事件的关系与运算

事件的关系与运算专题介绍
内容简介
帮助高二学子对事件的关系与运算知识进行理解和运用，介绍了事件的关系与运算的几种出题形式．对事件的关系与运算的各知识点进行详细介绍，同时运用例题加深学生印象．例举出该知识可能出现的考点，针对考点设置例题供学生快速提升，并设置了详细的解析让学生参考，快速提升解答能力．
适用人群
适合中等及中等以下学生的难度．
学习效果
通过汇总快速解决问题的技巧以及相应的例题解析，巩固本学期内容，夯实基础，查缺补漏，为接下来的考试以及后续学习做好准备．
事件的关系与运算
核心知识点1：事件的概念及分类
核心知识点2：事件的关系与运算
核心知识点3：概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0，1]；
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
核心知识点4：事件与集合间的对应关系
1．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是（）
A．3件都是红色B．3件都是白色
C．至少有1件红色D．有1件白色
【解析】解：在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，
对于A，3件都是红色是随机事件，故A正确；
对于B，3件都是白色是不可能事件，故B错误；
对于C，至少有1件红色是确定性事件，故C错误；
对于D，有1件白色是随机事件，故D正确．
故选：AD．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系．
【解析】解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，
事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；
当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，
事件A一定不发生，因此A与B之间不存在包含关系，
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C．
3．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1或B1仅一人被选中的基本事件有（）个
A．4 B．5 C．6 D．10
【解析】解：现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，
其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．
从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1或B1仅一人被选中的基本事件有：
（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），共6个．
故选：C．
4．在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和小于5”这一事件是（）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上选项均有可能
【解析】解：根据题意，在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么这三个数字的和的最小值为1+2+3＝6，
所以事件“这三个数字的和小于5”一定不会发生，是不可能事件，
故选：B．
5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
（1）写出这个试验的所有结果；
（2）设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；
（3）把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．
【解析】解：（1）这个试验的所有可能结果为：
Ω＝{（a1，a2），（a1，b），（a2，b），（a2，a1），（b，a1），（b，a2）}．（2）A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}．
（3）①这个试验的所有可能结果为：
Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），（b，a2），（b，b）}．
②A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}．
必考必会题型1：事件类型的判断
【典型例题】给出下列四个命题，其中正确的命题为（）
A．“一元二次方程有解”是必然事件
B．“飞机晚点”是不可能事件
C．“冬天会下雪”是必然事件
D．“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件
【解析】解：A、“一元二次方程不一定有解”，“一元二次方程有解”是随机事件，故A错误．
B、“飞机晚点”是随机事件，故B错误．
C、“冬天会下雪”是随机事件，故C错误．
D、“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件，故D正确．
故选：D．
【题型强化】下列事件中是随机事件的个数有（）
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；是随机事件，
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；是必然事件．
③某人买彩票中奖；是随机事件．
④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．是不可能事件．
故选：B．
【收官验收】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（）
A．3个都是篮球B．至少有1个是排球
C．3个都是排球D．至少有1个是篮球
【解析】解：根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球，
分析可得：A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件；
故选：D．
【名师点睛】
对事件分类的两个关键点
（1）条件：事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
（2）结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
必考必会题型2：确定试验的样本空间
【典型例题】从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝．
【解析】解：取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品．
所以样本空间Ω＝{0，1，2，3，4}．
故答案为：{0，1，2，3，4}．
【题型强化】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，写出这个试验的样本空间．
【解析】解：根据题意，试验的样本空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．
【收官验收】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面．（1）写出这个试验的样本空间；
（2）用集合表示事件：M＝“恰有两枚正面朝上”．
【解析】解：（1）这个试验的基本事件为：Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，
（2）M＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}．
【名师点睛】
确定试验的样本空间的注意点：
（1）写试验的样本点时，要按照一定的顺序，避免重复和遗漏，常用的方法有列举法，列表法和树状图法等.
（2）试验的样本空间最终要写成集合的形式.
必考必会题型3：事件关系的判断
【典型例题】将黑桃A、红心A、方块A、梅花A四张不同花色的扑克牌分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张牌，则事件“甲分得黑桃A”与事件“乙分得黑桃A”是（）
A．不可能事件B．对立事件
C．不是互斥事件D．互斥但不对立事件
【解析】解：甲、乙两人不可能同时分得黑桃A，所以是互斥事件；
甲、乙两人可能都得不到黑桃A，所以不是对立事件，因此是互斥但不对立事件．
故选：D．
【题型强化】一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：
①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“都是次品”；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；
④“至少有1件次品”和“都是正品”．
其中互斥事件有组．
【解析】解：根据题意，依次分析所给的4个事件，
对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”不会同时发生，是互斥事件；
对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件；
对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；
对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”不会同时发生，是互斥事件，
故①④是互斥事件．
答案：2
【收官验收】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件？是不是对立事件？
（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；
（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；
（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
其中互为互斥事件的是，互为对立事件的是．
【解析】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件；
（2）“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件；
（3）“至少有1名男生”与“全是女生”不能同时发生，也不能同时不发生，既是互斥事件，又是对立事件；
（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，不是互斥事件．故答案为：（1），（3）；（3）．
【名师点睛】
判断事件间关系的方法
（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.
（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
必考必会题型4：事件的运算
【典型例题】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机），
事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）
A．A⊆D B．B ∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 【解析】解：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．
故选：D．
【题型强化】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A＝“1个红球和2个白球”，事件B＝“2个红球和1个白球”，事件C＝“至少有1个红球”，事件D＝“既有红球又有白球”．则：
（1）事件D与事件A，B是什么关系？
（2）事件C与事件A的交事件与事件A是什么关系？
【解析】解：（1）对于事件D，可能的结果为“一个红球和2个白球”或“2个红球和1个白球”，
故D＝A∪B；
（2）对于事件C，可能的结果为“一个红球和2个白球”，“2个红球和一个白球”或“3个红球”，
故C ∩A＝A，所以事件C与事件A的交事件与事件A相等．
【收官验收】简述事件和全集的关系．
【解析】解：随机试验的所有可能结果的集合构成全集，
随机试验的每一个可能结果构成一个基本事件，
所以，事件是构成全集的元素，全集包含所在的基本事件．
【名师点睛】
事件运算应注意的2个问题
（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
（2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.。