高中数学 教学设计 平面直角坐标系中的伸缩变换

平面直角坐标系中的伸缩变换

【三维目标】

知识与技能目标：引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换，进一步理解坐标法； 过程与方法目标：让学生经历从具体到一般，从直观到抽象的思维过程, 培养学生严谨的

思维品质；

情感、态度与价值观目标：在合作交流中学习，培养学生的交流能力及自主探究的意识.

【教学重点】 通过实例探究得出并运用平面直角坐标系中的伸缩变换

【教学难点】 求伸缩变换时，系数对应成比例

【教学方法】 探究式教学

【教学手段】 多媒体教学

【教学过程】

一、复习回顾 （3分钟）

前面一节课我们学习了平面直角坐标系，通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合；在必修4模块中，我们学习了三角函数图象的平移伸缩变换，你能说出怎样由正弦曲线y ＝sinx 得到曲线y=Asinwx (w>0)吗？ （活动：请学生回答） 提示：

1、 y=sinx

y=sinwx y=Asinwx

2、y=sinx y=Asinwx y=Asinwx 今天，我们学习平面角坐标系中的伸缩变换．

二、新知探究

1、 问题情境： （4分钟）

（1）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x ？

（2y ＝3sinx ？ （活动：学生一起回答） 提示：（1）y=sinx y ＝sin2x ，如图： （多媒体展示）

（2）y ＝sinx y=3sinx ，如图：

（多媒体展示）

2、思考： （6分钟）

从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，横坐标x 变

为原来的 ” “横坐标不变，纵坐标y 变为原来的3倍”的实质是什么？(活动：让学生分组讨论探究，分组回答)

提示：y=sinx y=sin2x

点p(x,y) 点p ′(x ′,y ′)

“保持纵坐标y 不变，横坐标x 变为原来的 ”,将其变成符号语言得：

———— ① 我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.

类比前面过程，你能写出问题②所对应的坐标变换公式吗？

提示： y=sinx y=3sinx

点p(x ,y) 点p ′(x ′,y ′)

“横坐标不变，纵坐标y 变为原来的3倍”，将其变成符号语言得：

———— ②

我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.

3、提出问题: （3分钟）

怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x ？ （活动：请学生回答） 实际上，这是上述问题（1）（2）的“合成”，如图： （多媒体展示） y=sinx y=sin2x y=3sin2x

点p(x,y) 点p ′(x ′，y ′)

横坐标不变 纵坐标变为3倍 纵坐标不变 横坐标变为1/2 横坐标不变 纵坐标变为3倍

⎪⎩

⎪⎨⎧='='y y x x 21⎩⎨⎧='='y y x x 32121

它的坐标对应关系式为： ———— ③ 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

4、探究：结合前面研究过的问题，由具体到一般，你能得出些什么？ （4分钟） （提示：y=sinx y=Asinwx ） （活动：请多名同学答） 把大家所说的概括起来，就得到平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：

定义：

设点p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

注意：1、

λ>0,μ>0；

的作用下，点p(x,y)对应到点p ′(x ′,y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. （黑板板书且多媒体展示）

上述①②③式都是坐标伸缩变换，在它们的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.（注意坐标法思想的渗透）.

三、应用示例 （7分钟） 例1：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形

（1）2x +3y =0 （2）x 2+y 2

=1

分析：方程2x +3y =0是一条直线，x 2+y 2=1是一个圆，它经过伸缩变换后图形怎样？直线？

首先，我们不妨求它们的方程. （解答如下，多媒体逐步展示） 解：

⎪⎩⎪⎨⎧='='y

y x x 321⎩⎨⎧>⋅='>⋅

=')0(,)0(,:μμλλϕy y x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=⎩⎨⎧='='.31.2132)1(y y x x y y x x 得由伸缩变换.0032='+'=+y x y x 变换后的图形方程是，得到经过伸缩将其代入（如右图）变成直线后，直线因此，经过伸缩变换.

003232='+'=+⎩⎨⎧='='y x y x y

y x x

方法归纳：代入法 （多媒体标注） 注：教学时，要让学生注意“数”与“形”的对应关系，初步体会利用代数运算研究几何图形变换和性质的方法；与用方程表示图形一样，用坐标伸缩变换可以表示图形的伸缩变换，展现了坐标法思想。

四、拓展提升 （6分钟）

1、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 ,曲线C 变为曲线x ′²+9y ′²=9，求曲线C 的方程；

2、在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：直线x -2y =2变成2x′-y′=4. （活动：请两名学生上黑板做，然后对其进行评析，再用多媒体展示参考答案）

点评：第一小题同样是用代入法，将伸缩变换代入变换后的方程，可得原方程；第二小题已知了变换前后的方程，要求伸缩变换，应该先设伸缩变换;让学生进一步尝试与体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法.

五、随堂练习 （4分钟）

1、在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：

曲线x²-y ²-2x = 0变成曲线x ′² -16y ′² -4x ′= 0. （用多媒体展示参考答案）

，代入）将（1.31.21222=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y x y y x x .1942

2='+'y x 方程是图形的得到经过伸缩变换后的（如右图）变成椭圆圆后，因此，经过伸缩变换.1941322

222='+'=+⎩⎨⎧='='y x y x y y x x ⎩⎨⎧='='y y x x 3993)1(22='+'⎩⎨⎧='='y x y y x x ，代入以解：19

9)3(2222=+=+y x y x 化简得到得到.的方程这就是曲线C ，

得到，代入设伸缩变换为4242)0()0()2(=-='-'⎩⎨⎧>='>='y x y x y y x x μλμμλλ;4144222===-=-μλ，得到比较，

即将其与y x y x .4⎩

⎨⎧='='y y x x 故所求伸缩变换为注意：系数对应成比例