第25讲线段的定比分点及平移课件课件

∴h＝1π2， k＝－1.
∴a＝1π2，－1.
设(x，y)为图象 C 上任一点，(x′，y′)为图象 C′上相应的点，
则x′＝x＋1π2， ∴x＝x′－1π2
y′＝y－1
y＝y′＋1
将它们代入到 y＝2sin(2x＋56π)＋3 中，得到
y′＝2sin2x′＋23π＋2. 即图象 C′对应的函数解析式为 y＝2sin2x＋23π＋2.
答案：C
5．将函数 y＝sin2x 的图象按向量 a 平移后得到函数 y＝sin2x－10π04
＋2010，则向量 a 的坐标可以是( )
A.10π04，2010
B.20π08，2010
C.－10π04，2010
D.－20π08，2010
(2)当 A＋B＝π2且 A、B∈R 时，y＝f(A，B)的图象按向量 p 平移后得
到函数 y＝2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量 p.

解析：(1)f(A，B)＝sin2A－

232＋cos2B－122＋1，
由题意得scions22AB＝＝212，3，
∴C＝23π或
0＝31＋＋33x， －3＝y＋31×＋3－1.
解得xy＝ ＝－ －19，.
此时点 P1，P2 的坐标分别为(3，－9)，(－1，－1)． 当 λ＝－3 时，根据线段的定比分点坐标公式得：
0＝31＋＋－－33x， －3＝y＋1－＋3－×3－1.
即－4＝－11＋＋λλ·5，解之得 λ＝－13.
答案：A
3．将函数y＝2x＋1的图象按向量a平移得到函数y＝2x＋1的图象， 则( )
A．a＝(－1，－1)
B.a＝(1，－1)
C．a＝(1,1)
D.a＝(－1,1)
解析：设M(x，y)是y＝2x＋1上的任一点，按照向量a＝(m，n) 平移后该点在y＝2x＋1的图象上，且该点坐标变为(x＋m，y＋n)， 即y＋n＝2x＋m＋1.
尤其是明确分点是内分点还是外分点，注意分类讨论及数形结 合的数学思想．
类型二 平移公式的应用 解题准备：1.点 A(x，y)按向量 a＝(m，n)平移到 A′(如图)，则O→A′ ＝O→A＋a＝(x，y)＋(m，n)＝(x＋m，y＋n)，所以 A′(x＋m，y＋n)．
2．向量的坐标只表示向量的大小和方向，不表示位置，所以平移向 量，向量的坐标不变．
【典例 2】 (1)求函数 y＝3sin2x 的图象按向量 a＝－π4，1平移后 的图象的解析式．
(2)已知一个函数的图象按向量 a＝(1，－1)平移后图象的解析式为 y ＝2x2，求原来图象的解析式．
[解析] (1)设 P(x，y)是函数 y＝3sin2x 的图象上任一点，平移后对
应的点为 P′(x′，y′)，由平移公式得x′＝x－4π ，∴x＝x′＋4π ，
解得xy＝ ＝13，.
此时点 P1，P2 的坐标分别为(3,3)，(1，－1)
[点评] 在解关于定比分点的问题时，相对理解始点、终点和分 点很重要，在P1，P2，P3三个点中，每个点都可以作为始点、 分点、终点，但要注意不同的始点、终点、分点对应着不同的λ 值，λ不是距离比，而是共线向量的数量比．用定比分点坐标公 式求点的坐标时，一定要分清有向线段的始点、分点、终点，
解析：由 y＝sin2x－10π04＋2010＝sin2x－20π08＋2010 知向量 a 的
坐标可以是20π08，2010.
