高一数学平面向量知识点复习课件.ppt
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平面向量单元复习2高一数学必修4PPT课件
角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，
求向量a＋b＋c与a的夹角. 150°
例4 设向量a、b不共线，已知 AB 2a＋kb，BC a＋b，CD a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值.
k=－1
例5 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
(7) cos
ab |a ||b
|;
(8) |a|cos a|bb|.
范例分析
例1 已知向量a、b满足：|a|=4，且 a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.
1
例2 已知非零向量a、b满足： (a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量 a与b的夹角.
60°
例3 已知向量a、b、c两两之间的夹
第二章 平面向量 单元复习 第二课时
知识结构
t
p
1 2
5730
线性运算
基本定理
向 量
实际背景 向量
的 实
际
坐标表法的运算性质
（1）a＋b=b＋a； （2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； （3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0； （4）若b＋c＝a，则c＝a－b； （5）|a±b|≤|a|＋|b|，|a±b|≥||a|－|b||； （6）O A 1A 1 A 2A 2 A 3 A n 1 A n O A n
例6 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
求向量a＋b＋c与a的夹角. 150°
例4 设向量a、b不共线，已知 AB 2a＋kb，BC a＋b，CD a－2b， 且A、B、D三点共线，求实数k的值.
k=－1
例5 设e为单位向量，且向量a≠e， 若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－ e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
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演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
(7) cos
ab |a ||b
|;
(8) |a|cos a|bb|.
范例分析
例1 已知向量a、b满足：|a|=4，且 a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.
1
例2 已知非零向量a、b满足： (a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量 a与b的夹角.
60°
例3 已知向量a、b、c两两之间的夹
第二章 平面向量 单元复习 第二课时
知识结构
t
p
1 2
5730
线性运算
基本定理
向 量
实际背景 向量
的 实
际
坐标表法的运算性质
（1）a＋b=b＋a； （2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； （3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0； （4）若b＋c＝a，则c＝a－b； （5）|a±b|≤|a|＋|b|，|a±b|≥||a|－|b||； （6）O A 1A 1 A 2A 2 A 3 A n 1 A n O A n
例6 已知向量a、b满足：|a|=4， |b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当 t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.
高一数学《平面向量基本定理》(课件)
A
C
a
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
C
a
A
e1
a
O
C'
e2B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
a
A
e1
a
O
C'
e2B
N
平面向量基本定理:
平面向量基本定理:
N
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
高一数学平面向量知识点复习课件.ppt
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
高一数学《平面向量基本定理》(课件)
e1 e1O
A'
A
e2B
a
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
怎样构造平行四边形 ？
C
M
a e1 A
e1 e1O
A'
A
e2B
a
N B' e2 O e2 B M
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
怎样构造平行四边形 ？
C
M
a e1 A
e1 e1O
A'
A
e2B
a
N
N B' e2 O e2 B M
它们之间会有
e1 a
怎样的关系呢？ e2
2. 动手操作，探测命题:
2. 动手操作，探测命题:
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
a C
e2
2. 动手操作，探测命题:
将三个向量的起点移到同一点：
e1
e1 A a
O
C
e2
2. 动手操作，探测命题:
将三个向量的起点移到同一点：
e1
e1 A a
O
C
e2
M
e2
B
C
M
a
A
e1
a
O
C'
e2B
N
平面向量基本定理：
平面向量基本定理：
如果 e1, e2是同一平面内两个不共线的 向量，那么对这一平面内任意一个向量 a,
有且只有一对实数1, 2 , 使 a 1e1 2 e2 .
平面向量基本定理：
如果 e1, e2是同一平面内两个不共线的 向量，那么对这一平面内任意一个向量 a,
其逆命题是否成立?
