【精品解析】2020年河北省衡水中学高三模拟(三)数学试题

2020年河北省衡水中学高三模拟（三）数学试题
一、单选题
1．已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（ ）
A B C ．3 D
2．全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}1
3．设a∈R，函数f(x)＝e x ＋a·e －x 的导函数f ′(x)是奇函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率是32
，则切点的横坐标为（ ） A ．－ln22 B ．－ln 2 C ．ln22 D ．ln 2
4．若a ，b ，c 是三个任意向量，则下列推理正确的是（ ）
A ．对实数a ，b ，c ，有()()ab c a bc =，所以类比推出()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
B ．对实数a ，b ，当0a ≠，0ab =时，有0b =，所以类比推出，当0a ≠，0a b ⋅=时，有0b =
C ．对实数a ，b ，c ，当ac bc =，0c ≠时，有a b =，所以类比推出当a c b c ⋅=⋅，0c ≠时，有a b =
D ．对实数a ，b ，有公式()2222a b a ab b -=-+，在向量运算中，类比推出的结论有()2222a b a a b b -=-⋅+
5．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示： 0
1
若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆy
x a =+，则以下为真命题的是（ ）
A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度
B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度
C ．所有样本点的中心为(1,4.5)
D ．当8x =时，y 的预测值为13.5
6．在等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3a 等于（ ）
A ．4
B ．8
C ．4-或4
D ．8-或8
7．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（ ）
A ．1：3
B ．3：1
C ．2：3
D ．3：2
8．x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩
，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则 34a b +的最小值为（ ）
A ．14
B ．7
C ．18
D ．13
9．过抛物线24y x =焦点F 做直线l ，交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若线段AB 中点横坐标为3，则||AB = （ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
10．已知函数()(|ln |)x f x e x m x =--有两个零点，则m 的取值范围为（ ）
A ．(,)e -+∞
B ．1
(,)e -+∞ C ．(1,)-+∞ D ．(0,)+∞
11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[
)0,+∞上是增函数，令()1a f =，()
0.32b f -=，()0.32c f =-，则：（ ） A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
12．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:
2,DC rcosa =①
22,AB rcos a =②
()12,FC r cos a =-③
()22DC r r AB =-④.
其中正确的是（ ）
A ．②③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
二、双空题
13．已知列{}n a 中，11a =中，()
*1n n a a n n N +=+∈中，则4a =_____，n a =____.
三、填空题
14．某市园林绿化局在其名贵树木培植基地种植了一批红豆杉苗，为了解这批红豆杉苗的生长状况，随机抽取了10株进行检测，这10株红豆杉苗的树高（单位：cm ）的茎叶图如图所示，利用样本估计总体的原则，则培植基地种植的这批红豆杉苗的树高在(135,140)内的概率为______.
15．函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <，1
3()21x f x x =+-，则函数解析式()f x = .
16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B B -=，
sin C B =，则A =______
四、解答题
17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sin
C a b =+. （1）求角B .
（2）若2b =，求ABC 的面积的最大值.
18．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7．8g/）六角螺帽共重5.8kg ，已知底面是正六
边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（
取3.14）？
19．已知函数()|1||1|f x x x =++-，2()g x x x =-．
（1）求不等式()()f x g x <的解集；
（2）若()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围．
20．（Ⅰ）把点M (的直角坐标化为极坐标；
（Ⅱ）求圆心在极轴上,且过极点和点)6D π
的圆的极坐标方程.
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为4，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点(0,2)A ，点1(Q x ，111)(0)y x y ≠在椭圆C 上，QM x ⊥轴，垂足为M ，直线AN AM ⊥交x 轴于点N ，线段EN 的中点为坐标原点，试判断直线QE 与椭圆C 的位置关系.
22．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），
（1）由图中数据求a 的值；
（2）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取
18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为多少？ （3）估计这所小学的小学生身高的众数，中位数（保留两位小数）及平均数. 23．函数()()01a x f x x x +=
>+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为112． （1）求a ；
（2）讨论()()()2g x x f x =的单调性；
（3）设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln71n n a --<．
【答案与解析】
1．D
1(2)3xi y i +=--213y x -=⎧⇒⎨=-⎩31x y =-⎧⇒⎨=⎩
，则x yi +选D. 2．C
根据图中阴影部分所表示的集合为R A B ，然后根据全集U =R ，[)3,B =+∞，求得B R ，再利用交集运算求解.
由图知：图中阴影部分所表示的集合为R A B ， 因为全集U =R ，[)3,B =+∞，
所以(),3R B =-∞，
又集合{}1,2,3,4,5A =，
所以{}1,2R A B ⋂=，
所以图中阴影部分所表示的集合为{}1,2，
故选：C
本题主要考查ven 图以及集合的基本运算，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 3．D
分析：由函数f x 为奇函数，得1a =，求的()x x f x e e -=-'，设曲线上切点的横坐标为0x ，解得02x e =，即可求得切点的横坐标的值.
详解：由题意，函数f x 为奇函数，则必有(0)10f a =-='，
解得1a =，即()x x f x e e -=+ ，所以()x x f x e e -=-'，
设曲线上切点的横坐标为0x ，则根据题意得()00032
x x f x e e -=-'=，解得02x e =， 故切点的横坐标0ln 2x =，故选D.
点睛：曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．
（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-；
（2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成：。