课时作业11：2.2.2 向量减法运算及其几何意义

2．2.2 向量减法运算及其几何意义
一、选择题
1．化简PM →－PN →＋MN →
所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C ．0 D.MN →
考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法表示向量 答案 C
解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →
＝0.
2．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →
等于( ) A.BC → B.AC → C.DA → D.BD →
考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 C
解析 在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →
， 所以AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →.
3．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →
|的值为( ) A ．1 B ．2 C.
3
2
D. 3 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 D
解析 如图，作菱形ABCD ，
则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →| ＝|DB →
|＝ 3.
4．(2017·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为AB →
的是( )
①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 A
解析 因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →
，
所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →
，所以④正确，排除B ，故选A. 5.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )
A.AD →＋BE →＋CF →＝0
B.BD →－CF →＋DF →＝0
C.AD →＋CE →－CF →＝0
D.BD →－BE →－FC →＝0
考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 A
解析 AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →
)＝0.
6．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →
|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]
D ．(3,13)
考点 向量减法的定义及几何意义 题点 向量减法的三角不等式 答案 C
解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →
|且
||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|， ∴3≤|AC →－AB →|≤13，∴3≤|BC →
|≤13.
7.如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →
等于( )
A ．a －b ＋c
B ．b －(a ＋c )
C ．a ＋b ＋c
D ．b －a ＋c
考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 A 二、填空题
8．化简：(1)PB →＋OP →－OB →＝________；(2)OB →－OA →－OC →－CO →
＝________. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 (1)0 (2)AB →
解析 (1)PB →＋OP →－OB →＝PB →＋BP →
＝0； (2)OB →－OA →－OC →－CO →＝(OB →－OA →)－(OC →＋CO →) ＝AB →－0＝AB →.
9．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →
|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法运算求向量的模 答案 13
解析 ∵|OA →|＝12，|OB →
|＝5，∠AOB ＝90°， ∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →
|＝13. ∵OA →＝a ，OB →
＝b ， ∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →
， ∴|a －b |＝|BA →
|＝13.
10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →
＝________.
考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中向量的加、减法运算 答案 CA →
11．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →
|＝________.
考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 2
解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →
，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，∴|AM →|＝12|AD →|＝12
|BC →
|＝2. 12.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则(1)|a ＋b ＋c |＝________； (2)|a －b ＋c |＝______.
考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法运算求向量的模 答案 (1)22 (2)2
解析 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，
∵AC →
＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →
，
且|AE →
|＝2 2. ∴|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →
，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →，
而DB →＝AB →－AD →＝AB →－BC →
＝a －b ， ∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →
|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.
13.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →
相等的向量有________．(填序号)
①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中向量的加、减法运算 答案 ①
解析 ∵OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →
， CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →，
CA →－CD →＝DA →≠CF →，AB →＋AE →＝AD →≠CF →， ∴填①. 三、解答题
14．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b .
(1)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直； (2)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系
解 (1)若a ＋b 与a －b 垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD 为菱形，所以a ，b 应该满足|a |＝|b |.
(2)|a ＋b |＝|a －b |表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故a ，b
应互相垂直．。