万变不离其宗：2017高中数学课本典例改编之必修二、三：专题六概率含解析

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L一、题之源：课本基础知识
1.概率与频率
(1)在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件/是否出现，称。

次试验中事件A出现的次数心事件/出现的频数,称事件刃出现的比例W)=斜事件刃出现的频率.
(2)对于给定的随机事件瓦由于事件』发生的频率£(』)随着试验次数的增加稳定于概率R』)，因此可以用频率£(』)来估计概率P(A).
2.事件的关系与运算
定义符号表示包含关系
如果事件A发生,则事件3一定发生，这时称事件
方包含事件』(或称事件A包含于事件3)
旧/(或』相等关系若阻』且』2R那么称事件A与事件方相等A=B
并事件(和事
件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件3发
生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和
事件)
/%（或』+0
交事件(积事
件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件方发
生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积
事件)
/W(或幽
互斥事件
若』。

方为不可能事件，那么称事件4与事件3互
斥
对立事件
若为不可能事件,AUB为必然事件,那么称
事件A与事件3互为对立事件
』W=0且』UB=Q 3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：OWPQ4)W1.
(2)必然事件的概率：尸(4)=1.
(3)不可能事件的概率：0/)=0.
(4)概率的加法公式
如果事件a与事件方互斥，则=夕(/)•
(5)对立事件的概率
若事件A与事件去互为对立事件，则AU8为必然事件.PC4UB)=1,尸(力=1—R③.
4.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的.
(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件).
5.古典概型
(1)特点：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性.
(2)概率公式：
p(.』包含的基本事件的个数
尸一基本事件的总数.
6.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
7.几何概型的概率公式
_构成事件』的区域长度(面积或体积)
{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
k二、题之本：思想方法技巧
1.概率与频率的关系
(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的.
(2)概率是一个确定数,是客观存在的，与试验次数无关.
(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值.
2.互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件是两个不可能同时发生的事件；
②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与方所含的结果组成的集合分别是A,B,
①事件A与3互斥，即集合
②事件/与3对立,即集合AnB=0,且AUB=/(全集)，也即/=：沾或3=3；
③
对互斥事件/与3的和A+B,可理解为集合，UB.
3.求复杂的互斥事件的概率的方法
一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式R0)=1一夕(力,即运用逆向思维的方法(正难则反)求解,应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便. 4.古典概型是概率论中最简单而又直观的模型，在概率论的发展初期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”).要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性.
5.求古典概型的概率
(1)对于事件A的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三，事件4是什么，它包含的基本事件有多少个.
(2)如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件0中的基本事件数，利用公式KA)=?求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.
(3)如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算/n,n,再运用公式尸®)=£求概率.
(4)较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有：
①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；
②采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由夕(0)=1一夕(力求事件A的概率.
6.几何概型是古典概型的补充和推广，它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素，每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求，两种概率模型是高度统一的.
7.高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度：
(1)与线段长度有关的几何概型；
(2)与时间有关的几何概型；
(3)与不等式有关的几何概型；
(4)与距离有关的几何概型.
8.解决几何概型问题，注意把握好以下几点：
(1)能正确区分古典概型与几何概型.
例1：在区间上任意取一个整数X,则X不大于3的概率为.
例2：在区间上任意取一个实数x,则x不大于3的概率为.
4例1的基本事件总数为有限个11,不大于3的基本事件有4个，此为古典概型,故所求概率为
例2的基本事件总数为无限个,属于几何概型，所求概率为讦.
(2)准确分清几何概型中的测度.
例1：在等腰RtA^C中，/C=90°，在直角边网上任取一点必求ACAM<^°的概率.
例2：在等腰234网中，/。

=90°，在/京月内过点/作射线交线段网于点必求/W<30°的概率.
c-----
例1中的测度定性为线段长度，当zm=3o°,饥=平花=平第满足条件的点〃等可能的
分布在线段®±,故所求概率等于黑=半.例2中的测度定性为角度，过点0作射线与线段CB
C d o
相交,这样的射线有无数条，均匀分布在ZG48内，/&3=45。

.所以所求概率等于多|=
匕CA jd 30°2
45°=3'
(3)科学设计变量，数形结合解决问题.
例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率.
例2：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.
例1是《必修3》036的例题，此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为碧=
151
宜例2容易犯解例1形成的定势思维的错误，得到错误答案矿正.原因在于没有认清题中的变量,本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取内的任意时刻，故所求概率
CA2—93
需用到面积型几何概型，由x~y\结合线性规划知识可解，所求概率为w=而通过
b0144
这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后，利用数形结合思想解题.
9.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可
能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Q,这时，与试验有关的问题可考虑利用几何概型解决.
•三、题之变:课本典例改编
1.原题（必修3第127页例3）改编将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和〃，则函数
y=^mx3-nx+1在［1,+8）上为增函数的概率是.
【解析】本题考察了古典概型概率的求法及利用导数研究函数的单调性等基础知识.易得函数=—m^-nx+l的增区间为和+8,由已知可3"V2m J［V2m/
得，［1,+8）（---,+co|,故
2m）
2m>n.抛两次的骰子的所有可能种数为36种，则（m,〃）满足条件2m>n的有30种，所以
所求概率为。

.
6
2.原题（必修3第130页练习第3题）改编甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
【解析】（1）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲男1,乙女1）、（甲男1,乙女2）、（甲男2,乙女1）、（甲男2,乙女2）、（甲女，乙女1）,（甲女，乙女2）,（甲女，乙男），共9种；选出的2名教师性别相同的结果有（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲女，乙女1）、（甲女，乙女2）共4种所以选出的2名教师性别相4
同的概率为一.
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（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为（甲男1,乙男）、（甲男1乙男）、（甲男1,乙女1）、（甲男
1,乙女2）、（甲男Z乙女1）、（甲男2•乙女2）、（甲丸乙女1）、（甲女，乙女2）、（甲女，乙男）、（甲男L甲男
2）、（甲男1,甲女）、（甲男2_甲女）、（乙男，乙女1）、（乙男，乙女2）、（乙女1,乙女劣，共15种,选出的2名教
师来自同一学校的所有可能的结果为（甲男1,甲男2）、（甲男1,甲女）、（甲男1甲女）、（乙男，乙女1）、（乙男，
乙女2）、（乙女1,乙女2）,共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为£=
3.原题（必修3第134页习题3. 2B 组第3题）改编假设每个人在任何一个月出生是等可能 的，则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为.
【解析】方法一：P = l —理
12317 、、—--;方法—:P — 72
Ucy+U _17123 — 724.原题（必修3第140页例4）改编 如图，直线x+y = 2与抛物线y =亍交于A 、B 两点, 分别作AC 、BD 垂直x 轴于C 、D 两点,从梯形ABDC 中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为
利用随即模拟方法也可以计算图中阴影部分面积，若通过1000次试验产生了落在
梯形ABDC 内的1000个点，则可估计落
在阴影部分内的点的个数大约有 个.
【解析】由x+v = 2 1 is 得顼一2,4), 即&5=事3、5=项又1 - 3-29-215- 23 广由 ^=i^=r ffM=60°
5.原题（必修3第140页练习第1题）改编 如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，兰为半径的圆弧与正方形的边所围成的.某
2
人向此板投标，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中某人 向此板投标，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部 分的概率
是
【解析】本题考查几何概型的概率的计算，因为正方形的面积为而阴影部分的面积不易直
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接计算,所以先计算空白部分的面积为号，从而得阴影部分的面积为己岩.根据几何概型的概率公式，可得
6.原题（必修3第142页习题3.3A组第3题）改编一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为■
【解析】概率为
40
30+5+40
8
15。