人教A高中数学选修22作业：第2章 推理与证明2章末跟踪测评2 含解析

第二章章末跟踪测评
(时间：120分钟满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是(B) A．完全归纳推理B．归纳推理
C．类比推理D．演绎推理
解析由特殊到一般的推理为归纳推理，故选B．
2．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(A) A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥BC
3．我们知道，若a，b，c是实数，则可得如下结论：①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③ab ＝0⇒a＝0或b＝0；④ab＝bc，b≠0⇒a＝c.类比此性质，在平面向量中，若a，b，c均是向量，则类似可得：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·b＝0⇒a＝0或b＝0；④a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c.这四个结论中正确的有(A)
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析由向量数量积的定义及性质知仅①正确．
4．已知结论：“在正△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC的重心，则AG
GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为
M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AO
OM＝(C) A．1 B．2 C．3 D．4
解析面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG
GD
＝2类比AO
OM
＝3，故选C．
5．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(A)
A．小前提不正确B．大前提不正确
C．结论不正确D．全不正确
解析 正弦函数是y ＝sin x (x ∈R )，所以f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提错误． 6．数列2,5,11,20，x,47，…中的x ＝( B ) A ．28
B ．32
C ．33
D ．27
解析 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，得x －20＝12，x ＝32.
7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( C )
A ．各正三角形内一点
B ．各正三角形的某高线上的点
C ．各正三角形的中心
D ．各正三角形外的某点
解析 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故选C ．
8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( C )
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．1∶8
D ．1∶16
解析 由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8，故选C ．
9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N *)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( B )
A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1)
C ．2k ＋1
k ＋1
D ．2k ＋3k ＋1
解析 n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·2k ， 当n ＝k ＋1时，
左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2)，
∴左端需增乘的代数式为(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1
＝2(2k ＋1)．
10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧
3
5，33⎩⎪
⎨⎪⎧
79
11
，
43
⎩⎪⎨⎪⎧
13
151719
，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为( A )
A ．8
B ．13
C ．14
D ．15
解析 归纳得出一般规律为m 3＝(m 2－m ＋1)＋…＋(m 2＋m －1)，所以m 2－m ＋1≤59≤m 2
＋m －1，m ＝8，故选A ．
11．已知a ，b ，c ∈(0,1)，设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于m ，则m 的最小值为( C )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16
解析 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于m ， 又1－a,1－b,1－c 都是属于(0,1)的正数，(1－a )＋b
2
≥
(1－a )b ＞m ，同理(1－b )＋c
2
＞
m ，(1－c )＋a 2＞m ，三式相加得32＞3m ，则m ＜14，矛盾，依选项知m 的最小值为14.
12．把数列{2n ＋1}按规律依次分为(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…，则第104个括号内的各数之和为( D )
A ．2 036
B ．2 048
C ．2 060
D ．2 072
解析 由题设知，第104个括号内的最后一个数是数列{2n ＋1}中的第260个数，所以这四个数分别是515,517,519和521，故它们的和为2 072，故选D ．
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．用反证法证明“形如4k ＋3(k ∈N *)的数不能化为两个整数的平方和”时，开始假设结论的反面成立应写成__假设4k ＋3＝m 2＋n 2(m ，n 是整数)__．
14．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出__1＋122
＋132＋142＋…＋1
(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1
(n ∈N *)__. 解析 根据三个式子的规律特点进行归纳可知， 1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1
(n ∈N
*)．
15．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n
＝
bn －am
n －m
；现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝__n －m b n
a m
__.
解析 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b n
a m ，等差数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －m
b n a m ，故b m ＋n ＝
n －m b n
a m
. 16．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC
BC ，把这个
结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是__AE EB ＝S △ACD
S △BCD
__.
解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A －CD －B ， 所以AC
BC 可类比成S △ACD S △BCD ，
故结论为AE EB ＝S △ACD
S △BCD
.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)若x ，y >0且x ＋y >2，求证：1＋x y <2和1＋y
x <2中至少有一个成立．
证明 假设1＋x y ≥2且1＋y
x ≥2，则1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，所以(1＋x )＋(1＋y )≥2y ＋2x ，
即x ＋y ≤2，与题设矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
18．(12分)用演绎法证明：在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，AD ，CD ，BC 的中点，则EF ∥GH .
证明 如图，在三角形中，中位线平行于底边．(大前提) ∵E ，F 为AB ，AD 中点， ∴EF 为中位线．(小前提) ∴EF ∥BD .(结论)
同理，在△CBD 中，HG ∥BD .
∵平行于同一直线的两直线互相平行，(大前提) 又EF ∥BD ，HG ∥BD ，(小前提) ∴EF ∥HG .
19．(12分)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是否为等差数列？并说明理由．
解析 (1)证明：若数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·
S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·
a 1(1＋q ＋q 2)．∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾，故数列{S n }不是等比数列．
(2)当q ＝1时，数列{S n }是等差数列，当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列，则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，所以2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2.又∵q ≠1，
∴q ＝0，这与q ≠0相矛盾．
综上可知，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；q ≠1时，数列{S n }不是等差数列． 20．(12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三条边，s ＝1
2(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s ＜
2a .
证明 要证s ＜2a ，由于
s 2＝2ab ，所以只需证
s ＜s 2
b
，即证b ＜s .
因为s ＝1
2
(a ＋b ＋c )，所以只需证2b ＜a ＋b ＋c ，即证b ＜a ＋c .
由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．
21．(12分)已知平面向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(cos x ＋23，sin x )，c ＝(sin α，cos α)，x ∈R .
(1)若a ⊥c ，求cos(2x ＋2α)的值；
(2)若x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，证明a 和b 不可能平行； (3)若α＝0，求函数f (x )＝a ·(b －2c )的最大值，并求出相应的x 值． 解析 (1)因为a ⊥c ，则a ·c ＝0，
所以cos x sin α＋sin x cos α＝0，即sin(x ＋α)＝0， 所以cos(2x ＋2α)＝1－2sin 2(x ＋α)＝1. (2)证明：假设a 与b 平行， 则cos x sin x －sin x (cos x ＋23)＝0，
即sin x ＝0，而x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2时，sin x >0，矛盾． 故假设不成立，即a 和b 不可能平行． (3)若α＝0，c ＝(0,1)， 则f (x )＝a ·(b －2c )
＝(cos x ，sin x )·(cos x ＋23，sin x －2) ＝cos x (cos x ＋23)＋sin x (sin x －2) ＝1－2sin x ＋23cos x ＝1＋4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π
3， 所以当x ＝2k π－π
6
，k ∈Z 时，f (x )max ＝5.
22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式． 解析 (1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ∴S n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝
n 2
n 2－1
S n －1(n ≥2)．
∵a 1＝1，∴S 1＝a 1＝1. ∴S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，
猜想S n ＝2n n ＋1
(n ∈N *)．
(2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即S k ＝2k
k ＋1，
∵当n ＝k ＋1时，
S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k
k ＋1，
∴a k ＋1＝2k (k ＋1)[(k ＋1)2－1]＝2
(k ＋2)(k ＋1)，
∴S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)
(k ＋1)＋1，
即n ＝k ＋1时猜想也成立．
根据①②可知，对于任意n ∈N *，猜想均成立． ∴a n ＝S n －S n －1＝2n n ＋1－2(n －1)n ＝2
n (n ＋1)(n ≥2)，
当n ＝1时，a 1＝1符合上式，故a n ＝2
n (n ＋1)
(n ∈N *)．。