基于Voronoi图选点法的响应面法

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极限状态面上以及为贡献大的区域赋予更大权重的方法解决这一问题。

文献[5]用移动最小二乘法对曲线曲面进行拟合，利用了全部样本点，在每一次送代时，通过为每个拟合点赋予影响域的方式来选择合适的样本点来拟合[5]。

这一方法实现了局部近似，得到了精度高的曲线曲面。

出该响应面的设计验算点k
D X 和可靠性指标k
β。

判断是否
收敛，若不收敛，则确定新的抽样中心点k
M X ，其计算公
式为：
()
()
()()
k
D k
k
M
D
k
D g X X
X X X g X g X =+−− （2）
收稿日期：2022-02-15
作者简介：尚昆（1994―），男，河北石家庄人，硕士研究生，研究方向：机械结构可靠性。

基于Voronoi 图选点法的响应面法
尚昆
（中国直升机设计研究所，江西景德镇 333001）
摘　要：在响应面法中，合理地选择样本点可以有效提高响应面法的效率和精度。

Voronoi 图可以通过已有样本点找出距离现有
样本点最远的顶点，选取这些点位的样本可以提高样本的均匀程度，避免由于样本聚集引起的拟合失真问题。

相比于最小二乘法，移动最小二乘法具有局部近似更准确的优点，且样本分布越均匀其近似结果越准确。

本文将Voronoi 图选点法应用到基于移动最小二乘
法的响应面模型中，结果表明：该方法在较少调用结构功能函数的情况下，近似结果更准确。

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传统响应面法每次迭代只使用本次抽取的样本点，且f 的取值对最终结果影响很大[7]。

f 值越小，则其稳定性较差，反之，则试验设计点附近近似效果难以保证。

2.改进响应面法
2.1移动最小二乘法的基本原理
考虑在一个n 维变量空间中，定义变量X=[x 1,x 2,…,x n ]，则其响应面模型可以表示为：
()()()()()1
ˆm i i i g
X p X a X p X a X ===∑ （3）
其中，p（X）为该响应面的基函数，本文选用仅含
为权函数，本节仅以高斯函数为例进行展示（11）
式中，α为任意参数，可根据不同模型的拟合效果加
以调整，本文取α=1，R 为影响域半径，影响域是移动最小二乘法区别于最小二乘法最大的特征，影响域越小，其局部拟合越精确，同时影响域也应足够大，以保证该影响域内具有足够的样本点()21N n ≥+。

2.2 基于Voronoi 图的实验设计
Voronoi 图是对空间平面的一种剖分，是由一组连接
两相邻样点线段的重直平分线组成的连续多边形，因此该多边形的顶点为距离最近样点最远的位置。

选择这些位置的样本可以有效保证空间样本的均匀程度。

但由于Voronoi 选点法不会在设计验算点附近聚集，导致迭代出的响应面模型熟练速度较慢。

为解决这一问题本文同样选择 个设计验算点的顶点作为新的样本点。

根据上述推导过程，基于Voronoi 选点法和移动最小二乘法的响应面法的计算步骤如下：
步骤1：确定样本空间，选取初始样本点。

在标准正本文方法
�.����
�.����
�.����
��
�.��
通过数值算例可以看出，本文方法运算次数（计算效
率）相比传统响应面法有明显提高，且试验设计点也更准确，误差小于传统响应面法。

4.结论
移动最小二乘法具有局部计算精度高的优点，但若样
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本集在拟合点分布不均匀时其拟合误差较大，且容易导致回归矩阵奇异，因此移动最小二乘法对样本的均匀程度要求较高。

针对现有实验设计方法存在的无法根据已有样本点进行抽样，进而导致样本在空间中分布不均匀，且抽样过程中存在随机性的问题。

本文将Voronoi图选点法引入响应面模型中，通过Voronoi图的特点在感兴趣的样本空间选择出距离现有样本最远的点作为新的样本，避免样本点集中在少数区域，从而提高了空间样本的均匀程度。

算例分析结果表明，本文方法选取的样本更加合理，结合移动最小二乘法有效提高了响应面法的精度和效率。

参考文献
[1] C.G.Bucher,U.Bourgund.A Fast and Effi cient Response Surface Approach for Structural Reliability Problems[J]. Structural Safety,1990(1):57-66.
[2] Rajashekhar M R,Ellingwood B R.A New Look at the Response Surface Approach for Reliability Analysis[J]. Structural Safety,1993(3):5-20.
[3] S.H.Kim,S.W.Na.Response Surface Method Using Vector Projected Sampling Points[J].Structural Safety,1997(1):3-19.
[4] Irfan Kaymaz,Chris A McMahon.A Response Surface Method Based on Weighted Regression for Structural Reliability Analysis [J].Probabilistic Engineering Mechanics, 2005(20):11-17.
[5] 曾清红,卢德堂.基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合[J].工程图学学报,2004(1):84-89.
[6] Guan X L,Melchers R E.Effect of Response Surface Parameter Variation on Structural Reliability Estimates[J]. Structural Safety,2001,23(4):429-444.
[7] P.Liu,A.D.Kiureghian. Multivariate Distribution Models with Prescribed Marginal and Covariances[J].Probabilistic Engineering Mechanics,1986(2):105-112.
Response Surface Method Based on V oronoi Design of Experiment
SHANG Kun
(China Helicopter Research and Development Institute, Jingdezhen Jiangxi 333001) Abstract:In the response surface method, a reasonable design of experiment can eff ectively improve the effi ciency and accuracy of the response surface method. The Voronoi diagram can fi nd the vertices which are farthest from the existing sample points through the existing sample points. Selecting these samples can improve the uniformity of the samples and avoid the fi tting distortion problem caused by the aggregation of dry samples. Compared with the least squares method, the moving least squares method has the advantage of more accurate local approximation, and the more uniform the sample distribution, the more accurate the approximation result. In this paper, the Voronoi DOE method is applied to the response surface model based on the moving least squares method, and the results show that the method has more accurate approximation results and the structure function function is called less.
Key words:moving least squares;Voronoi diagram;response surface method;structural reliability analysis
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