答案：B
类型一 定比分点及定比分点坐标公式
解题准备：在解关于定比分点的问题时，相对地理解始点、终 点、分点很重要．在P、A、B三个点中，每个点都可以作为始 点、终点、分点．但要注意不同的始点n2x＋56π＋3 的图象 C 进行平移后得到图象 C′，使 C 上面的一点 Pπ6，2移至点 P′π4，1，求图象 C′对应的函 数解析式．
解析：设平移向量为 a＝(h，k)，
则由平移公式xy′ ′＝ ＝xy＋ ＋hk
得π4＝6π＋h， 1＝2＋k
3．函数y＝f(x)的图象按向量a＝(h，k)平移后，得到函数y－k ＝f(x－h)的图象．
4．将一个图形平移，图形的形状、大小不变，只是在坐标平面 内的位置发生了变化．因此在平移前后，与位置无关的量不变， 如：图形上任意两点之间的距离；而那些与位置有关的量，则 要发生变化，如：图形上点的坐标，函数的解析式等．
【典例 1】 如果 P1，P2，P3 三点在同一直线上，且 P1，P2，P3 三 点坐标分别为(3，y)，(x，－1)，(0，－3)，||PP→ →13PP32||＝3.求点 P1，P2 的坐标．
[解析] 因为 P1，P2，P3 三点在同一直线上， 且||PP→ →13PP32||＝3，则P→1P3＝3P→3P2或P→1P3＝－3P→3P2. 所以，点 P3 分P→1P2所成的定比 λ＝3 或 λ＝－3. 当 λ＝3 时，根据线段的定比分点坐标公式得：
又M(x，y)在y＝2x＋1上，∴m＝－1，n＝－1.
∴a＝(－1，－1)．
答案：A
4．将函数 y＝ sin2x＋π3的图象按向量 a 平移后所得的图象关于点
(－1π2，0)为中心对称，则向量 a 的坐标可能为(
)
A.－1π2，0
B.－π6，0
C.1π2，0
类型三 向量平移与三角函数的交汇
解题准备：通过向量的坐标运算，将向量条件转化为三角函数 关系是解题的第一层内容；根据题目要求，求解余下的三角函 数问题是解题的第二层内容．利用这个分层求解的策略，可将 向量与三角函数的综合问题化为两个基本问题来解决．
【典例3】 设函数f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sinx，－ cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈R.
y′＝y＋1
y＝y′－1
将它代入 y＝3sin2x 中，得 y′－1＝3sin2x′＋π4，即 y′＝3cos2x′ ＋1.故平移后图象的解析式为 y＝3cos2x＋1.
(2)设 P(x，y)是原函数图象上任意一点，平移后的对应点为 P′(x′， y′)，由平移公式得yx′′＝＝yx－＋11， .
2．若过两点 P1(－1,2)，P2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P，则点 P 分 有向线段P→1P2所成的比 λ 的值为( )
A．－13
B.－15
1
1
C.5
D.3
解析：由已知得 P1(－1,2)，P2(5,6)确定的直线方程为 y－2＝23(x＋1)，
令 y＝0，得 P 点坐标为(－4,0)，利用定比分点坐标公式得 xP＝xP11＋＋λλxP2，
λ的范围 λ＜－1
λ＝－1 －1＜λ＜0
λ＝0
P点位置 P点名称
在P1P2的延长线 上
不存在
外分点
在P2P1的延长线 与P1重
上
合
外分点
始点
λ的范围
P点位置 P点名称
0＜λ＜1 在P1与中点之间 内分点
λ＝1 P为中点
λ＞1 在中点与P2 之间
(3)线段定比分点坐标公式
设点 P 分有向线段P→1P2所成的比为 λ，即P→1P＝λP→P2，并且 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，P(x，y)，则 x＝x11＋＋λλx2，y＝y11＋＋λλy2(λ≠－1)，这是有向线段P→1P2
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)将函数y＝f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关
于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.
[解析] (1)由题意得 f(x)＝a·(b＋c)＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx － 3cosx) ＝ sin2x － 2sinxcosx ＋ 3cos2x ＝ 2 ＋ cos2x － sin2x ＝ 2 ＋ 2 sin2x＋34π.故 f(x)的最大值为 2＋ 2，最小周期是22π＝π.
