广西桂林十八中2015届高三数学第二次月考试题 理

桂林十八中12级高三第二次月考试卷
理科数学
注意：1、本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部，总分为150分．
考试时间：120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上．
3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．
Ⅰ卷 〔共60分〕
一、选择题〔本大题共12小题，每一小题5分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．集合{|(2)0}A x x x =+>，集合{2,1,1,2}B =--，如此A
B =
A.(1,2)
B.{1,2}
C.{1,2}--
D.(0,)+∞
2．复数12i
z i
+=
，如此复数z 的共轭复数等于 A ．2i - B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 3．函数3sin(2)3
y x π
=+
的一条对称轴方程为 A ．2x π=
B ．3x π=
C ．6x π=
D ．12
x π= 4．两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，假设0b c =，如此t =
A ．2
B ．3
C ．3-
D ．4
5
11123{},2,(),,,1,{}n n n n a a a a c n c a a a a +==+数列中是常数且成公比不为的等比数列则的通项公式为
.
A ．221n n +-
B ．221n n -+
C ．2
n
n +D ．22n n -+
6.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，甲乙相邻，如此甲丙相邻的概率为
A ．13
B ．23
C ．12
D ．16
7．5
3
y x 展开式的第三项为10，如此y 关于x 的函数图象的大致形状为
俯视图
8． 我们知道，在边长为a
，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为 A
．
3a B
．2a C
．3
a D ．a 9．执行如下列图的程序框图，如果输入的,,x y R ∈那么输出的S 的最大值为 A ． 0
B ．1
C ．2
D ．
3
10．a ＞0，且a ≠1，如此函数f (x )＝a x
＋(x －1)2
－2a 的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．与a 有关
11．某几何体的三视图如下列图，其中俯视图中圆的直径为4， 该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，如此V 1:V 2等于
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:1
D ．1:4
公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25
731v t t t
=-+
+(t 的12.一辆汽车在高速
单位:s ,
v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是
A ．125ln5+
B ．11
825ln 3
+C ．425ln5+D ．450ln 2+
Ⅱ卷 〔共90分〕
二、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分．把答案填在题中横线上〕 13．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，111A B B C 则异面直线与所成角的余弦值为．
14．a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为22221x y a b +=，双曲线C 2的方程为22221x y a b
-=， C 1与C 2的离心率之积为3
2，
如此C 2的渐近线方程为y kx =，如此k= ．
15. 某次测量发现一组数据(,)i i x y 具有较强的相关性，并计算得1y x =+，其中数据0(1,)y 因书写不清，
只记得0y 是[]0,3任意一个值，如此该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为．
开始
是
否
〔残差=真实值-预测值〕
16．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ〔λ∈R 〕，使得对任意的x ∈R ，
都有()()f x f x λλ+=，如此称()y f x =为“倍增函数〞，λ为“倍增系数〞， 如下命题为真命题的是_ __〔写出所有真命题对应的序号〕．
①假设函数()y f x =是倍增系数2λ=-的倍增函数，如此()y f x =至少有1个零点； ②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数1λ=；
③函数()x
f x e -=是倍增函数，且倍增系数(0,1)λ∈ ；
④*()sin 2(0),2
k f x x k N π
ωωω=>=
∈若函数是倍增函数则. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题总分为10分)
如下列图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)求cos ∠CAD 的值； (2)假设cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216
，求BC 的长．
18. 〔本小题总分为12分〕
*{},(,)()2().x n n n a d a b f x n N =∈设等差数列的公差为点在函数的图像上
1872,(,4)(),};n n a a b f x a n S =-(1)若点在函数的图像上求数列{的前项和
(2)假设a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1
ln 2，
求数列{}n
n
a b 的前n 项和T n .
19．〔本小题总分为12分〕某校高三年级有男学生105人，女学生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进展问卷调查，设其中某项问题的选择，分别为“同意〞、“不同意〞两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的局部信息．
〔1〕完成此统计表；
〔2〕估计高三年级学生“同意〞的人数； 〔3〕从被调查的女学生中选取2人进展访谈，
设“同意〞的人数为ξ，求E ξ．
20．〔本小题总分为12分〕
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，0
45BAC ∠=，
2PA AD ==
，AB =〔1〕求二面角A PC B --的余弦值；
〔2〕设E 为棱PC 上的点，满足直线DE 与平面PBC
所成角的正弦值为3
，求AE 的长.
21．〔本小题总分为12分〕
设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .|AB |＝3
2|F 1F 2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．
22．〔本小题总分为12分〕函数()(e)(ln 1)f x x x =--(e 为自然对数的底数〕． 〔１〕求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
〔２〕假设m 是()f x 的一个极值点，且点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足条件： 12(1ln )(1ln )1x x --=-.
〔ⅰ〕求m 的值；〔ⅱ〕假设点(,())P m f m ， 判断,,A B P 三点是否可以构成直角三角形？请说明理由.
桂林十八中12级高三第二次月考试卷
理科数学答案 一、选择题答案 BBDADA DADBAC 二、填空题答案
13 14．2± 15.23
16. ①③
选择题提示:
8.此题考查微积分的根本应用。

由v(t)=7-3t+
t
125
+=0，解得4t =，所以所求的路程为4
24
253
(73)(725ln(1))425ln 512
t dt t t t t -+
=-++=++⎰
，选C.
11.三视图【答案】A
依题意，原几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥.