高一数学 平面向量 ppt
与直线MN相交于P， 7,2若直线l:kx - y 1 0 与线段MN相交，求k 的取值范围
线段MN 的延长线
5、平面向量的数量积—知识回忆（一） 非零向量OA=a， OB=b， （1） a,b夹角∠AOB=θ (0≤θ≤π) ① θ=0同向②θ=π反向③两向量首尾相接 形成的角为夹角的补角④两向量终点 相同形成的角与夹角相等 （2）a与b夹角90。，a⊥b。 （3）a·b=|a|·|b|cosθ (0·a=0) （4） a⊥b a· b=0 （5）a· b几何意义，θ为a与b夹角则 |a|cosθ叫a在b上投影。
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,零 向量与任何向量平行.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
（4）加法、减法
三角形法则(首尾相接),平行四边形法则(共起点)
（5）运算性质：
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)
一、知识回顾：
a b a b a b
B B C
平行交差
例1 :a 3,2,b 1,2,c 4,1
1求满足a m b nc的实数m,n 2若a kc//2b a,求实数k 3设d x,y 满足d c//b a,
且 d c 1,求d
4、线段的定比分点—知识回忆
例2：设e1、e2是两个不共线的向量，已知向量 =2e1+ke2，
AB
CB =e1+3e2， CD
=2e1-e2，
若A、B、D三点共线，求k的值。
例4、若G为 ABC的重心， 则GA GB GC
例4、已知平行四边形OAD B的对角线OD, AB相交于点C, 线段BC上有一点M,满足BC 3BM,线段CD上有点N,满足
线段MN 的延长线
5、平面向量的数量积—知识回忆（一） 非零向量OA=a， OB=b， （1） a,b夹角∠AOB=θ (0≤θ≤π) ① θ=0同向②θ=π反向③两向量首尾相接 形成的角为夹角的补角④两向量终点 相同形成的角与夹角相等 （2）a与b夹角90。，a⊥b。 （3）a·b=|a|·|b|cosθ (0·a=0) （4） a⊥b a· b=0 （5）a· b几何意义，θ为a与b夹角则 |a|cosθ叫a在b上投影。
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,零 向量与任何向量平行.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
（4）加法、减法
三角形法则(首尾相接),平行四边形法则(共起点)
（5）运算性质：
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)
一、知识回顾：
a b a b a b
B B C
平行交差
例1 :a 3,2,b 1,2,c 4,1
1求满足a m b nc的实数m,n 2若a kc//2b a,求实数k 3设d x,y 满足d c//b a,
且 d c 1,求d
4、线段的定比分点—知识回忆
例2：设e1、e2是两个不共线的向量，已知向量 =2e1+ke2，
AB
CB =e1+3e2， CD
=2e1-e2，
若A、B、D三点共线，求k的值。
例4、若G为 ABC的重心， 则GA GB GC
例4、已知平行四边形OAD B的对角线OD, AB相交于点C, 线段BC上有一点M,满足BC 3BM,线段CD上有点N,满足
平面向量的基本定理PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
高一数学平面向量精品PPT课件
答案： AD=2 b BE=2 c BF= c－a FC=2 a
思考： a、b、c 有何关系？
A a B
b C
b =a + c
cF
0
E
D
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习3 已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5） 求 （1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标； （3） AB－AC的坐标.
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1x22y1y22
知识结构
平面向量复习
抵达民宿时，太阳已落下了帷幕，温馨点点的灯光在落寞的黑夜中显得无比温暖。
热情周到的女主人迎接我的到来，放下随身物品后，我在小镇上随意寻觅了些小食，就来到了后院安静坐下。
头顶上是浩瀚的星空 眼前是闪烁的灯火
心中却是平和幽静的情感
远离了呼啸而过的地铁呼啸声；远离了川流不息的车流声； 等到了一个此时此刻，用我的五官感受到了一个真正美好寂静的夜晚，属于自己的夜晚。
进行变形.
解：（1）原式= AB +（BO + OM + MB）
= AB + 0 = AB （2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
例1
= 0－BA = AB
平面向量复习
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
高一数学平面向量复习课件
详细描述
向量数量积的几何意义在于它表示了两个向量的长度和它们之间的夹角之间的关系。具体来说，当两个非零向量 的夹角为锐角时，它们的数量积为正；当夹角为直角时，数量积为零；当夹角为钝角时，数量积为负。
