哈工大集合论习题课第六章树及割集习题课(学生)

第六章树及割集
习题课 1
讲堂例题
例1 设 T 是一棵树， T 有 3 个度为 3 极点， 1 个 2 度极点，其余均是 1 度极点。

则
（ 1）求 T 有几个 1 度极点？
（ 2）画出知足上述要求的不一样构的两棵树。

剖析：关于任一棵树 T ，其极点数 p 和边数 q 的关系是：q p 1且
p
deg(v i )2q ，依据这些性质简单求解。

i 1
解：（1）设该树T的极点数为p，边数为q，并设树T中有x个 1 度极点。

于是
p
deg(v i ) 3 3 1 2 x 2q 且 p 3 1 x， q p 1，得x 5 。

i 1
（ 2）知足上述要求的两棵不一样构的无向树，如图 1 所示。

图1
例 2 设 G 是一棵树且(G ) k ，证明G中起码有k个度为1极点。

证：设T 中有 p 个极点，s个树叶，则 T 中其余 p s 个极点的度数均大于等于 2，且起码有一个极点的度大于等于k 。

由握手定理可得：
p
s ，有s k 。

2q 2 p 2deg( v i ) 2( p s 1) k
i 1
所以 T 中起码有 k 个树叶。

习题
例1 若无向图G中有p个极点，p 1条边，则G为树。

这个命题正确吗？为何？
解：不正确。

K 3与平庸图构成的非连通图中有四个极点三条边，
明显它不是树。

例2 设树T中有2n个度为 1 的极点，有3n个度为 2 的极点，有n个度为 3 的极点，则这棵树有多少个极点和多少条边？
解：设 T 有 p 个极点， q 条边，则q p 12n 3n n 1 6n 1。

由
deg(v) 2q 有： 1 2n 2 3n 3 n 2q 2(6n 1)12n 2 ，解得： n =2。

v V
故 q 11, p12 。

例 3 证明恰有两个极点度数为 1 的树必为一条通路。

证：设 T 是一棵拥有两个极点度数为 1 的( p,q)树，则q p 1且
p
2( p 1) 。

deg(v i ) 2q
i 1
又 T 除两个极点度数为 1 外，其余极点度均大于等于 2，故
p p 2
2( p 1) ，即
deg(v i )2deg(v i )
i 1i 1
p2
2) 。

deg( v i) 2( p
i1
所以 p2个分支点的度数都恰为2，即T为一条通路。

例 4 画出拥有 4、 5、6、7 个极点的全部非同构的无向树。

解：4 个极点的非同构的无向树有两棵，如图21(a),( b)所示；
5 个极点的非同构的无向树有 3 棵，如图 21(c),( d ),( e)所示。

（a）(b)(c)(d)(e)
图2
6 个极点的非同构的无向树有 6 棵，如图 3 所示。

图3
7 个极点的非同构的无向树有11 棵，如图 4 所示。

所画出的树拥有 6 条边，因此七个极点的度数之和应为12。

由于每个极点的度数均大于等于1，因此可产生以下七种度数序列( d1, d2 ,L , d7 ) ：
（1）1111116；（2）1111125；（3）1111134；（4）1111224；（5）1111233；
（ 6）1112223；（7） 1122222。

在（ 1）中只有一个星形图，因此只好产生 1 棵树 T 1 。

在（2），（3）中有两个星形图，因此也只好各产生 1 棵非同构的树，分别设为 T 2 ,T 3 。

在（ 4），（5）中有三个星形图，但三个星形图是各有两个是同
构的，因此各可产生两棵非同构的树，分别设为
T 4 ,T 5 和 T 6 , T 7 。

在（ 6）中，有四个星形图，有三个是同构的，考虑到不一样的排
列状况，共可产生三棵非同构的树，设为 T 8,T 9 ,T 10 。

在（ 7）中，有五个星形图，都是同构的，因此可产生 1 棵树，
设为 T 11 。

七个极点的全部非同构的树 T 1 : T 11 如图 2 所示。

T 1
T 2 T 3
T 4
T 5
T 6
T 7
T 8 T 9 T 10
T 11
图 4
例 5 设无向图 G 是由 k (k 2) 棵树构成的丛林，起码在 G 中增添多少条边才能使 G 成为一棵树？
解：设 G 中的 k 个连通分支为： T 1
,T 2
,L , T k
，v i T i ，i 1,2,L , k 。

