现代通信技术总复习

现代信号与通信技术总复习主讲人：熊桂林（中南大学信息科学与工程学院）Part I：数字信号处理教材：数字信号处理教程（第三版）程佩青清华大学出版社一、离散时间信号与系统•理解序列的概念及几种典型序列，掌握序列的运算，掌握线性卷积过程，会判断序列的周期性•什么样的系统是线性/时不变/因果/稳定系统？什么样的LTI系统是因果/稳定系统？理解概念且会判断•理解常系数线性差分方程•理解对连续时间信号抽样后引起的频谱变化，掌握奈奎斯特抽样定理解：()()()()34x n R n h n R n ==1），()()()()()34y n x n h n R n R n =*=*1-1 已知线性移不变系统的输入为，系统的单位抽样响应为，试求系统的输出，并画图。

()x n ()h n ()y n ()()()()412n n n R n δδδ=+-+-*⎡⎤⎣⎦()()()44412R n R n R n =+-+-解：()()()()320.5nx n n h n R n δ=-=2），()()()()()()32320.50.52nn y n x n h n n R n R n δ-=*=-*=-解：()()()m y n x m h n m ∞=-∞=-∑()()()()3210.5nnx n u n h n u n =--=），1n ≤-当时()20.5nmn mm y n -=-∞=⋅∑24nnmm -=-∞=∑24nmm n ∞--=-=∑14422143nnn--==⋅-0n ≥当时()120.5mn mm y n --=-∞=⋅∑()()()4121233n ny n u n u n -∴=⋅--+⋅124nmm --=-∞=∑124nmm ∞--==∑114122143nn----==⋅-1-2 判断下列序列是否是周期性的，若是周期性的，试确定其周期()3cos 78x n A n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭037πω=其中02143πω=是有理数()x n 解：为正弦序列()14x n ∴为周期序列，周期为14()()N x n N x n =+=是满足的最小正整数1-3 试判断是否是线性系统？并判断是否是时不变系统？()()2y n x n ⎡⎤=⎣⎦()()()()21212T x n x n x n x n +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦不满足可加性或()()2T ax n ax n =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦不满足比例性∴不是线性系统()()2T x n m x n m -=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴是时不变系统()()()()2212122x n x n x n x n =++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()12T x n T x n ≠+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦解：设[][]211()()T x n x n =[][]222()()T x n x n =()()22a x n aT x n =≠⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()[]2()y n m x n m -=-=1-4 判断以下每一系统是否是（1）线性（2）移不变（3）因果（4）稳定的？()()()1T x n g n x n ⎡⎤=⎣⎦（）()()()()()1212T ax n bx n g n ax n bx n +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦解：满足叠加原理是线性系统∴()()()T x n m g n x n m -=-⎡⎤⎣⎦ 不是时不变系统∴()()()()12ag n x n bg n x n =+()()12aT x n bT x n =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()y n m g n m x n m -=--()T x n m ≠-⎡⎤⎣⎦因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。