向量数量积的运算律
总结词
掌握向量数量积的运算律，包括 交换律、结合律和分配律。
详细描述
向量数量积满足交换律，即 a·b=b·a；结合律，即 (a+b)·c=a·c+b·c；分配律，即 (λa)·b=λ(a·b)，其中λ是标量。
向量积的性质
向量积的性质
1. 向量积的方向与两个向量的夹角和大小有 关，其方向垂直于两个给定向量所确定的平 面；2. 向量积的模长为|a×b|=|a||b|sinθ； 3. 向量积满足结合律但不满足交换律；4. 向量积可以用来表示向量的旋转关系。
性质的应用
在解析几何中，向量积可以用来解决与旋转 、速度和加速度有关的问题；在物理中，向 量积可以用来描述力矩、角速度等物理量。 通过理解这些性质和应用，学生可以更好地
向量积的运算律
向量积的运算律
交换律a×b=-b×a，分配律 (a+b)×c=a×c+b×c。这些运算律与标量积 的运算律类似，但要注意向量积不满足结合 律。
运算律的理解
交换律表明向量积的方向与夹角有关，而分 配律表明向量积与向量的线性组合是可分配 的。这些运算律对于理解向量积的性质和计 算非常重要。
混合积的性质
非负性
向量a、b、c的混合积为非负数，当且仅当a、b、c三个 向量共面时取值为0。
线性性质
混合积满足线性性质，即对于任意标量m和n，有 $(mvec{a} + nvec{b}) cdot vec{c} = mvec{a} cdot vec{c} + nvec{b} cdot vec{c}$。
向量数量积的几何意义在于它表示了两个向量的长度和它们之间的夹角之间的关系。具体来说，当两个非零向量 的夹角为锐角时，它们的数量积为正；当夹角为直角时，数量积为零；当夹角为钝角时，数量积为负。
向量数量积的运算律
总结词
掌握向量数量积的运算律，包括 交换律、结合律和分配律。
详细描述
向量数量积满足交换律，即 a·b=b·a；结合律，即 (a+b)·c=a·c+b·c；分配律，即 (λa)·b=λ(a·b)，其中λ是标量。
向量积的性质
向量积的性质
1. 向量积的方向与两个向量的夹角和大小有 关，其方向垂直于两个给定向量所确定的平 面；2. 向量积的模长为|a×b|=|a||b|sinθ； 3. 向量积满足结合律但不满足交换律；4. 向量积可以用来表示向量的旋转关系。
性质的应用
在解析几何中，向量积可以用来解决与旋转 、速度和加速度有关的问题；在物理中，向 量积可以用来描述力矩、角速度等物理量。 通过理解这些性质和应用，学生可以更好地
向量积的运算律
向量积的运算律
交换律a×b=-b×a，分配律 (a+b)×c=a×c+b×c。这些运算律与标量积 的运算律类似，但要注意向量积不满足结合 律。
运算律的理解
交换律表明向量积的方向与夹角有关，而分 配律表明向量积与向量的线性组合是可分配 的。这些运算律对于理解向量积的性质和计 算非常重要。
混合积的性质
非负性
向量a、b、c的混合积为非负数，当且仅当a、b、c三个 向量共面时取值为0。
线性性质
混合积满足线性性质，即对于任意标量m和n，有 $(mvec{a} + nvec{b}) cdot vec{c} = mvec{a} cdot vec{c} + nvec{b} cdot vec{c}$。
高一数学平面向量ppt课件
最后它们的判断方向.
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
a∥b
x1y2－x2y1=0
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
平面向量的基本定理 动画演示(几何画板)
设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该
平面内的任何一个向量 a ，有且只有一对实数λ1、λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2
不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有 向量 的一组基底
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习1
已知向量a=（5，m）的长度是13，求m. 答案： m = ± 12
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
1.向量的加法运算 三角形法则
AB+BC= AC
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
高一数学平面向量复习课件
解： e1 4 ， e 2 1 ， e1 e2 1 ∴
2
2
2 (2te1 7 e 2 ) (e1 te 2 ) 2te1 (2t 2 7 )e1 e 2 7 te 22 2t 2 15t 7 2t 2 15t 7 0 7 t 1 设 2 e1 7 e 2 ( e1 te 2 ) 2 ( 0)
∴
2 t 14 2t 2 7 t , 14 2 7 t
∴
t
14 时， 2te1 7 e 2 与 e1 te 2 的夹角为 ， 2 14 14 1 ) ( , ) 。 2 2 2
∴
t 的取值范围是 ( 7,
a =λ 1 e1 +λ
2
e2
向量相等的等价条件
λ1 e1 +μ1 e2 =λ2 e1 +μ2 e2 λ1= λ2 μ 1=μ2
3.非零向量平行（共线）的等价条件 向量表示： a∥b
a=λb （λ∈R且b≠0）