点评：①利用平移公式可在三个量——平移前点的坐标、平移后 点的坐标、平移向量的坐标中，解决“知二求一”问题，知道 其中任意的两个，就可以求另外一个．
②将点P平移到P′，能产生这种效果的向量是唯一的；将曲线 (非线性)平移的向量一般也是唯一的；但是将直线l平移到直线l′， 能产生此种效果的向量是不唯一的，应引起注意．
考点陪练
1.点M(8，－10)按a平移后的对应点M′的坐标是(－7,4)，则a＝
( )
A．(1，－6)
B.(－15,14)
C．(－15，－14)
D.(15，－14)
解析：∵xy′ ′＝ ＝xy＋ ＋hk，， ∴－ 4＝7－ ＝81＋0＋h，k，
答∴案：hk＝＝B1－4.15，
的定比分点坐标公式．特别地，当 P 是P→1P2的中点时，
x＝x1＋2 x2 有y＝y1＋2 y2
，这就是中点坐标公式．
2．图形的平移 (1)平移 设 F 为坐标平面内一个图形，将 F 上所有点按同一个方向移动同样 的长度，得到图形 F′，这个过程叫图形的平移．将一个图形平移，图 形的形状大小不变，只是在坐标平面内的位置发生变化． (2)平移公式 设 P(x，y)为图形 F 上任一点，它按向量 a＝(h，k)平移后的图形 F′ 上对应点为 P′(x′，y′)，则有xy′ ′＝ ＝xy＋ ＋hk ，在 P(x，y)，P′(x′，y′) 以及 a＝(h，k)中，已知其中二个，可求另外一个，但要注意顺序性． (3)函数图象的平移，实质上是点的平移，可由平移公式化简方程．
第二十五讲 线段的定比分点及平移
回归课本 1.线段的定比分点 (1)定比分点：设 P1，P2 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同于 P1， P2 的任意一点，则存在一个实数 λ，使P→1P＝λP→P2，λ 叫点 P 分有向线段P→1P2 所成的比，P 叫做定比分点．
(2)定比λ与分点之间的一一对应关系如下表
C＝
π 2.
解得AB＝ ＝π6π6或 ，A＝π3，
(2)∵A＋B＝π2，2B＝π－2A，cos2B＝－cos2A.
∴f(A，B)＝cos2A－ 3sin2A＋3＝2cos2A＋π3＋3＝2cos2A＋π6＋3.从而 p＝π6，－3(只要写出一个符合条件的向量 p 即可)．
D.π6，0
解析：本题可用代入验证法来解，例如对于 A，将函数 y＝ sin2x＋π3 按 a＝－1π2，0平移后可得函数 y＝ sin2x＋π2＝cos2x，而 y＝cos2x 的 图象不关于点－1π2，0对称，故 A 错；同理可排除 B，D.选项 C，将函 数 y＝sin2x＋π3按向量 a＝1π2，0平移后可得函数 y＝sin2x＋π6，可验 证该函数图象关于点－1π2，0为中心对称．
代入 y＝2x2，得 y－1＝2(x＋1)2，即 y＝2x2＋4x＋3. 故原函数的解析式为 y＝2x2＋4x＋3.
[点评] 平移公式的应用常有三类问题，①已知平移前后的解析 式，求平移向量；②已知平移向量及平移前的解析式，求平移 后的解析式；③已知平移向量及平移后的解析式，求平移前的 解析式．
(2)由 sin2x＋34π＝0 得 2x＋34π＝kπ，
即 x＝k2π－38π，k∈Z.于是 d＝38π－k2π，－2，
|d|＝
k2π－38π2＋4，k∈Z.因为 k 为整数，要使|d|最小，则只有 k
＝1，此时 d＝－π8，－2即为所求．
探究 2：已知 f(A，B)＝sin22A＋cos22B－ 3sin2A－cos2B＋2. (1)设△ABC 的三个内角为 A、B、C，求 f(A，B)取得最小值时 C 的 值；