平房区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

平房区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ）
A ．M=P
B ．P ⊊M
C ．M ⊊P
D ．M ∪P=R
3． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ）
A. B.11015C. D.310
2
54． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
5． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．13
2
3
1
2
6． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
7． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、、，则（ ）
1S 2S 3S A ． B ． C ． D ．123S S S <<123S S S >>213S S S <<213
S S S >>8． 设集合M={1，2}，N={a 2}，则“a=1”是“N ⊆M ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
9． 已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（ ）
A ．a=3
B ．a=﹣3
C ．a=±3
D ．a=5或a=±3
10．设函数()()()21ln 31f x g x ax x ==-+，，若对任意1[0)x ∈+∞，，都存在2x ∈R ，使得()()12f x f x =，则实数的最大值为（
）
A ．
9
4
B ．
C.
9
2
D ．4
11．在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（2，4）
C ．（，
）
D ．（，）
12．已知，若存在，使得，则的()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->0(1,)x ∈+∞00()'()0g x g x +=b a
取值范围是（
）
A ．
B ．
C.
D ．(1,)-+∞(1,0)-(2,)-+∞(2,0)
-二、填空题
13．（
﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．
14．（lg2）2+lg2•lg5+
的值为 ．
15．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的15﹣64岁劳动人口所占比例：
年份20302035204020452050年份代号t 12345所占比例y
68
65
62
62
61
根据上表，y 关于t 的线性回归方程为
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．
16．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于　_________　。

17． 设函数，．有下列四个命题：
()x
f x e =()ln
g x x m =+①若对任意，关于的不等式恒成立，则；[1,2]x ∈x ()()f x g x >m e <②若存在，使得不等式成立，则；0[1,2]x ∈00()()f x g x >2ln 2m e <-③若对任意及任意，不等式恒成立，则；1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈12()()f x g x >ln 22
e
m <
-④若对任意，存在，使得不等式成立，则．1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈12()()f x g x >m e <其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能
力，考查分类整合思想.
三、解答题
18．（本小题满分12分）
已知圆：的圆心在第二象限，半径为，且圆与直线及轴都
C 02
2
=++++F Ey Dx y x 2C 043=+y x y 相切.
（1）求；
F E D 、、（2）若直线与圆交于两点，求.
022=+-y x C B A 、||AB 19．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=10．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{
}的前n 项和．
20．设A （x 0，y 0）（x 0，y 0≠0）是椭圆T ： +y 2=1（m ＞0）上一点，它关于y 轴、原点、x 轴的对称点依
次为B ，C ，D ．E 是椭圆T 上不同于A 的另外一点，且AE ⊥AC ，如图所示．（Ⅰ） 若点A 横坐标为
，且BD ∥AE ，求m 的值；
（Ⅱ）求证：直线BD 与CE 的交点Q 总在椭圆
+y 2=（
）2上．
21．（本小题满分12分）
如图，多面体中，四边形ABCD 为菱形，且，，，
ABCDEF 60DAB
∠= //EF AC 2AD =
.
EA ED EF ===（1）求证：；
AD BE ⊥
（2）若，求三棱锥的体积.
BE =-F BCD
22．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集；（2）当[]01x ∈，
时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．
23．已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，长轴在x 轴上，离心率为，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）椭圆C 的标准方程．
（Ⅱ）已知P 、Q 是椭圆C 上的两点，若OP ⊥OQ ，求证：为定值．
（Ⅲ）当
为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP ⊥OQ 是否成立？并说明理由．
24．已知曲线（，）在处的切线与直线2
1()f x e x ax
=+0x ≠0a ≠1x =2
(1)20160e x y --+=平行．
（1）讨论的单调性；
()y f x =（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．
()ln kf s t t ≥(0,)s ∈+∞(1,]t e ∈
平房区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m 则由题意知，
解得d=
．
故选：D ．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．　
2． 【答案】B
【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x ＞1}；∴P ⊊M ．故选B ．　
3． 【答案】
【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P ＝.
310
4． 【答案】C ．【解析】解：∵2a =3b =m ，∴a=log 2m ，b=log 3m ，∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab=a+b ，∵ab ≠0，
∴+=2，
∴=log m 2， =log m 3，∴log m 2+log m 3=log m 6=2，解得m=．
故选 C
【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．　
5． 【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为的正方体21111ABCD A B C D -中的一个四面体,其中，∴该三棱锥的体积为，选B ．1ACED 11ED =112
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=6． 【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，∴a ＜0，且△=b 2﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．故选A ．　
7． 【答案】A 【解析】
考
点：棱锥的结构特征．8． 【答案】A
【解析】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N ⊆M 当N ⊆M 时，a 2=1或a 2=2有
所以“a=1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件．故选A ．　
9． 【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，∴2a ﹣1=9或a 2=9，
当2a ﹣1=9时，a=5，A ∩B={4，9}，不符合题意；当a 2=9时，a=±3，若a=3，集合B 违背互异性；∴a=﹣3．故选：B ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．　
10．【答案】]【解析】
试题分析：设()()
2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，因为函数()1f x =-在[0)+∞，上的值域为(0]-∞，，所以(0]A -∞⊆，，因此()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，中的每一个数，又()01h =，于是，实数需要满足0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得94a ≤．
考点：函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。

