列主元三角分解法例题解析

列主元三角分解法例题解析
列主元三角分解法是一种用于求解线性方程组的方法。

它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得A=LU。

在该分解过程中，每一步选取一个列主元，确保主元所在的列进行了交换，以避免出现除以零的情况。

接下来，我将通过一个例题来详细解析列主元三角分解法的具体步骤和计算过程。

假设有如下线性方程组：
2x1+3x2-x3=9
4x1+4x2-3x3=1
2x1-x2+6x3=12
首先，将方程组转化为矩阵形式：Ax=b。

A=[[2,3,-1],
[4,4,-3],
[2,-1,6]]
b=[9,1,12]
接下来，我们开始进行列主元三角分解的计算过程。

第一步：选取第一列的主元，并确保主元所在的行是当前列中绝对值最大的。

在第一列中，主元为4。

由于4所在的行已经是绝对值最大的行，因此不需要进行行交换。

第二步：通过高斯消元法，将主元所在列下方的元素消为零。

将第二行乘以2并减去第一行的两倍，得到新的第二行：
[0,-2,1]
将第三行乘以1并减去第一行的一倍，得到新的第三行：
[0,-4,7]
更新后的矩阵A为：
[[2,3,-1],
[0,-2,1],
[0,-4,7]]
第三步：重复上述过程，选取第二列的主元，并确保主元所在的行是当前列中绝对值最大的。

在第二列中，主元为-4。

由于-4所在的行已经是绝对值最大的行，因此不需要进行行交换。

第四步：通过高斯消元法，将主元所在列下方的元素消为零。

将第三行乘以2并加上第二行的两倍，得到新的第三行：
[0,0,15]
更新后的矩阵A为：
[[2,3,-1],
[0,-2,1],
[0,0,15]]
现在，我们已经得到了分解后的矩阵U：
U=[[2,3,-1],
[0,-2,1],
[0,0,15]]
接下来，我们需要求解下三角矩阵L。

L的主对角线元素都为1，而且L的非零元素是通过进行消元操作得到的。

根据之前的计算过程，可以得到L的非零元素：
l21=2/4=0.5
l31=2/2=1
l32=4/2=2
因此，L的形式为：
L=[[1,0,0],
[0.5,1,0],
[1,2,1]]
最后，我们可以将原始方程组写成LUx=b的形式，并求解出x的值。

LUx=b
先解Ly=b:
[1,0,0][y1][9]
[0.5,1,0][y2]=[1]
[1,2,1][y3][12]
通过前代法求解y的值：
y1=9
y2-0.5y1=1
y3-y1-2y2=12
y2=1+0.5*9=5.5
y3=12+9-2*5.5=20
再解Ux=y:
[2,3,-1][x1][9]
[0,-2,1][x2]=[5.5]
[0,0,15][x3][20]
通过回代法求解x的值：
15x3=20=>x3=20/15=4/3
-2x2+x3=5.5=>x2=(5.5-x3)/(-2)=(5.5-4/3)/(-2)=-1/6
2x1+3x2-x3=9=>x1=(9-3x2+x3)/2=(9-3*(-1/6)+4/3)/2=4/3 因此，方程组的解为：
x=[4/3,-1/6,4/3]
综上所述，通过列主元三角分解法，我们成功求解出了线性方程组的解。

这种方法可以避免出现除以零的情况，并且能够高效地求解大型线性方程组。