坐标表示： 设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则
a∥ b
题组五、平移
x π π 例5（1）将y 2cos 图象按向量a ， 2 平移，则平移后所得图象的解析式为 ____ 3 6 4
⑵将y=f(x)的图象按向量 a 平移后，得到函数y=f(x+1)-2的图象， 则向量 a =___
题组六: 向量综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0,
2
)．
（1）求 sin 和 cos 的值； （2）若 sin( )
2
2
2 (2te1 7 e 2 ) (e1 te 2 ) 2te1 (2t 2 7 )e1 e 2 7 te 22 2t 2 15t 7 2t 2 15t 7 0 7 t 1 设 2 e1 7 e 2 ( e1 te 2 ) 2 ( 0)
∴
2 t 14 2t 2 7 t , 14 2 7 t
∴
t
14 时， 2te1 7 e 2 与 e1 te 2 的夹角为 ， 2 14 14 1 ) ( , ) 。 2 2 2
∴
t 的取值范围是 ( 7,
a =λ 1 e1 +λ
2
e2
向量相等的等价条件
λ1 e1 +μ1 e2 =λ2 e1 +μ2 e2 λ1= λ2 μ 1=μ2
3.非零向量平行（共线）的等价条件 向量表示： a∥b
a=λb （λ∈R且b≠0）
坐标表示： 设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则
a∥ b
题组五、平移
x π π 例5（1）将y 2cos 图象按向量a ， 2 平移，则平移后所得图象的解析式为 ____ 3 6 4
⑵将y=f(x)的图象按向量 a 平移后，得到函数y=f(x+1)-2的图象， 则向量 a =___
题组六: 向量综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0,
2
)．
（1）求 sin 和 cos 的值； （2）若 sin( )
高一数学平面向量复习1(PPT)5-4
【部门】名组成某一整体的部分或单位：工业～｜文教～｜～经济学（如工业经济学、农业经济学）｜一本书要经过编辑、出版、印刷、发行等～，然后才 能跟读者见面。 【部首】名字典、词典等根据汉字形体偏旁所分的门类，如山、口、火、石等。 【部属】名部下。 【部署】动安排；布置（人力、任 务）：～工作｜战略～｜～了一个团的；房地产网络 / ； 兵力。 【部头】（～儿）名书的厚薄和大小（主要指篇幅多的书）： 大～著作。 【部委】名我国国务院所属的部和委员会的合称。 【部位】名位置（多用于人的身体）：发音～｜消化道～。 【部下】名军队中被统率的人， 泛指下级。 【埠】①码头，多指有码头的城镇：船～｜本～｜外～。②商埠：开～。 【埠头】〈方〉名码头。 【瓿】〈书〉小瓮：酱～。 【蔀】①〈书〉 遮蔽。②古代历法称七十六年为一蔀。 【篰】〈方〉名竹子编的篓子。 【簿】①簿子：账～｜练习～｜收文～｜记事～。②（）名姓。 【簿册】名记事记 账的簿子。 【簿籍】名账簿、名册等。 【簿记】名①会计工作中有关记账的技术。②符合会计规程的账簿。 【簿子】?名记事或做练习等用的本子。 【拆】 〈方〉动排泄（大小便）。 【拆烂污】〈方〉比喻不负责任，把事情弄得难以收拾（烂污：稀屎）：他做出这等～的事，气坏我了。 【擦行的充要条件
七、非零向量垂直的充要条件
八、线段的定比分点
设 p1, p2 是 l 上的两点，P是 l 上_______的任意
一点，则存uuu在ur 实数 ，使________，则 为点Pu分uuur
有向线段 p1 p2 所成的比，同时，称P为有向线段p1 p2 的定比分点 定比分点坐标公式及向量式
柴｜摩拳～掌｜手～破了皮。②用布、手巾等摩擦使干净：～汗｜～桌子｜～玻璃◇～亮眼睛。③涂抹：～油｜～粉｜～红水。④贴近；挨着：～黑儿｜～ 肩而过｜燕子～着水面飞。⑤把瓜果等放在礤床儿上来回摩擦，使成细丝儿：把萝卜～成丝儿。 【擦边球】名打乒乓球时擦着球台边沿的球，后来把做在规 定的界限边缘而不违反规定的事比喻为打擦边球：按规矩办事，不打政策～。 【擦黑儿】〈方〉动天色开始黑下来：赶到家时，天已经～了。 【擦屁股】? 比喻替人做未了的事或处理遗留的问题（多指不好办的）：你别净在前边捅娄子，要我们在后边～。 【擦拭】动擦?：～武器。 【擦洗】动擦拭，洗涤：～ 餐桌｜这个手表该～～了。 【擦音】ī名口腔通路缩小，气流从中挤出而发出的辅音，如普通话语音中的、、等。 【擦澡】∥动用湿毛巾等擦洗全身：擦把澡。 【嚓】拟声形容物体摩擦等的声音：摩托车～的一声停住了。 【?】见页［礓?儿］ 【礤】〈书〉粗石。 【礤床儿】名把瓜、萝卜等擦成丝儿的器具，在木 板、竹板等中间钉一块金属片，片上凿开许多小窟窿，使翘起的鳞状部分成为薄刃片。 【偲】〈书〉多才。 【猜】①动根据不明显的线索或凭想
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a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a （x1 ,
说明：实数与向量的积的坐标 y1） 等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标。 于它们对应坐标的乘积的和。
a b ( x1x2 , y1 y2 ) 说明：两个向量的数量积等
(h, k ) x x h y y k
例5
设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
