2019年宁波市高三数学下期末模拟试卷含答案

2019年宁波市高三数学下期末模拟试卷含答案
一、选择题
1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ）
A ．243-
B ．242-
C ．162-
D ．243
2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =
，
7
cos 8
A =
，则ABC ∆的面积为（ ） A ．17
B ．3
C ．15
D ．
152
3．()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 5．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A ．由两个圆锥组合成的
B ．由两个圆柱组合成的
C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
6．设集合2
{|20,}M x x x x R =+=∈，2
{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}0
B ．{}0,2
C ．{}2,0-
D ．{}2,0,2-
7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-，
B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，
， C ．(22]-，
D ．(2]-∞，
8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
x π
=对称的函数是（ ）
A ．2sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
D ．2sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
9．<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当n=1时不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N *
)时,不等式成立,<k+1. 那么当n=k+1
时=
<
所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *
,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确
C ．归纳假设不正确
D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确
10．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π
个单位后关于原点对称，则函
数()f x 在,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为（）
A ．
B ．
2
C ．
12
D ．12
-
11．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)
B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
12．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin b A c
+==-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
二、填空题
13．关于x 的不等式a 34
≤
x 2
﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2
x
π的值介于1[0,]2
的概率为 ．
16．已知函数2
1,1()()
1
a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨
->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()
y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 17．若9
()a x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
18．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为
M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 19．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 20．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.
三、解答题
21．若0,0a b >>,且
11
a b
+=（1）求33+a b 的最小值；
（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 22．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．
（1）求cos B 的值；
（2）若2CA CB -=u u u v u u u v
，ABC ∆的面积为b ．
23．
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；
（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率. 24．已知函数()|1|f x x =+
（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.
25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：
调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；
采用百分制评分，
内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；
市民对公交站点布局的满意率不低于
即可进行验收；
用样本的频率代替概率．
求被调查者满意或非常满意该项目的频率；
若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望
．
26．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；
当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+
--=-，即113
22
n n a a -=，即()1
32n
n a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113
a q S q
---∴==
=---，故选B.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
三角形的面积公式为1
sin 2
ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】
解：在ABC ∆中，2227
cos 28b c a A bc +-==
将2b c =
，a =222
467
48
c c c +-=， 解得：2c =
由7cos 8A =
得sin 8A ==
所以，11sin 242282
ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=
故选D. 【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是
12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助1
2
（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1
sin 2
bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】
由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2
2x x
e e
f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22
x x
e e
f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项
根据解析式分母不为0可知,定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
4．A
解析：A
【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，-2}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{ 0，2}，所以
M N ⋃={-2,0,2}，故选D ．
考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．
7．C
解析：C 【解析】
由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；
当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2
20
4(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩
n ， 解得22a -<<，
综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 8．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的周期为
2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】
先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的周期为
2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D
求得函数值为0,,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】
本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k =
1k <+
(1)1k ++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项
(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.
10．B
解析：B 【解析】
【分析】
由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得
3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ
<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】
函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫
=+< ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-
+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3
π
φk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<
，∴3π
ϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
由题意,02x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，
∴21,32πsin x ⎡⎛
⎫-∈-⎢
⎪⎝
⎭⎣⎦，
∴函数()sin 23πf x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 故选B ． 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
222
15c a b b e a a a
+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由1lg lg()lgsin b A c
+==-
lg
lg 22
b b
c c =⇒=
且sin A =
A 为锐角，所以45A =o
，由2b c =
，根据正弦定理，得sin sin sin(135)cos sin 22
B C B B B =
=-=+o ，解得cos 090B B =⇒=o ，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.