首先求出A ，再利用转化思想将命题条件转化为(0]A -∞⊆，，进而转化为()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，
中的每一个数，再利用数形结合思想建立不等式组：0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，从而解得9
4a ≤．
11．【答案】D
【解析】解：y'=2x ，设切点为（a ，a 2）
∴y'=2a ，得切线的斜率为2a ，所以2a=tan45°=1，∴a=，
在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D ．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
12．【答案】A 【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
二、填空题
13．【答案】﹣280 解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=
．
由
，得r=3．
∴x 2的系数是．
故答案为：﹣280．14．【答案】　1　．
【解析】解：（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，
故答案为：1．　
15．【答案】　y=﹣1.7t+68.7　
【解析】解：=，==63.6．
=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．
=4+1+0+1+2=10．
∴=﹣=﹣1.7.=63.6+1.7×3=68.7．
∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7．
故答案为y=﹣1.7t+68.7．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．
16．【答案】
【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：。

17．【答案】①②④
【解析】
三、解答题
18．【答案】（1） ，，;（2）.22=D 24-=E 8=F 2=AB 【解析】
试
题解析：（1）由题意，圆方程为，且，
C 2)()(2
2
=-+-b y a x 0,0><b a ∵圆与直线及轴都相切，∴，，∴，C 043=+y x y 2-=a 25
|
43|=+b a 22=b ∴圆方程为，
C 2)22()2(22=-++
y x 化为一般方程为，0824222
2
=+-++y x y x ∴，，.
22=D 24-=E 8=F （2）圆心到直线的距离为，
22,2(-C 022=+-y x 12
|
22222|=+--=d ∴.
21222||2
2
=-=-=d r AB 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.119．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=0，a 6+a 8=10．
∴，解得，
∴a n﹣1+（n﹣1）=n﹣2．
（2）=．
∴数列{}的前n项和S n=﹣1+0+++…+，
=+0++…++，
∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，
∴S n=．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（），
故，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则
，
由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，
显然x1≠x0，从而=，
∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．　
21．【答案】
【解析】【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．
（2）在中，，，
EAD △EA ED ==2AD =
22．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎭
，，．【解析】
试题分析：（1）由于1
2
2a -==⇒()141272
22x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪
⎝
⎭，；（2）由()()2741
44227lg 241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<A ．设()44lg lg 128a g x x a =+A ，
原命题转化为()()10
12800
g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎭ ，，．
考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数
与不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思
想和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎭ ，，．23．【答案】
【解析】（I ）解：由题意可设椭圆的坐标方程为
（a ＞b ＞0）．
∵离心率为，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为4．∴
，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b 2=a 2﹣c 2=3．∴椭圆C 的标准方程为
．
（II ）证明：当OP 与OQ 的斜率都存在时，设直线OP 的方程为y=kx （k ≠0），则直线OQ 的方程为y=﹣x （k ≠0），P （x ，y ）．
联立，化为，
∴|OP|2=x 2+y 2=，同理可得|OQ|2=
，
∴
=
+
=
为定值．
当直线OP 或OQ 的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．因此=
为定值．（III ）当
=
定值时，试探究OP ⊥OQ 是否成立？并说明理由．
OP ⊥OQ 不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP 或OQ 的斜率一个为0而另一个不存在时，则=
=
=
，满足条件
．
当直线OP 或OQ 的斜率都存在时，
设直线OP 的方程为y=kx （k ≠0），则直线OQ 的方程为y=k ′x （k ≠k ′，k ′≠0），P （x ，y ）．联立
，化为
，
∴|OP|2=x 2+y 2=，
同理可得|OQ|2=，∴
=
+
=
．
化为（kk ′）2=1，∴kk ′=±1．
∴OP ⊥OQ 或kk ′=1．因此OP ⊥OQ 不一定成立．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　
24．【答案】（1）在，上单调递增，在，上单调递减；（2）
()f x 1(,)e -∞-1(,)e +∞1(,0)e -1(0,)e
.1
[,)2
+∞
【解析】
试题解析：（1）由条件可得，∴，2
21
'(1)1f e e a
=-
=-1a =由，可得，
2
1()f x e x x
=+2222211'()e x f x e x x -=-=由，可得解得或；
'()0f x >2210,0,
e x x ⎧->⎨≠⎩1x e >1
x e <-由，可得解得或．
'()0f x <2210,0,
e x x ⎧-<⎨≠⎩10x e -<<1
0x e <<所以在，上单调递增，在，上单调递减．
()f x 1(,e -∞-1(,)e +∞1(,0)e -1
(0,e
（2）令，当，时，，，
()ln g t t t =(0,)s ∈+∞(1,]t e ∈()0f s >()ln 0g t t t =>由，可得在，时恒成立，
()ln kf s t t ≥ln ()
t t
k f s ≥(0,)x ∈+∞(1,]t e ∈即，故只需求出的最小值和的最大值．max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦max
()()g t f s ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦()f s ()g t 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
()f s 1(0,e 1(,)e
+∞故的最小值为，
()f s 1(2f e e
=由可得在区间上恒成立，
()ln g t t t ='()ln 10g t t =+>(1,]e 所以在上的最大值为，()g t (1,]e ()ln g e e e e ==所以只需，122
e k e ≥
=所以实数的取值范围是.
1[,)2
+∞考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的
范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.。