Rolle中值定理的推广

区间端点处 的函数值 相等推广 为可以不等．主要建 立 了如下 的推广定理 ：
设 函数 ， ｚ 在有限或无限区间（ ， ） （） 口 ６ 上连续 ， （ ） ｎ ６ 内右 （ ， 工 在（ ， ） 或左 ） 可导 ， 并存在 ｛ ｝｛Ｈ （ ， ） ，６｝ ｎ 使 ６
ｌ ＝ ｎ ｉ ｍａ
（）一 ｌ 车 ｉ ｍ ≥ ０
①
收 稿 日期 ｔ２ ０ ０ ６—０ １—０ ４
基 金 项 目ｚ西 南 师范 大 学 科 技 基 金 资 助 项 目（ １ Ｏ ９ ． ４３５） 作 者 简介 ：陈 清 明 （９ ５一 ，男 ，重 庆 铜 粱 人 ，副 教授 ，主 要 从 事 非 线 性 泛 函分 析 的研 究 １６ ）
２０ ０ ７年 ２月
Ｆｅ ． ２ ０ ｂ ０ ７
文 章 编 号 ：１ ０ ０ ０—５７ （０ ７０ ０ ４ ０ ４ １ ２０ ）１— １ ０ ５
Ｒｌ ｏｌ ｅ中值 定 理 的推 广①
陈 清 明
西 南 大 学 数 学 与 统 计 学 院 ， 庆 ４ ０ １ 重 ０７５
摘 要： Ｒ ｌ 对 ｏｌ ｅ中值 定 理 的条 件 作 了改 进 ， 函数 可 导 推 广 为 左 或 右 可 导 ，把 有 限 区 间 推 广 为 无 限 区 间 ，把 函 数 在 把
关 键 词 ：导 数 ； 导 数 ； 连 续 ；中 值 定 理 右 左 文 献 标 识 码 ：Ａ 中 圈分 类 号 ：Ｏ１２ ７
微 分 中值定 理是 一元 函数 微分 学 的基本 定理 ，是应 用 导数研 究 函数 在 区 间上 整 体性 态 的有力 工 具．而
Ｒｌ ｏｌ ｅ中值 定理 ［是 基础．其 它 中值定 理 的证 明是通 过 Ｒ ｌ １ ｏｌ ｅ中值 定理 来 实 现 的．鉴 此 ，不少 数 学工 作 者根 据 自己 的教 学 经验 ， Ｒ ｌ 对 ｏｌ ｅ中值定 理作 了许 多改 进及 推 广工 作．本文 对 Ｒ ｌ ｏｌ ｅ中值定 理 的 ３个条 件作 了改 进 ，把 函数 可导推 广 为左或 右可 导 ， 把有 限区 间推广 为 无 限 区间 ， 函数 在 区间端 点 处 的 函数 值 相 等 推广 把 为可 以不 等 ，获得 了一 些重 要结 论 ，所得 结果 推 广 了 已有 的一些 工作 ． 在 Ｒ ｌ 中值 定理 中 ， 求 ，在 有 限开 区间 （ ， ）内可 导 ， 一条 件 应该 说 比较 强．若 把定 理 的条件 （） ｏｌ ｅ 要 口 ６ 这 Ｉ Ｉ 减 弱 为 ，在开 区 间（ ， ）内处 处 右 （ 左 ） 口 ６ 或 可导 ， 我们 自然会 问 ， （ ， ）内是否 存 在一点 车∈ （ ， ） 使得 在 口 ６ 口 ６，
论 右导数 ， 导 数类 似可得 ） 左 ：
定 理 １ 设 （ 厂在［ ， ］上 连续 ； Ｉ ） ｎ ６
（ 厂在 （ ， ）内存 在 右导 数 ； Ｉ ｉ ） 口 ６ （］ （ ）＝ 厂 ６ ． Ｉ ＿口 Ｉ厂 Ｉ （）
则存 在 ， ∈ （ ， ） 使 得 １ ７ ｎ ６，
（）≥ ０ 车 ，
（） ０ １≤ ． ７
证 因 ，在 ［ ，６ 口 ］上连续 ，所 以 ，在［ ６ 取 到最 大值 Ｍ 和最 小值 ， 口， ］上 若 ＝ Ｍ ，则 厂在［ ， ］ ： ＝ 口 ６