二、填空题
13．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有
解析：4 【解析】 【分析】 设f （x ）34
=
x 2
﹣3x +4，其函数图象是抛物线，画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b ，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y ＝a 应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a 小于或等于抛物线的最小值且a 与b 所对应的函数值相等且都等于b ，利用f （b ）＝b 求出b 的值，由抛物线的对称轴求出a 的值，从而求出结果． 【详解】
解：画出函数f （x ）＝
34x 2﹣3x +4＝3
4
（x －2）2＋1的图象，如图，
可得f （x ）min ＝f （2）＝1，
由图象可知，若a >1，则不等式a ≤34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立．
又不等式a ≤
34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]， 所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2
23344
3344
a a
b b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
由
34
b 2
－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝4
3
或b ＝4. 当b ＝
43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83
， 不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 故答案为：4 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．
14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni
解析：18 【解析】
应从丙种型号的产品中抽取300
60181000
⨯
=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝
n ∶N ．
15．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率
解析：1
3
【解析】
试题分析：由题意得
1220cos
,[1,1]112232222333
x
x x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)
13.1(1)3-=--
考点：几何概型概率
16．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3
【解析】 【分析】
由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，
当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，
解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪-≠-⎩
，解得13a <?；
当1x >时，由2
()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11
11a a ->⎧⎨+>⎩
，解得2a >，
综上可得：实数a 的取值范围为(]
2,3. 【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
17．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二
解析：1
【解析】 【分析】
先求出二项式9
()a x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得
展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r r r r r
r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=，
9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，
故答案为1. 【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
18．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C−AB−D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为
解析：1
6
【解析】 【分析】 【详解】
设AB =2,作CO ⊥面ABDE
OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角， CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，
结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，
11(),2212AN EM CH AN
AC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴⋅=
u u u r
u u u
r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 故EM ,AN
1
16
=，
19．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不
解析：y =sin x （答案不唯一）
【解析】
分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.
详解：令0,0
()4,(0,2]
x f x x x =⎧=⎨
-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f
（x ）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.
点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.
20．1【解析】试题分析：由得所以（当且仅当即时等号成立）所以答案应填1考点：1对数的运算性质；2基本不等式
解析：1 【解析】
试题分析：由log 41,a b =-得1
04a b
=>，
所以114a b b b +=
+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立） 所以答案应填1.
考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.
三、解答题
21．（1
）；（2）不存在. 【解析】 【分析】
（1）由已知
11
a b
+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可
求23a b +的最小值为6>，故不存在． 【详解】
（111
a b =
+≥，得2ab ≥，且当a b ==
故33+a b ≥≥a b ==
所以33+a b 的最小值为
（2）由（1）知，23a b +≥≥
由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式． 22．（1）1
cos 3
B =；（2）3b = 【解析】 【分析】
（1）直接利用余弦定理的变换求出B 的余弦值．
（2）利用（1）的结论首先求出sin B 的值，进一步利用平面向量的模的运算求出c ，再利用三角形的面积公式求出a ，最后利用余弦定理的应用求出结果． 【详解】
解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．
则：222222222
3222a c b a b c a c b c b a ac ab ac
+-+-+-+=g g g ， 整理得：222
23
ac a c b =+-，
所以：2221
cos 23
a c
b B a
c +-=
=； （2）由于1
cos 3
B =
，(0,)B π∈，
所以：sin 3
B ==
， 在ABC ∆中，由于：||2CA CB -=u u u r u u u r
，
则：2BA =u u u r
，
即：2c =．
由于ABC ∆的面积为
所以：1
sin 2
ac B =
解得：3a =，
故：2222cos b a c ac B =+- 1
4922393
=+-=g g g ，
解得：3b =． 【点睛】
本题考查的知识要点：平面向量的模的运算的应用，余弦定理和三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 23．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】
(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；
(2)本题首先可以通过题意推导出()
4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果． 【详解】
(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以()
20.50.40.50.6
0.5P X ==??
(2)由题意可知，()
4P X =包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”
所以()
40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X ==创
创创= 【点睛】
本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及()
4P X =所包含的事
件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．
24．(1){
1M x x =<-或 }
1x >；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平
方，因式分解转化为证明(
)(
)
2
2
110a b -->，最后根据条件22
1,1a b >>确定
()()2
2110a
b -->成立.
【详解】
（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.
当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<， 解得1x <-，∴1x <-； 当1
12
x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当1
2
x >-
时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述，{
1M x x =<-或}1x >.
（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤， 要证()()()f ab f a f b >--成立， 只需证1ab a b +>+， 即证22
1ab a b +>+， 即证222210a b a b --+>, 即证(
)(
)
2
2
110a b -->.
由（1）知，{
1M x x =<-或}1x >， ∵a b M ∈、，∴2
2
1,1a b >>， ∴(
)(
)
2
2
110a b -->成立.
综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.
点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式. 25．（1）；（2）
；（3）.
【解析】
试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是
，根据独立重复试验次发生次的概率公式可得结果；
（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.
试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中， 评分在
的频率为：
；
（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是
，
用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为，
现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：
；
（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量的所有可能取值为0，1，2，
的分布列为：
0 1 2
的数学期望
.
26．（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 和1
cos 3
B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=.
解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin B =
由正弦定理，得2
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此
27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，22122
sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.。