九年级数学二次函数应用之最大利润问题(教师版)

分析：（1）根据图象一次函数表达式易求得；（2）销售额＝销售单价×销售量；（3）结合图象说明． 解：（1）设y ＝kx +b ，由图象知一次函数图象过点（60，5），（80，4）
⎩⎨⎧+=+=∴b k b k 804605 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,
20
1b k .8201+-=∴x y 120)40)(820
1(12040)2(--+-
=--=x x y yx z .60)100(201
4401020122+--=-+-=x x x
∴当x ＝100时，即销售单价为100元时，年获利最大，最大值为60万元。

（3）令z ＝40，得,4401020
1402
-+-
=x x 即,096002002=+-x x 解得.120,8021==x x
由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间。

又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元。

变式训练
1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z （元）会相应降低且z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。

（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，
（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；
（3）要使该商场销售彩电的总收益W （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最
大值。

解：（1）该商场销售家电的总收益为800×200＝160000（元）。

（2）依题意可设8001+=x k y
2002+=x k z
∵图①的直线过点（400,1200）．图②的直线过点（200，160），∴有400k 1+800＝1200,200k 2+200＝160. 解得.2005
1
,80051
,121+-=+=∴-==x z x y k k （3）由题意，得1(800)(200)5W yz x x ==+-
+16000040512++-=x x .162000)100(5
1
2+--=x ∴政府应将每台补贴款额x 定为100元时，该商场销售彩电的总收益取得最大值，其最大值为162000元。

题型三：实际问题中的方案决策
例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。

阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。

预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。

（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）；
（2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。

（参考数据：732.13≈）
分析：（1）总造价＝活动区域的面积×60+绿化区域的面积×50；（2）令y ＝469000，求出x 的值，看是否符合实际的取值范围即可，
解：（1）∵绿化区域的长边长为x cm ，
∴出口宽为（100-2x ）m ，绿化区域的短边长为
.)10()]2100(80[2
1
m x x -=--⨯ ∴绿化区域的面积为：.404)10(42
x x x x -=-
活动区域的面积为：.4048000)10(4801002
x x x x +-=--⨯
总造价)4048000(60)404(502
2
x x x x y +-⨯+-⋅=x x x x 2400240480000200020022+-+-=
).2520(480000400402≤≤++-=x x x
（2）能，,469000480000400402
=++-x x ,0275102
=--∴x x 解得.31052
3
2010±=±=
x 32.223105≈+=∴x （负值舍去）
，即投资46.9万元能完成工程任务。

方案一：一块矩形绿化区域的长为23 m ，宽为13 m ； 方案二：一块矩形绿化区域的长为24 m ，宽为14 m ； 方案三：一块矩形绿化区域的长为25 m ，宽为15m 。

变式训练
1．为纪念辛亥革命100周年，某广告公司要设计一幅周长为12 m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x （ m ），面积为S （m 2）。

（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用；
（3）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费用．（精确到1元，参考资料：①当矩形的长是宽与（长+宽）的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形；)236.25≈
解：（1）∵矩形的周长为12m ，其中一边长为xm ，
∴S ＝x （6 -x ）＝x x 62
+-，自变量x 的取值范围是0 ＜x ＜6．
（2）∵S ＝x x 62
+-＝9)3(2
+--x ，∴当x ＝3时，S 最大为9，此时广告费用最多，即矩形广告牌设计成
边长为3m 的正方形时，面积最大，最大面积为9 m 2，此时可获得的最多设计费用为9×1000 ＝9000（元）。

（3）设黄金矩形的长为am ，宽为bm ，根据题意，得⎩⎨⎧+==+),(,
62
b a b a b a
解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,539,353b a 或⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧
+=--=.
539,353b a （舍去）
即当矩形长为m )353(-时，将成为黄金矩形．所以⋅-=--==)25(36)539)(353(ab S 此时可获得设计费为⨯=-⨯36000)25(361000⋅=-)元(8496)2236.2(
一、能力培养
某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件。

已知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲 6 a 20 200 乙
20
10
40＋0.05x 2
80
其中a 为常数，且3≤a ≤5。

（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y 1万元、y 2万元，直接写出y 1、y 2与x 的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。

学法升华
一、知识收获
二、方法技巧总结
利用二次函数求利润问题的一般步骤是： （1）设未知数，引入自变量；
（2）用含自变量的代数式分别表示销售单价或销售量及销售收入； （3）用含自变量的代数式表示销售商品的购进成本；
（4）用因变量（函数）及含自变量的代数式分别表示销售利润，列出函数关系式； （5）根据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值。

课后作业
1．关于二次函数742
-+=x x y 的最大（小）值叙述正确的是（ ）
A ．当x ＝2时，函数有最大
B ．当x ＝2时，函数有最小值
C ．当x ＝-2时，函数有最大值
D ．当x ＝-2时，函数有最小值 2．二次函数1422+--=x x y ．当-5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别为（ ）
A ．1, -29
B ．3, -29
C ．1, -3
D ．3,1
3．将进货单价70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降低1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润应降价（ ）
9．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求。

若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元，已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价y ，（万元）之间满足关系式y 1＝170-2x ，月产量x （套）与生产总成本y 2（万元）存在如图所示的函数关系。

（1）直接写出y 2与x 之间的函数关系式； （2）求月产量x 的范围；
（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？
参考答案
1．D 提示：y ＝x 2+4x -7＝（x +2）2-11．∵a ＞0．∴函数有最小值，当x ＝-2时，函数的最小值是-11.
2．B 提示：y ＝-2x 2-4x +1＝-（x +1）2+3 ∵-5≤x ≤0，∴当x ＝-1时，y 有最大值3；当x ＝-5时，y 有最小值-29．
3．A 摄示：设降价x 元时，利润为y 元，则y ＝（100 -70 -x ）（ 20+x ）＝-2x + 10x +600＝-（x -5）2+625，可求得x ＝5时，y 取得最大值．
4．高)817,4
5( 5．y ＝3
)1(22+-x 向上 （1，3） 1 小 ＜1 6．＞ 提示：画出函数草图，开口向上，可以发现点（-1．，y 1）．（2,y 2）中，点（-1，y 1）到对称轴x ＝1的距离较远，∴y 1＞y 2.
7．解：由题意得，函数与x 轴两交点为（-7，0）、（1，0）．设y ＝a （x +7）（x 一1）．∵当x ＝-3时，y ＝4， ∴a +-=∴-=∴=--+-2(41,41,4)13)(73(x y a ⋅+--=-4
72341)762x x x 8．解：（1）依题意得：y ＝（40-x ）（20+2x ）＝-2x 2+60x + 800．
（2）y ＝ -2x 2 +60x +800＝ -2（x - 15）2 +1250.当x ＝ 15时，y 有最大值1 250.
因此，每桶柴油降价15元后出售，可获得最大利润．与降价前比较，每天销售这种柴油可多获得1250 - 40×20 ＝450（元）．
9．解：（1）y 2 ＝30x +500. （2）依题意得：⎩⎨⎧⋅
≥-≤+,902170,.5050030x x x 解得25≤x ≤40.
)50030()2170()3(21+--=-⋅=x x x y y x W .50014022-+-=x x ∴W ＝ -2（x -35）2+1950． 而25＜35＜40,∴当x ＝35时，W 最大＝1950.即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万。