北京市西城区届高三模拟试卷数学试题及答案 (文 )

北京市西城区2014年高三一模试卷
数 学（文科） 2014.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（ ）
（A ）(0,1)
（B ）(0,1]
（C ）(1,2)
（D ）[1,2)
2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ） （A ）5
（B
（C
（D ）13
3．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心
率为（ ） （A
（B ）2
（C
（D
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）2 （B ）
43
（C ）4 （D ）5
5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）
（A ）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C ）()cos =f x x （D ）()cos 2=f x x 正(主)视图
俯视图
侧(左)视图
6． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3
(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）7
8. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）
（A ） 4个
（B ）6个
（C ）10个
（D ）14个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数
1i
i 2i
x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为
_____．
11．已知函数3, 0,()1, 0,1
≤+⎧⎪
=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大
值为_____．
12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．
B
A
D
C
. P
13．若不等式组1,0,26,a
x y x y x y ⎧⎪⎪
⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个
四边形，则实数a 的取值范围是__________.
14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则
(1)=f ____； 函数()f x 的值域为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知2
2
2
b c a bc +=+.
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）如果cos 3
=
B ，2b =，求a 的值. 16．（本小题满分13分）
D C P
某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率； （Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.
（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；
（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD
平面ABCD ?若存在，求出
SP
PC
的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分）
已知函数()ln a
f x x x
=-
，其中a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆22
221(0)x y W a b a b
+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜
率为1-，O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆W 的方程.
（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：
12S S =.
20．（本小题满分13分）
在数列{}n a 中，1
()n a n n
*=
∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358
为{}n a 的一个4项子列.
（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；
（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差
d 满足1
04
d -
<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：
123456
6332
c c c c c c +++++≤.
北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科） 2014.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2
5
-
10．4 2=-x 11．1- 3 12．256 13． (3,5) 14．1 4
[
,4]5
注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为 2
2
2
b c a bc +=+，
所以 2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， …………… 4分 又因为 (0,π)∈A ，
所以 π
3
A =
. …………… 6分
（Ⅱ）解：因为 cos 3
=
B ，(0,π)∈B ，
所以 sin B ==
， ……………8分 由正弦定理
sin sin =a b
A B
， ……………11分
得 sin 3sin ==b A
a B
. ……………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . …………… 3分 （Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . …………… 4分
由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个， 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604
()2005
+=
=P A . ………… 8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=.
…………… 10分
所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ，
所以n 的最小值为10． …………… 13分 17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，
所以 //AB CD ， …………… 1分 又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，
所以 //AB 平面SCD . …………… 3分 （Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SA
AD A ⊥⊥=，
所以 ⊥AB 平面SAD ， …………… 5分 又因为 SN ⊂平面SAD ，
所以 AB SN ⊥. …………… 6分 因为 SA SD =，且N 为AD 中点， 所以 SN AD ⊥. 又因为 AB
AD A =，
所以 SN ⊥平面ABCD . …………… 8分 （Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连
接PB ，PD . 因为 SN ⊥平面ABCD ，
所以 FP ⊥平面ABCD . …………… 11分 又因为 FP ⊂平面PBD ，
所以平面PBD ⊥平面ABCD . …………… 12分 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以
1
2
NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ， 所以
1
2
NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时1
2
SP PC =. ……… 14分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由2
()ln f x x x
=-，得
212()f x x x '=+， ……………… 2分 所以 (1)3f '=， 又因为 (1)2f =-，
所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. ……………… 4分 （Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2a
x x x
-
>-+， 即 2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分 设函数2()ln 2g x x x x x =+-，
则 ()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分 因为(1,)x ∈+∞，
所以ln 0x >，210x ->，
所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， ……………… 10分 故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，
所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分 因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立，
所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立.
所以1a -≤. ……………… 13分 19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分
所以直线MF 的斜率为0
101
-=
=--MF b k ， 解得 1b =， ……………… 3分 由 2
2
2
a b c =+，得2
2a =，
所以椭圆W 的方程为2
212
x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分
由方程组22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222
(12)4220k x kmx m +++-=， …………… 7分 所以 2
2
16880k m ∆=-+>， （*）
由韦达定理，得122412km x x k -+=+, 2122
22
12m x x k -=+. …………… 8分
所以
||AB ==
…… 9分
因为原点O 到直线y kx m =+
的距离d =
， ……………… 10分
所以 1||2AOB S AB d ∆=
⋅= ……………… 11分 当1k =
时，因为AOB S ∆=
所以当2
32m =
时，AOB S ∆
的最大值12
S =，
验证知（*）成立； ……………… 12分
当2k =时，因为AOB S ∆=
所以当2
92m =
时，AOB S ∆的最大值22
S =； 验证知（*）成立.
所以 12S S =. ……………… 14分
注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆的面积的最大值都是2
. 20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：
12，14，1
8
. …………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，
所以 210d b b =-<. …………… 4分 因为 514b b d =+，151,0b b >≤， 所以 514011d b b =->-=-， 解得 1
4
d >-
. 所以1
04
d -
<<. …………… 7分 （Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，
则 2
3
4
5
1234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111
()c a a
*=
∈N ≤. …………… 8分 设 (,K
q K L L
*=
∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.
当1K =时，
因为 112
q L =≤， 所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++
2345111111()()()()22222
+++++≤， 所以 1234566332c c c c c c +++++≤
. ……………… 10分 当1K ≠时，
因为 5
5
6151==⨯K c c q a L 是{}n a 中的项，且,K L 互质， 所以 5*()a K M M =⨯∈N ，
所以 2345
1234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++ 543223*********()M K K L K L K L KL L
=
+++++. 因为 2L ≥，*,K M ∈N ， 所以 234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上， 1234566332c c c c c c +++++≤
. ……………… 13分。