高级微观经济学：风险厌恶度量

(一) Allais Paradox
这是一个关于预期效用的悖论。现有四种彩票A、B、C、D，其 奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示。
彩票 奖金(万元) 获奖概率 预期收入(万元)
A
100 100% 100 110 10%
B
100 89% 100 0 1% 100 11%
C
0 89% 11 110 10%
计算预期效用
设消费者的预期效用函数为 u。计算一下预期效用，则有： u(A) = u(100) u(B) = u(110)10% + u(100)89% + u(0)1% u(C) = u(100)11% + u(0)89% u(D) = u(110)10% + u(0)90% 根据调查结果 A B，应有 u(A) > u(B)。由此可知： u(100)11% > u(110)10% + u(0)1% 在此式两边加上 u(0)89% 可得： u(100)11% + u(0)89% > u(110)10% + u(0)90% 即 u(C ) > u(D)，这与实际调查结果 D C 相矛盾：通过预期效用函数 得到的评价与消费者的实际评价相悖。 那么这个悖论是否说明预期效用理论有着不切实际的地方？其 实，这个悖论中消费者 对待风险的冷淡态度
在风险行动X与确定性行动 xX 的预期收益相同(E = x)的情 况下，如果消费者认为 不比 x 好( x)，则说明消费者不热衷于冒 险，对风险持冷淡态度：不愿意冒险追求高收益。这种对冒险不热 衷的消费者，叫做风险冷淡者。
风险冷淡者 对任何 X，都有 E。 风险冷淡者的结果效用函数是凹函数，从而结果偏好是凸偏好。 事实上，对任何x, yX及 p[0,1], 有 U ( px (1 p ) y ) u ( px (1 p ) y ) u ( E[ px (1 p ) y ]) u ( px (1 p) y ) pu(x) (1 p )u ( y) pU( x) (1 p )U ( y ) 这就说明，U(x)是凹函数，从而是拟 凹的，即结果偏好是凸偏好。 xy = px(1 p)y y x E y E = px+(1 p)y X
一、关于预期效用的悖论与争议
关于不确定条件下的选择问题，上一讲建立的预期效用和主观 概率理论似乎是完美的和合乎实际的，让我们完全有理由相信人们 在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据不确定性行动的预 期效用大小来进行评判和选择的。 然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考 察，发现了理论与实际不符的两个现象：Allais Paradox 和 Ellsberg Paradox，引起了人们对预期效用和主观概率理论的质疑和争议。 有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的 理论来解释不确定条件下的选择行为。另一些人则认为，出现这两 个悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉 错误”。比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新 发明一种距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。 下面，我们介绍这两个悖论。
计算预期效用
令 p = P(F )，q = P(G )。则 P( F c ) 1 p, P(Gc ) 1 q 。计算这 四种赌博的效用，可得到：
u ( A) P( F )u (1000 ) (1 P( F ))u (0) pu(1000 ) (1 p)u (0) u ( B) P(G ) u (1000 ) (1 P(G ))u (0) q u (1000 ) (1 q) u (0) u (C ) P( F c )u (1000 ) (1 P( F c ))u (0) (1 p)u(1000 ) pu(0) u ( D) P(G c )u (1000 ) (1 P(G c ))u (0) (1 q) u (1000 ) qu (0) 从 A B 知：( p- q) u(1000) > ( p- q) u(0)。 从 C D 知：( p- q) u(1000) < ( p- q) u(0)。 这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可 能让 A B 和 C D 同时成立。然而，调查得到的事实却是如此。因 此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。 其实，出现这个悖论，很大的原因还在于评价判断上出现的错 觉。是调查中消费者评价错了，而不是理论错了。
风险中立者 对任何X，都有 ~ E。 风险中立者的结果效用函数是线性的，结果无差异曲线为直线。 U u( y )
= px(1 p)y E = px+(1 p)y
结
u() u(E) u( x ) x E y X
x~y = px(1 p)y ~ y x E ~ ~ y
结果偏好是凸偏好
y
1. 风险厌恶者
在风险行动X与确定性行动 xX 的预期收益相同(E = x)的情 况下，如果消费者认为 比 x 差( x)，则说明消费者讨厌冒险，根 本不会冒险追求高收益。这种对冒险行动持讨厌态度的消费者，叫 做风险厌恶者，也叫做风险规避者。
风险厌恶者 对任何非退化风险行为 X，都有 E。 风险厌恶者的结果效用函数严格凹，从而结果偏好严格凸。 事实上，对任何x, yX及 p[0,1], 有 U u( y) U ( px (1 p) y ) u ( px (1 p) y ) u(E) u ( E[ px (1 p) y ]) u ( px (1 p) y ) pu(x) (1 p)u ( y) u() pU( x) (1 p )U ( y ) u( x) x
D
0 90% 11
调查发现，很多人都认为 A B且 D C。 A与B相比，虽然预期收入都为100万元，但 A是稳当地得到100 万元，B则有1%的可能一无所获，而多得10万元的概率才仅仅不过 10%：概率小，多得的数额也相对较小。这样，A明显比B好。 C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但购买 D 仅以少1%的 可能性就要比购买 C 多得10万元，因而D比C好。