，，选A. 16．∵函数y=f 〔x 〕是倍增系数λ=-2的倍增函数，∴f 〔x-2〕=-2f 〔x 〕，
当x=0时，f 〔-2〕+2f 〔0〕=0，假设f 〔0〕，f 〔-2〕任一个为0，函数f 〔x 〕有零点．
假设f 〔0〕，f 〔-2〕均不为零，如此f 〔0〕，f 〔-2〕异号，由零点存在定理，在〔-2，0〕区间存在x 0， f 〔x 0〕=0，即y=f 〔x 〕至少有1个零点，故①正确；
∵f 〔x 〕=2x+1是倍增函数，∴2〔x+λ〕+1=λ〔2x+1〕，∴λ=
21
121
x x +≠-故②不正确； ∵()x f x e -=是倍增函数()x x e e e λλλλ-+--∴⇒==，x
y e y x -==由和的图象得∈〔0，1〕，故③正确； ∵f 〔x 〕=sin 〔2ωx 〕〔ω＞0〕是倍增函数，
∴sin[2ω〔x+λ〕]=λsin 〔2ωx 〕，21
1,,1,,2
k k λωπλωπ-===-=得时时〔k ∈N*)． 故④不正确．故答案为：①③．
三、解答题
17. 解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，得
cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2
2AC ·AD
，
故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝27
7. …………………………………5分
(2)设∠BAC ＝α，如此α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－7
14，
所以sin ∠CAD ＝1－cos 2
∠CAD ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2772
＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2
∠BAD ＝
1－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－7142＝32114.
于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD ) ＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－714×217
＝32.
在△ABC 中，由正弦定理，得
BC
sin α＝
AC
sin ∠CBA
. 故BC ＝
AC ·sin α
sin ∠CBA
＝
7×32
21
6＝3.
21:1:2V V =
18．解：(1)由得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8
＝4b 7，所以
2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，
所以S n ＝na 1＋n 〔n －1〕
2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . …………………………………5分
(2)函数f (x )＝2x
在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2
＝(2a 2
ln 2)(x －a 2)，
其在x 轴上的截距为a 2－1
ln 2.
由题意有a 2－1ln 2＝2－1
ln 2，解得a 2＝2.
所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n
， 所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n
2
n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n
2n －1，
因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝
2
n ＋1
－n －2
2
n
. 所以，T n ＝2
n ＋1
－n －2
2
n
. 19．【解】〔1〕
…………………………………4分 〔2〕
23
12610510565
⨯+⨯=〔人〕…………………………………7分 〔3〕 0,1,2ξ由题意得的取值为
0224266
0)15C C C ξ===P(11
242
681)15C C C ξ===P( 20242
61
2)15
C C C ξ===P( 68120121515153ξ∴=⨯
+⨯+⨯=E 答：23
ξ∴=E 20．解：〔Ⅰ〕分别以,,AD AC AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
平面PAC 的法向量(1,0,0)m =，
由得，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(1,1,0)B -,(0,2,2)PC =-,
(1,1,0)BC =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，
如此00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x y -=⎧⎨+=⎩取(1,1,1)n =--
3
cos ,3
m n m n m n
⋅<>=
=
⋅，………………5分 ∴二面角A PC B --6分
〔Ⅱ〕设(0,1,1)E t t +-，如此(2,1,1)DE t t =-+-，………………7分
由〔Ⅰ〕知平面
PBC 的法向量(1,1,1)n =--,由于直线DE 与平面PBC ，
所以cos ,3
6DE n DE n DE n
⋅<>=
=
=
⋅
， 得0t =，(0,1,1)AE =
，2
0AE ==AE ．………………12分 21、解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．
由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2
，如此c 2
a 2＝12，
所以椭圆的离心率e ＝
2
2
. 4分
(2)由(1)知a 2
＝2c 2
，b 2
＝c 2
. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2
c
2＝1.
设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →
＝(c ，c )． 由，有F 1P →·F 1B →
＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①
又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20
c
2＝1.②
由①和②可得3x 2
0＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3
，
即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4c 3，c 3.
设圆的圆心为T (x 1，y 1)，如此x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝2
3c ，进而圆的半径r ＝
〔x 1－0〕2
＋〔y 1－c 〕2
＝
5
3
c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|
k 2＋1＝r ，即
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1
＝
5
3
c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 22．〔Ⅰ〕e
()ln f x x x
'=-
， (1)e f '=-，又(1)e 1f =-，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(e 1)e(1)y x --=--，
即e 2e 10x y +-+=． ………………………………………………………2分〔Ⅱ〕〔ⅰ〕对于e
()ln f x x x '=-，定义域为(0,)． 当0e x <<时，ln 1x <，e 1x -<-，∴e
()ln 0f x x x
'=-<；
当e x =时，()110f x '=-=； 当e x >时，ln 1x >，e 1x -
>-，∴e
()ln 0f x x x
'=-> 所以()f x 存在唯一的极值点e ，∴e m =，如此点P 为(e,0)……………………………………………7分 〔ⅱ〕假设1e x =，如此12(1ln )(1ln )0x x --=，与条件12(1ln )(1ln )1x x --=-不符， 从而得1
e x ．同理可得2
e x ．
假设12x x =，如此2
121(1ln )(1ln )(1ln )0x x x --=-≥，与条件12(1ln )(1ln )1x x --=-不符，从而得
12x x ．
由上可得点A ，B ，P 两两不重合．
1122(e,())(e,())PA PB x f x x f x ⋅=-⋅-121212(e)(e)(e)(e)(ln 1)(ln 1)x x x x x x =--+----
121212(e)(e)(ln ln ln 2)x x x x x x =---+0=…………………………………………………………11分
从而PA PB ⊥，点A ，B ，P 可构成直角三角形．……………………………………………………12分。