在 G
中增添边 { v i ,v i 1} ， 1,2,L , k 1
，设所得新图为 T ，则 T 连通且无回路，
i
因此 T 为树。

故所加边的条数 k 1是使得 G 为树的最小数量。

例 6 证明：随意一棵非平庸树都是偶图。

剖析：若考虑一下数据构造中树（即有向树）的定义，则能够很简单地将树中的极点按层次分类， 偶数层极点归于极点集 V 0 ，奇数层极点归于极点集 V 1 ，图 G 中每条边的端点一个属于 V 0 ，另一个属于 V 1 ，而不行能存在关系同一个极点集的边。

同理，关于无向树，能够从任
何一个极点 V 出发，给该树的极点标志奇偶性，比如， v 标志 0 ，与 v 相邻的极点标志 1，再给与标志为 1的全部相邻的极点标志 0 ，挨次类
推，直到把全部的点完止。

最后，依据的性明，任何
只可能关 V1（1的点集）和 V0（0的点集）之的点。

1 从任何一个点v出，的点做，v0 ，与
v相的点 1，而后再与 1的全部点相的点
0 ，⋯⋯，挨次推，直到把全部的点完止。

下边明：于任何只好关V1（1的点集）和 V0（0 的点集）之的点。

不如假，若某条 e 关 V1中的两个点，v1和 v2，又因
依据上述的法，有 v 到 v 的路 P 和 v 到 v 的路 P 。

P 与 P 离 v 和
1122121
v 近来的点 u ，所以，中存在回路：v PuP v ev ，与中无回路
2 1 1 2 2 1
的性矛盾。

所以，随意只好关 V1（ 1 的点集）和V0（ 0 的点集）之的点。

所以，随意一棵非平庸都是偶。

2 T是任一棵非平庸，T无回路，即T中全部回路都是零。

而零
是偶数，故由偶的判断定理可知 T 是偶。

例 7（1）一棵无向有n i个度数i的点， i1,2, L, k 。

n2 , n3 ,L , n k均已知数， n1多少？
（ 2）在（ 1）中，若n r(3 r k) 未知， n j ( j r ) 均已知数， n r
多少？
解：（ 1）T有p个点，q条无向，q
k
p 1， p n i。

i1
由握手定理：
p p k
degv i 2q ，有degv i in i2q 2 p 2 ，即
i 1i 1i 1
k k
2 。

①
in i 2 p 2 2 n i
i1i 1
由式①可知：
k k k
2 。

n1in i2n i2(i 2) n i
i 2i2i2
（2）于r 3，由①可知：
1k
2 。

n r(2 i )n i
2
r i 1
i r
例 8 明：任一非平庸最路的两个端点都是叶。

： T 一棵非平庸的无向，L v1v2L v k T中最的路，若
端点 v1和 v k中起码有一个不是树叶，不如设v k不是树叶，即有
deg(v k ) 2 ，则 v k除与L上的极点 v k 1相邻外，必存在 v k 1与 v k相邻，而 v k 1
不在 L 上，不然将产生回路。