u ( p (1 p ) ) pu( ) (1 p )u ( ) u ( p f (1 p ) g ) pu( f ) (1 p )u ( g ) ( ) (u ( ) u ( )) ( f g ) (u ( f ) u ( g ))
我们把和u在确定性选择集合 X 上的限制 分别叫做结果偏好和 结果效用函数。当 f 是X的分布函数时，E=Ef = X x d f (x)X 叫做 的预期收益。通过比较与E，方可判断消费者对待风险的态度。
(一) 对待风险的热衷态度
当一种风险行动X与一种确定性行动 xX 具有相同的预期收 益(E = x)时，如果消费者认为 比 x 好( x)，那么这足以说明消费 者是热衷于冒险的：不冒险，就没有取得高收益的可能；为了高收 益，值得去冒险。这种热衷于冒险的消费者，叫做风险爱好者。
= px(1 p)y E = px+(1 p)y
这就说明，U(x)是严格凹函数，从而 严格拟凹，即结果偏好是严格凸。
E
y
X
2. 风险中立者
在与确定性行动 xX的预期收益相同的风险行动X (E = x)面 前，如果消费者既不更倾向于选择，又不更倾向于选择x ，即认为 ~ x，则说明消费者对风险持中立态度，既不热衷，也不讨厌。这 种对风险持中立态度的消费者，叫做风险中立者。
果 无
E = px+(1 p)y
差 异 曲
y
线
X
(三) 结果效用函数的基数意义
一般情况下，经济活动者要么是一个风险爱好者，要么是一个 风险冷淡者。应该说，绝大多部分人都是风险冷淡者，具有风险规 避倾向。这样一来，在预期效用函数下，绝大多数人的结果效用函 数都是凹函数，结果偏好是凸偏好，而只有少数人的结果效用函数 是凸函数。无论如何，风险选择理论让我们进一步看到了确定性条 件下对消费者偏好作出凸性假设的合理性，也看到了确定性偏好的 必然凸性。更重要的是，我们看到了每个人在确定性选择集合上都 存在着凹或凸的效用函数。 效用函数的凹性是说消费者的边际效用递减，凸性是说边际效 用递增。而边际效用是基数意义下的效用，也就是说，只有在基数 效用意义下，才能谈论效用增加多少。因此，凹或凸的结果效用函 数的存在，意味着基数效用函数存在。因此，预期效用函数存在定 理顺便回答了基数效用函数的存在性问题，而且是肯定的回答。
(二) Ellsberg Paradox
这是一个关于主观概率的悖论。情景：袋中有红球、蓝球和绿 球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博 A、B、C、D： A ：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。 B ：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元。 C ：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。 D ：从袋中摸出一球，若不是篮球，可得1000元。 面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿 球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。 通过调查发现，大多数人基本上都认为 A B 且 C D 。作出这 种评价的原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高。 用 P 表示赌博者的主观概率测度， u 表示在这个概率测度下的 预期效用函数。用 F 表示摸出红球这一事件，G 表示摸出蓝球这一 事件。则 F c 表示摸出的球不是红球， G c 表示摸出的球不是蓝球。
二、对待风险的态度
从赌博事例可得到这样的启示：一个人对待风险的态度完全反 映在他的偏好关系上。对此，可用预期效用理论加以严格表述。 设消费者的确定性选择集合 X 是商品空间 R 的凸闭子集，消费 者所处的风险环境为(, F)，风险选择集合为 X(或用D)，风险偏好 为 。假定风险偏好 满足阿基米德公理和独立性公理。于是，存 在 的预期效用函数 u: XR。对任何,X，f, gD及 p[0, 1]，有
接受集的凸性11111111111111wugyxyxwutwutywupxwuptywupxwuptuywutywutpxwutxwutpywtywtupxwtxwtupytytwupxtxtwupywupxwpua???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????是凹函数故xytx?y?1?tx?y??ga
高级微观经济学：风险厌恶度量
预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行 了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准 则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础。本讲 在此基础上展开进一步的讨论，主要议题有三个： 预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象？ 在风险活动面前，人们的态度如何？ 如何测定人们规避风险的倾向强弱？ 回答第三个问题是本讲的重点。事实上，从上一讲的赌博事例 已经看到，当效用函数的性能发生了“凸性线性凹性”的变化 时，消费者对待风险的态度相应地发生了“爱好中性厌恶”的 变化。由此得到一个猜想：效用函数越凹，人们越厌恶风险，风险 规避倾向越强。我们将证明这一猜想是正确的，由此便可引出一种 对人们规避风险的倾向强弱进行测定的办法——风险厌恶度量。
风险爱好者 对任何非退化风险行为 X，都有 E。 风险爱好者的结果效用函数U : XR (U(x) = u(x))是严格凸函数。 事实上，对任何 x, yX 及 p[0,1]，有 U = px(1 p)y E = px+(1 p)y U ( px (1 p ) y ) u ( px (1 p ) y ) u( y) u ( E[ px (1 p ) y ]) u() u ( px (1 p) y ) pu(x) (1 p )u ( y) u(E) pU( x) (1 p )U ( y ) u( x) X 这就说明，U(x)是严格凸函数。 x E y