b 2=222251916b k k --+ ②；
由①②得OM ON •=0，即MON ∠=2π； 综上MON ∠=2
π（定值）. （Ⅲ）不妨设XOM θ∠=，则N 2XO π
θ∠=±，
由三角函数定义可知M （OM cos θ，OM sin θ），N （±ON sin θ，±ON cos θ） 因为点M 、N 都在229161x y +=上，
所以21
OM =229cos 16sin θθ+， 21ON =229sin 16cos θθ+
211()OM ON =21OM 21ON =（229cos 16sin θθ+）（229sin 16cos θθ+）
=9⨯16+（9-16）222sin cos θθ
=9⨯16+（9-16）221sin 24
θ， 又2sin 2θ∈[0，1]，故（1OM 1ON ）2∈[9⨯16，（9162
+）2] 因此OM ON ∈ [
21,2512
].。