江苏省高三数学二轮专题训练 解答题(5)

江苏省高三数学二轮专题训练：解答题（5）
本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．(本小题满分14分)
平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,
且
//AD BC ．
（1）求x 与y 之间的关系式；
（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．
2．(本小题满分14分)
设定义在R 上的函数
()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*
N , 的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．
3．(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222
b a
c a c bc ==-+．
（1）求sin b B
c 的值；
（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．
4．(本小题满分16分)
如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为
4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．
（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养
殖区的最小面积．
1l
2l D A B
C 1l 2l
D A B C
（图甲） （图乙）
5．(本小题满分16分)
若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D
⊆，（其中a b <），使得当[]
x a b ∈，时，
()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．
（1）已知1
2
()f x x =是[0 )+∞，
上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2
()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求
出
实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
6．(本小题满分146分)
设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正
整数n ，()n n k a S f n +=都成立． （1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．
1．(本小题满分14分)
平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,
且
//AD BC ．
（1）求x 与y 之间的关系式；
（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【
解
】
（
1
）
由
题
意
得
(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =,
, ………………………2分
因为//AD BC ，
所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分 （
2
）
由
题
意
得
(
6
A C
A B B C
x
=+=++，，
(2 3)
BD BC CD x y =+=--，， ………………6分
因为AC BD ⊥， 所
以
(6)
(
2)x x y y +
-++-=，即2242150
x y x y ++--=，
② ………………………8分
由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.
x y =-⎧⎨=⎩，
……………………………………………………………………
10分
当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则
1=16
2A B C D S A C B D =四边形 (12)
分
当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………………
14分
所以，四边形ABCD 的面积为16．
2．(本小题满分14分)
设定义在R 上的函数()sin cos n n
f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,
的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．
【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，
化简得
(
)
sin ωπ+4， ………………………………………………………………………2分
因为0ω>，所以
()min
ωπ3π+=44，即min ωπ=2，
所以，T 的最大值
为
8．…………………………………………………………………………6分
（2）当4n =时，
44
()sin cos f x x x ωω=+ ()2
2222sin cos 2sin cos x x x x
ωωωω=+-
()
2
12sin cos x x ωω=-
211sin 22x
ω=- ()
11cos 4122x
ω-=-
13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)
分 因
为
24
4T ω
π==，所以
8ωπ
=， …………………………………………………………………12分
此时，
13
()cos 424
x f x π==+，所以
3
(1)4f =．……………………………………………………14分
3．(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222
b a
c a c bc ==-+．
（1）求sin b B
c 的值；
（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．
【解】（1）由222
b a
c bc =-+得
2221cos 22b c a A bc +-==， 在△ABC
中，
A π
=3， ……………………………………………………………………………3分
由2
b a
c =得sin sin b B a B
c
c =， 由正弦定理得sin sin a B A
c =，
所以，
s i n b B c =； ………………………………………………………………………………7分 （2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分
由222
b a
c a c bc ==-+知
不失一般性，可设1c =，
则22
1b a a b ==+-，
消去a 得241b b b =+-，即
32(1)(1)0b b b -++=， 所以
1
b =，
1
a =，即
证．…………………………………………………………………………14分
4．(本小题满分16分)
如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分
别为
4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．
（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养
殖区的最小面积．
【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-， 对菱形ABCD 的边长“算两次”得()
36
sin sin 60αα=-，………………………………………
2分
解得tan α，……………………………………………………………………………………
4分
所以，养殖区的面积
()()2
2
2
3
1sin 6091sin 6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………
6分
（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，
()120 180
BAD θ∠=∈，，则AB 与2
l
所成夹角为
()
180θα-+，
对菱形ABCD 的边长“算两次”得()
36
sin sin 180αθα=-+，……………………………………
8分 解得
sin tan 2cos θ
αθ=
+，……………………………………………………………………………
10分 所
以
，
养殖区的面积
()2
3
sin sin S θα
=⋅()2
191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θ
θ+=，………………12分
1l
2l D A B
C 1l 2l
D A B C
（图甲）
（图乙）
由()()
2
54cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得
4
cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………
14分
经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积
2
min =27(m )S ． ………………………………16分
答：（1
）养殖区的面积为2
；（2）养殖区的最小面积为227m ．
5．(本小题满分16分)
若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，
（其中a b <），使得当[]
x a b ∈，时，
()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．
（1）已知1
2
()f x x =是[0 )+∞，
上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2
()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求
出
实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】（1
）因为()f x =是[)0 +∞，
上的正函数，且()f x =在[)0 +∞，
上单调递增， 所以当[] x a b ∈，时，()() f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，
即 a b ==，
， …………………………………………………
3分
解得0 1a b ==，
， 故函数()
f x 的“等域区间”为
[]0 1，
；……………………………………………………………
5分
（2）因为函数2
()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，
所以当[] x a b ∈，时，()() g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22 a m b b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，
， (7)
分 两
式
相
减
得
22a b b a
-=-，即
()
1b a =-+， ……………………………………………………9分
代入2a m b +=得2
10a a m +++=，
由
a b <<，且
()
1b a =-+得
1
12a -<<-， ……………………………………………………11分
故关于a 的方程2
10a a m +++=在区间()11 2
--，内有实数
解，………………………………13分 记
()21
h a a a m =+++，
则
()()
10 10 2h h ->⎧⎪⎨
-<⎪⎩
，
，解得
()
3
1 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分
6．(本小题满分146分)
设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正
整数n ，()n n k a S f n +=都成立． （1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．
【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，
≥． 若an=0，则1=0n a -，…，a1=0，与已知矛盾，所以
*
0()n a n ≠∈N ． 故数列{an}是首项为1，公比为1
2的等比数列． ………………………………………………
4分 【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④
③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………
7分
要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1
()*
n ∈N ， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1
()*
n ∈N ，此时1
()1f n n =+．…
9分
(iii) 若k=2，设2
2()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），
当2n ≥时，2
n n a S an bn c +=++， ⑤
211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，
≥， ………………………………………………12分
要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d=2a ，
考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()
*n ∈N ．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()
*n ∈N ，
此时2
2()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………
14分
(iv) 当3k ≥时，若数列{an}能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{an}
不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． ……………………………………16分。