所以是因果系统若有界()x n 当时，输出有界，系统为稳定系统()g n <∞当时，输出无界，系统为不稳定系统()g n =∞()x n M ≤<∞()()T x n g n M ≤⎡⎤⎣⎦则()()()T x n g n x n =⎡⎤⎣⎦()()()()1212ax n bx n T ax n bx n e+⎡⎤⎣⎦+=⎡⎤⎣⎦ 不满足叠加原理∴是非线性系统()()()x n m T x n m ey n m --==-⎡⎤⎣⎦ 是时不变系统∴输出只取决于当前输入，与未来输入无关∴是因果系统()x n M ≤<∞若()()x n x n Meee ≤≤<∞则是稳定系统∴()()x n T x n e⎡⎤=⎣⎦（2）()()()()1212x n x n aT x n bT x n ae be≠+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()12ax n bx n ee=⋅1-5 以下序列是系统的单位抽样响应，试说明系统是否是（1）因果的（2）稳定的()h n ()3nu n （1） 解：0n < 当时()0h n =∴是因果的()03nn n h n ∞∞=-∞===∞∑∑ 是不稳定的∴()3nu n -（2） 解：0n < 当时()0h n ≠∴是非因果的()03nn n h n ∞=-∞=-∞=∑∑ 是稳定的∴03nn ∞-==∑131213==-<∞()31nu n --（3） 0.解：∴是非因果的()10.3nn n h n ∞-=-∞=-∞=∑∑ 是不稳定的∴0n < 当时()0h n ≠10.3nn ∞-===∞∑()4n δ+（4）解：4n =- 当时()()410h n n δ=+=≠∴是非因果的()()41n n h n n δ∞∞=-∞=-∞=+=∑∑ 是稳定的∴二、z变换•会求z变换及其收敛域，因果序列的概念及判断•会求z反变换（任意方法）•理解z变换的主要性质•理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系•理解序列的Fourier变换及对称性质•何为系统函数、频率响应？系统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域2-1求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域：解：[]()()n n ZT x n x n z ∞-=-∞=∑1112z -<零点：0z =极点：12z =1()()2nx n u n ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)012n n n z ∞-=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑12z z =-11112z -=-收敛域：12z >Re[]z Im[]j z 01/2解：[]11()()2n n n n n ZT x n x n z z ∞---=-∞=-∞⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑∑1()(1)2nx n u n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）零点：0z =极点：12z =收敛域：12z <12n nn z∞==-∑21122z z z z =-=--21z <Re[]z Im[]j z 01/2()221211415311448z X z z z z -----=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()x n ()X z 2-2 假如的z 变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？解：对的分子和分母进行因式分解，得()X z ()221211415311448z X z z z z -----=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11211111122113111424z z z z z -----⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112113111224z jz jz z -----=⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112()113111224z X z jz jz z -----=⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1, 02z =零点：3224j j z =极点：，-，-112z <） ，为左边序列()X z 所以的收敛域为：Re[]z Im[]j z 03/4-/2j /2j -0.513224z <<） ，为双边序列334z >） ，为右边序列Re[]z Im[]j z 03/4-/2j /2j -0.5Re[]z Im[]j z 03/4-/2j /2j -0.512112()114zX z z ---=-（1）12z >解：①长除法11111112111111222zz z z -----==⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2-3 用长除法，留数定理，部分分式法求以下的z 反变换()X z 12112()114z X z z ---=-1121211112111241 12 41 2z z z z zz ------++---1211124z z ---++ 由Roc 判定x (n )是右边序列，用长除法展成z 的负幂级数，分子分母按z 的降幂排列1211()124X z z z --=-++012n nn z∞-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑1()()2nx n u n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭1:lim ()1()2z ROC z X z X z →∞>=∞ 又 即处收敛②留数法()()0 0x n x n n ∴=<为因果序列 即，当时，0n ≥111()()11122n nn zzF z X z zz z ---===++在围线c 内只有一个单阶极点12z =-()F z Re[]z Im[]j z 0C0.5-[]12()Res ()z x n F z =-=1()()2nx n u n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭12n⎛⎫=- ⎪⎝⎭121122nz z z z =-⎡⎤⎢⎥⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭+⎢⎥⎣⎦11()112X z z -=+ ③部分分式法1122z >=-1 ()()2nx n u n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得查表由11[()]1nZT a u n z aaz-=>-（2）14z <1112()114zX z z ---=-解：①长除法22()1144z zX z z z --==--由Roc 判定x (n )是左边序列，用长除法展成z 的正幂级数，分子分母按z 的升幂排列22()87474X z z z =+⨯+⨯+()8()74(1)nx n n u n δ-∴=+⨯--1874nnn z ∞==+∑1874nnn z---=-∞=+∑222232312428 7774 747474 74z z z zz z zz z z----⨯⨯⨯-⨯⨯ 2287474z z +⨯+⨯+②留数法11(2)()()1/4n n z z F z X z zz ---==-当时，只有极点，围线c 内无极点。

故1n ≥()F z 14z =()0x n =[]0()Re ()z x n s F z =∴=当时，在围线c 内有一单阶极点0n =0z =()F z Re[]z Im[]j z 0C1/4Re[]z Im[]j z 0C1/48=1(2)1/4n z z z z z -=⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦[]1/4()Re ()z x n s F z ==-()8()74(1)nx n n u n δ-∴=+⨯--Re[]z Im[]j z 0C1/4当时，在围线c 内有一阶极点在围线c 外有单阶极点，且分母阶次高于分子阶次二阶以上1n ≤-()F z 0z =1/4z =(1)n --()11/4(2)1/41/4n z z z z z -=⎡⎤-=--⎢⎥-⎣⎦1717444n n--⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭③部分分式法()21144X z z A Bz z z z z -==+⎛⎫-- ⎪⎝⎭0()Res 8z X z A z =⎡⎤==⎢⎥⎣⎦14()Res 7z X z B z =⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦7()814zX z z -∴=+- ()8()74(1)nx n n u n δ-=+⨯--得查表由11[(1)]1nZT a u n z aaz----=<-4()()j j nj nn n X e x n eeωωω∞--=-∞===∑∑2-4 求的傅里叶变换5()()x n R n =解：511j j e eωω---=-555222222()()j j jjjje e e eeeωωωωωω-----=-25sin 2sin 25j e ωωω-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩2kωπ=2kωπ≠k 为整数2-5 设是如图所示的信号的傅里叶变换，不必求出，试完成下列计算：()j X e ω()x n ()j X e ω()1j X e（） ()()00j j nn X ex n e∞-⋅=-∞=∑得 ()n x n ∞=-∞=∑6=()[()]()j j nn X e DTFT x n x n eωω∞-=-∞==∑解：由序列的傅里叶变换公式()23 j X ed πωπω-⎰（）解：由Parseval 公式()()2212j n x n X ed πωπωπ∞-=-∞=∑⎰()()222j n X ed x n πωπωπ∞-=-∞=∑⎰得28π=()j X ed πωπω-⎰（2） ()()0j j j X ed X eed ππωωωππωω⋅--=⎰⎰得 ()20x π=4π=11()[()]()2j j j nx n DTFT X e X e e d πωωωπωπ--==⎰解：由序列的傅里叶反变换公式2-6 设是一离散时间信号，其z 变换为。