概率论2.2.2ppt

i 1 i 1
n
i 1
n
例: 有两批零件,其中一批全部合格,另一批有1/4是 次品,今从任意一批中随机抽取一个零件,经检验 它是合格品,将其放回原批中,再从该批中任取一 个零件,求它是次品的概率.
解: 设 B={最后抽得的是次品} A={第一次抽得的合格品是从有次品的一批中抽取的} 由全概率公式:
解： 设 B={取出白球}
}, i 1,2,3 Ai P( Ai ) P( B Ai )
i 1
3
1 1 3 5 53 [ ] 3 5 6 8 120
2.由Bayes公式:
P( A2 B)
P( A2) P( B A2) P( B)

注:
lim q ( n)
n r
1 1 r! e
0, r n 1 ( n ) qr 1 , rn n!
说明: 广义加法公式,乘法公式使用时注意灵活转换
P ( Ai ) 1 P ( Ai )
i 1 n n
P ( Ai ) 1 P ( Ai )
解:
设 B={一批产品通过检验} Ai={一批产品中含有i件次品}, i=0,1,2,3,4
则 P（ A0） 0.1, P( A1) 0.2, P( A2) 0.4, P( A3) 0.2, P( A4) 0.1
99 P( B A0) 1, P( B A1) C10 0.9, 10
故 q (n) P{恰有 r个信封上所写地址正确 }
r
1 Cn (n r ) q 0 n(n 1) (n r 1)
r
k nr nr 1 (1) 1 ( 1 ) Cn n(n 1)(n r 1) k 0 k! r! k 0 k!
r
k
1 3 3 2 4 1 3 1 7 1 2 4 2
1 3 3 故 P( B) 4 7 28
2.2
事件独立性
若 P(A)P(B)>0
且 P( A B) P( A),
2.2.1 两个事件的独立性
则称A对于B独立 则称A与B相互独立 P( AB) P( A) P( B) P( B A) P( B), 则称B对于A独立
说明:
概率很小但不能怀疑该诊断法“很有效”,原因是 P(C)太小所至,若在一群甲胎球蛋白高含量者用, 如取前例中P(C)=0.9412,这时P(C︱A)=0.9935 由此可见: 对一些疑难罕见病症用多种方法 检查是重要的!
例:
看P62例2.1.7, 数字通信中正确接收率判断
课堂练习:
1. 假设在100个灯泡中坏灯泡的个数从0到4是等可 能的,若从中任取10个灯泡结果都是好的,求100个 灯泡的确都是好的概率.
1 3 20 3 6 53 53 120
例(配对问题): 某人写了n封信,将其放入n个信封中,并在 每一个信封上分别任意地写上n个收信人中的一个 地址(不重复). 求: 1. 没有一个信封上所写的地址正确的概率q0(n) 2. 恰有r 个信封上所写的地址正确的概率qr(n) 解:
设 确}, A {第i个信封上所写的地址正
1 n
1 1 P( Ai A j ) P( Ai ) P( A j Ai ) n n 1
1 1 1 P( Ai A j Ak ) P( Ai ) P( A j Ai ) P( Ak Ai A j ) n n 1 n 2
1 P ( A1 An ) n!
1 1 n 1 1 1 [ ] (1) 故 q0(n)= n! i 1 n 1i j n n(n 1)
解: 设 B={取出的10个灯泡都是好的}
i个坏灯泡 }, i 0,1,2,3,4 Ai {100个灯泡中有
4 1 则 P( Ai) , i 0,1,2,3,4 且 Ai 5 i 0 P( A0) P( B A0) 由Bayes公式: P( A0 B) 4 P( Ai) P( B Ai)
故四条流水线应承担的责任分别为23.8%,25.4%,28.6% 和22.2%
思考: 例:
P( A1 B) P( A4 B)的原因？
某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产 品中次品最多不超过4件，且具有如下的概率分布：
一批中次品数 概 率
0
1
2 0.4
3 0.2
4 0.1
0.1 0.2
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验, 若发现其中有次品，则认为产品不合格. (1) 求一批产品通过检验的概率; (2) 当一批产品已通过检验的条件下确有2件次品的概率

1 1 5
i 0
1 4 C100 i 5 i 0 C10
100
10
0.245
2. 一道考题同时列出4个答案,要求学生选出一个(仅有 一个)正确答案,而某考生是否知道正确答案是等可能的, 若不知道就乱猜一个,如果已知他答对了,问他确实知道 该题的正确答案的概率是多少?
解： 设B={他答对了}， A={他知道}
P( B) P( A) P( B A) P( A) P( B A) 1 1 P ( A) P ( A) 0 P( A) 4 4
记 C={第一次抽得合格品} D={第一次从有次品的一批中抽取}
P( D) P(C D) P( D) P(C D) P( D) P(C D)
由Bayes公式: P( A) P( D C)
C
P( B A2)
100
C C
10
98 10 100
0.809
P( B A ) C C
3
10
97 10 100
0.727,
P( B A4)
4
C C
10
96 10 100
0.652
(1) 由全概率公式: P( B) P( Ai ) P( B Ai )
i 0
0.814
1 1 P( A) P( B A) 4 2 P( A B) P( A) P( B A) P( A) P( B A) 1 1 1 1 5 2 2 4
3. 三个箱子中,第一箱装有4个黑球1个白球,第二箱 装有3个黑球3个白球,第三箱装有3个黑球5个白球, 现先任取一箱,再从该箱中任取一球. 求: 1. 取出的球是白球的概率; 2. 若取出的为白球,则该球属于第二箱的概率.
P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.90
及 P(C ) 0.0004
若某人诊断患有肝癌,求他确患有肝癌的概率.
解: 由Bayes公式:
P(C A)
P(C ) P( A C ) P(C ) P( A C ) P(C ) P( A C )
0.0004 0.95 0.0038 0.0004 0.95 0.9996 0.1
0, 1 ( n ) q0 , 2 1 , 3 1 , 4 n 1 n2 n3
n4
1
2. P{仅指定的r个信封上所写的地址正确} =P{n封中指定的r封正确且n封中指定的n-r封都不正确}

A

B

1 P( AB) P( A)P(B A) n(n 1)(n r 1) q0 (n r )
(2) 由Bayes公式: P( A2 B)
P( A2) P( B A2)
P( A ) P( B A )
i i i 0
4

0.809 0.4 0.397 0.814
注: 例:
对厂家来说，关心P(B)，而对顾客来说更关心 的是P(Ai |B). 用甲胎球蛋白法诊断肝癌. 令 C={被检查者患有肝癌} A={被检查者诊断患有肝癌} 由过去的资料知:
1 1 3 n 1 1 1 [1 C n Cn (1) ] n(n 1) n(n 1)(n 2) n!
2
1 1 n 1 1 1 [1 (1) ] 2! 3! n!
…
n
(1) k! k 0
n
k
注:
lim q (n) e 0.37 0 n
i
i 1,2,, n
1. q0(n)=
P( A1 A2 An)
n i 1
P( Ai )
1 P ( Ai )
i 1 n
n 1 P ( A1) , P( A2 A1) ?, n

P( An A1 An 1) ?
乘法公式不好直接使用
又 P( Ai )