上 必为 常数 ，从而 结 论显 然成 立．
若 ＜ Ｍ ・则 因 厂（ ）一 厂 ６ ，使得 最 大值 Ｍ 和 最小 值 至少有 一 个 在 （ ， ）内某 点 拿 ｎ （） 口 ６ 处取 得 ， 车 设 ∈ （ ， ） ，的最 小 值点 ，于是 口 ６是
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第 １期
陈 清明 ：Ｒｏｌ ｌ ｅ中值 定理 的推 广
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取 ｃ （ ， ） 因 ，在［ ， 上连续 ， ∈ ａ ， ｃ臼 则存在 ∈ ［ ， ， ＿ 为 ，在［ ， 上的最大值 ， ｃ ） 使 厂 ） （ ｃ朝 从而
（ ）一 ｌ 刁 ｉ ｍ
ｎ一 ∞
ｌ ＝ ｂ ｉ ｍｂ
…
ｌ ｉ ａ） ｍｆ（
ｌ （ ｉ ｍｆ ｂ）一 Ａ
Ｈ— Ｐ ∞
Ａ 为 实 数 或 士 ｏ 。
则存在 丰 ∈（ ， ） 使得 （） ０ ／ （） ０（ ／ （） ０ ， ｎ ６， ｅ≥ ， ＋ ≤ 或 ＿ ≥ ， （） ０． ≤ ） 更进一步， ＾ （）（ －（ ） 设 ｚ 或／ ｚ ） 在（， ） ｎ ６ 内左（ 或右） 连续， 则存在 ｒ （ ， ） ∈ ｎ ６ 使得 （） ｆ ＝０（ ／ ＃ 或 －（）＝ｏ． ）
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第３ ２卷 第 １期
Ｖｏ ３ Ｌ ２
ＮＯ １ ．
西 南师 范大 学 学报 （ 自然 科 学版）
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｏ ｔｗｅｔＣ ｉａＮｏｍａ Ｕｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｆＳ ｕｈ ｓ ｈｎ ｒ ｌ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃ ｎ ｅ ｙ ｅ
／ 车 一０（ ＋（） 或 （）＝ ）答案是否定的． ＝ｏ？ ： 例如： ， ｚ 一ｌ ， ∈［ １， 设 （） ｌ ｚ 一１ － 显然，在（ ， ） ，１ 一１ １ 内处
处右 可 导 ， 对 任意 的 ∈ （ １ ） 都 有 ， 车 ≠ ０ 但 一 ，１ ， ＋（） ．然 而我 们对 （ ）右导 函数 可获 得下 面 的结论 （ 左 只讨
。
≤ ０
ｚ 一
一
注 １ 由定 理 １可导 出 Ｒ ｌ ｏｌ ｅ中值 定 理．事 实 上 ，若 Ｒｏｌ ｌ ｅ中值 定 理 的条 件 满 足 ，则 Ｖｚ ∈ （ ，６ ， ｎ ）
ｆ（） （） （） 一 ｚ ｚ 一 ｚ ．由定理 １ 存在 车， ∈ （ ， ） 使得 （１ ≥ ０ ， ｎ ６， ） ， （ ≤ ０ ） ．如果 ／ ） Ｔ（１ ＝ ０ ／ ） ０ 则结论成立 ； 或 ＋（ 一 ， 如果 ／ ） ０ ＋（ ＞ ， （ ＜ ０ 则在［ ＆］ ， ］ ） ， ， 或［ｚ 上应用达布定