P 1 P 2 PP 2
，求点P 的坐标。
y log 2 ( x 2) 3 的图象经过 怎样的平移，可以得到函数 y log 2 x的图象？
例6 （1）函数
a 2b =（3，2）-2（λ
=（3-2λ ，-12） =（-2，μ ）
，7）
∴
3-2λ =-2
μ =-12
5 ∴λ = ，μ =-12 2
三、两个重要定理 1、向量共线充要条件 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有 一个实数λ，使得
b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。 2、平面向量基本定理 那么对于这一平面的任一个向量 a ，有且只有一对实 如果 e1 , e2 是同一个平面内的两个不共线向量，
数 1 , 2 ，使
a 1 e1 2 e2
四、数量积的主要应用
1、计算向量的模
x2 y2
2、两点间距离公式：
AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
3、计算两个向量的夹角：
cos
a b ab
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a b c sin A , sin B , sin C 2R 2R 2R
sin A : sin B : sin C a : b : c
六、余弦定理及其变形公式
a 2 b 2 c 2 2bc sin A b 2 c 2 a 2 2ca sin B c 2 a 2 b 2 2absin C
a 3b垂直； （2） k a b与 a 3b平行？平行时它们是同向
解：由已知 k a b=（k-3，2k+2）， a 3b =（10，-4）
（1）当 (k a b) (a 3b) 0 时，这两个向量垂直。
由（k-3）×10+（2k+2）×（-4）=0，得：k=19
y cos( x ) 2的图象经过怎样的 3 平移，可以得到函数 y cos x的图象？
（2）函数
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC 1 1 1 bc sin A ca sin B ab sin C 2 2 2
OB OA AB
O
A
BA OA OB
B
a
b
a( 0)
a( 0)
O
a
实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换。
a b | a | | b | cos | OM | | OA |
M A
坐标方法
设向量 则 a （x1，y1）， b （x2，y2） 说明：两个向量和 与差的坐标分别等 于这两个向量相应 坐标的和与差。
变形
b2 c2 a 2 cos A 2bc c2 a 2 b2 cos B 2ca a2 b2 c2 cosC 2ab
1、完成试卷（九）、（十），星期三上交 2、看试卷（七），明天讲解
向量运算律 1、实数与向量的积运算律
（ 1 ）（ a ） ( )a （2）（ ） a a a （3）（a b ） a b
2、平面向量数量积的运算律
思考：你能将此 运算律用坐标表 示出来吗？
（ 1 ） a b b a (2)( a) b (a b) a ( b) (3)(a b) c a c b c
4、向量垂直充要条件：a b 0
坐标表示：x1x2+y1y2=0
5、向量共线（平行）充要条件： b 坐标表示：x1y2-x2y1=0
a
注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线） 垂直或平行的重要方法之一。
例4 已知 值时，
a =（1，2）， b =（-3，2），当k为何
（1） k a b与 还是反向？
一、向量及其有关概念
向量的几何表示
向量的模 零向量 有向线段
向 量
单位向量
平行向量 共线向量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 何 方 法
加法 减法 实数与向量的积
向 量 的 运 算
坐 标 方 法
加法 减法 实数与向量的积 平面向量数量积
几何方法： B
OC OA OB
B
A
C
O B
O
A
k a b 与 a 3b 平行时，存在唯一实数λ， ) 使 k a b=λ (a 3b，由（ k-3，2k+2）= λ（10，-4）
（2）当
k 3 10 2k 2 4
解得 k ,
1 3
1 3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式 设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P 1P PP 2 ，则
x y
x1 x2 1 y1 y2 1
1
中点公式
x1 x2 x 2 y y1 y2 2
2、平移公式 如果点P（x1，y2）按向量 a
平移至 P( x, y)，则
1、 a 0, a b 0 b 0 2、 a b b c, b 0 a c 3、 (a b) c a (b c)
例3
设 a (3,2),b (,7), c (2, )，若
a 2b c，求 ，的值。
解：由已知条件，得：
例1
判断下列命题及其逆命题的真假：
1、若| a |= | b | ，则 a 与 2、若
b 是共线向量；
a∥ b ，则 a在 b 方向上的投影是 a ； 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若 a 0，则 0且 a 0
例2 判断下列运算律的正误