于是v1L v k v k 1仍为 T 的一条比 L 更长的路，这与 L 为最长的路矛盾。

故v k必为树叶。

同理， v1也是树叶。

例9 设无向图G中有p个极点，q 1条边，则G为连通图当且仅当G中
无回路。

证：必需性：由于 G 中有 p 个极点，边数q p 1，又由于 G 是连通的，由定理可知 G 为树，因此 G 中无回路。

充足性：由于 G 中无回路，又边数q p 1，由定理可知 G 为树，所以
G 是连通的。

例10 设G是一个( p, g )图，证明：若g p，则G中必有回路。

证：（1）设G是连通的，则
若 G 中无回路，则 G 是树，故q p 1与 q p 矛盾。

故 G 中必有回路。

（ 2）设G不连通，则G中有k( k2) 个分支， G1, G2 ,L , G k。

若 G 中无回路，则 G 的各个分支G i(i1,2,L , k) 中也无回路，于是
各个分支都是树，所以有：q i p i 1 ，i 1,2,L , k 。

相加得：q p k(k2)
与q p 矛盾，故G中必有回路。

综
上所述，图 G 中必有回路。

例 11 设d1, d2,L , d p是p个正整数，p p 2 。

证明存在一
2 ，且d i 2 p
棵极点度数为 d1 , d2 ,L , d p的树。

i 1
证：对极点 p 进行概括证明。

当 p 2 时，d1d2 2 2 2 2 ，则 d1d21，故以 d1, d2为度数的树
存在，即为一条边。

设对随意 p 1 个正整数 d1, d2 ,L
p1
2 ，则存, d p 1，只需d i2( p1)
i1
在一棵极点度数为 d1 , d2 ,L, d p 1的树。

p
对 p 个正整数 d1' , d2' ,L, d p'，如有d i' 2 p 2 ，则d1',d2',L, d p'中必有
i1
一个数为 1，必有一个数大于等于2；不如设d1'1,d p' 2 ，所以对p 1
p1
个正整数 d2' , d3' ,L, d p'1 ,d p'1，有d i'( d p'1) 2( p1) 2，故存在一棵顶
i 2
点度数为 d2' , d3' ,L, d p'1 ,d p'1的树T'。

设T'中 u 的度数为d p'1，在T'中增
加一个极点 v 及边 { u, v} ，获得一个图T，则T为树。

又T的极点度数为
d1' , d2' ,L , d 'p，故由概括法知原命题建立。

3.4 例题
例1 G的一条边e不包括在G的任一回路中当且仅当e是G的桥。

剖析：这个题给出了判断桥的充要条件，应当记着。

证：必需性：设 e 是连通图G的桥， e 关系的两个极点是 u 和 v 。

若e 包括在G的一个回路中，那么除边 e uv 外还有一条分别以 u 和 v 为
端点的路，所以删去边 e 后，G还是连通的，这与 e 是桥相矛盾。

充足性：若边 e不包括在G的随意回路中，则连结极点 u 和 v 只有
边e ，而不会有其余连结 u 和 v 的路。

由于若连结 u 和 v 还有不一样于边
e 的路，此路与边 e 就构成了一条包括边 e 的回路，进而致使矛盾。

所以，删去边 e 后， u 和 v 就不连通了，故边 e 是桥。

例 2 设G是连通图，知足下边条件之一的边应拥有什么性质？
（1）在G的任何生成树中；
（2）不在G的任何生成树中。

解：（1）在G的任何生成树中的边应为G中的桥。

（2）不在G的任何生成树中的边应为G中的环。

例3 非平庸无向连通图G是树当且仅当的G的每条边都是桥。

证：必需性：若 T 中存在边e v i v j不是桥，则 G e仍连通，因此v i,v j 之间必还有一条（不经过 e ）的路。

设此路为：v i v i 1e j 1v i 2 e j 2 L e jk 1v ik v j，于是 G 中有回路v i e j1v i 2e j 2L v j ev i，这与 G 是树矛盾，故 G 的每条边都是桥。

充足性：只需证明G 中无回路即可。

若G 中有回路 C ，则 C 中任何边都不是桥，与题设中每条边都是
桥矛盾。

例4 图 1 给出的带权图表示 7 个城市a,b, c, d, e, f , g及架起城市间直接
通讯线路的展望造价，试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且
总造价最小，要求计算出最小总造价。

a b a
20b
23
1
4
2314
15
f g9c
v11v2
e
e3
e4
e2
v5
e6
e
7e
5
f
36
g
9c
e8
8v 3v 4
3
288163
e
17d e d
图 1图 2图 3
解：该题就是求图的最小生成树问题。

所以，图的最小生成树即
为所求的通讯线路图，如图 2 所示。

其权即是最小总造价，其权为：(T ) 1 3 4 8 9 2348 。

例7 设T是一棵树，p 2，则
（1）p个极点的树T至多有多少个割点；
（2）p个极点的树T有多少个桥？
解：（1）树的度为 1 的极点（叶子）不是割点，而树起码有 2 个极点的度为 1，故树至多有p 2个极点为割点。

（ 2）树的每一条边都是桥，故p个极点的树有p 1个桥。

例8 证明或否认断言：连通图 G 的随意边是 G 的某一棵生成树的弦。

答：错误。

若 e 是桥，则不建立。