福建省晋江市永春县2025届九上数学期末考试试题含解析

福建省晋江市永春县2025届九上数学期末考试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为( )
A ．23
B ．13
C ．12
D ．14 2．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为4400000m 2，数据4400000用科学记数法表示为（ ）
A ．4.4×106
B ．44×105
C ．4×106
D ．0.44×107
3．若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数是（ ）
A ．1
B ．0
C ．﹣1
D ．﹣2
4．如图所示的网格是正方形网格，则sin A 的值为（ ）
A ．12
B ．22
C ．35
D ．45
5．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．
14 D ．14
- 6．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3sin 4A ∠=，8AB cm =，则ABC 的面积是( )
A ．26cm
B ．224cm
C ．267cm
D ．2247cm
7．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2
B ．2π
C ．4
D ．4π
8．如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，高线AH 长8 cm ，底边BC 长10 cm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG 的一边EF 在BC 上，其余两个顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，则四边形DEFG 的最大面积为( )
A ．40 cm 2
B ．20 cm 2
C ．25 cm 2
D ．10 cm 2 9．方程x 2+5x ＝0的适当解法是（ ）
A ．直接开平方法
B ．配方法
C ．因式分解法
D ．公式法 10．方程x 2＝3x 的解为（ ）
A ．x ＝3
B ．x ＝0
C ．x 1＝0，x 2＝﹣3
D ．x 1＝0，x 2＝3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．ABC ∆绕着A 点旋转后得到AB C ''△，若130BAC '∠=，80BAC ∠=，则旋转角等于_____．
12．分解因式：x 3﹣4x 2﹣12x=_____．
13．某校开展“节约每滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水情况，从九年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况，如下表： 节水量（3m ） 0.2
0.25 0.3 0.4 家庭数（个） 4 6 3 7
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_________3m ．
14．已知x ＝2y ﹣3，则代数式4x ﹣8y +9的值是_____．
15．一组数据：﹣1，3，2，x ，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是__．
16．如图，已知点A 是双曲线y ＝1x
在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜
边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k x （k ＜0）上运动，则k 的值是_____．
17．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2(2)x n +=，则n 的值为______.
18．在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足|cos A －
12|＋(sin B －22
)2＝0，则∠C ＝_________． 三、解答题(共66分)
19．（10分）数学活动课上老师带领全班学生测量旗杆高度.如图垂直于地面的旗杆顶端A 垂下一根绳子.小明同学将绳子拉直钉在地上，绳子末端恰好在点C 处且测得旗杆顶端A 的仰角为75°；小亮同学接着拿起绳子末端向前至D 处，拉直绳子，此时测得绳子末端E 距离地面1.5 m 且与旗杆顶端A 的仰角为60°根据两位同学的测量数据，求旗杆AB 的高度.（参考数据:sin75°≈0.97，cos75°≈0.26,sin60°≈0.87,结果精确到1米）
20．（6分）如图，一次函数1122y x =+和反比例函数2(0)k y k x
=≠的图象相交于,A B 两点，点A 的横坐标为1．
（1）求k 的值及A ，B 两点的坐标
（1）当12y y >时，求x 的取值范围．
21．（6分） (1)计算：2sin30°+cos30°•tan60°.
(2)已知 23
a b = ，且a+b=20，求a ，b 的值. 22．（8分）如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC =150°，将△BOC 绕点C 按顺时针旋转得到△ADC ，连
接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．
23．（8分）如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°。

延长CB至D，使DB=AB。

连接AD．
（1）求∠ADB的度数.
（2）根据图形，不使用计算器和数学用表，请你求出tan75°的值.
24．（8分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x …﹣3 ﹣5
2
﹣2 ﹣1 0 1 2
5
2
3 …
y … 3 5
4
m ﹣1 0 ﹣1 0
5
4
3 …
其中，m= ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有个实数根.
③关于x 的方程x 2﹣2|x|=a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．
25．（10分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x
=
>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上．已知2CD =．
（1）点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由．
（2）若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可
【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到颜色相同的球结果共有2种， ∴两次都摸到颜色相同的球的概率为
2142
=. 故选C ．
【点睛】
本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
2、A
【解析】试题分析：根据科学记数法是把一个大于10的数表示成a×10n 的形式（其中1≤a ＜10，n 是正整数）．确定a×
10n （1≤|a|＜10，n 为整数），1100000有7位，所以可以确定n=7-1=6，再表示成a×10n 的形式即可，即1100000=1．1×2．故
答案选A ．
考点：科学记数法．
3、B
【分析】根据题意知，>0∆，代入数据，即可求解．
【详解】由题意知：一元二次方程x 2+2x+k ＝1有两个不相等的实数根，
∴240b ac ∆=-> 4410k
解得44k
∴1k <．
∴k 的最大整数是1．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了利用一元二次方程根的情况求参数范围，正确掌握利用一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解题的关键．
4、C
【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，
连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，
∵22
4225
AC BC=+=
=，BC＝22，AD＝2232
AC CD
+=，
∵S△ABC＝1
2
AB•CE＝
1
2
BC•AD，
∴CE＝
223265
5
25
BC AD
AB
⨯
==，
∴
65
3
5
5
25
CE
A
sin CAB
C
∠==
＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．5、B
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22+4a=0，
解得a=﹣1．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键．
6、C
【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．
【详解】解：在Rt △ACB 中，∵∠C=90°，AB=8cm ，
∴sinA=BC AB =34， ∴BC=6（cm ），
∴AC=
22228267AB BC --==（cm ）， ∴S △ABC =12•BC •AC=12
×6×27=67（cm 2）． 故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7、B
【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB '的面积﹣△CA 'B '的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA '的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，
∴BC ＝
，∠ACB ＝∠A 'CB '＝45°， ∴阴影部分的面积＝
＝2π，
故选B ．
【点睛】
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB '的面积﹣△CA 'B '的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA '的面积）是解决问题的关键.
8、B
【解析】设矩形DEFG 的宽DE=x ，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG ，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
【详解】如图所示：
设矩形DEFG 的宽DE=x ，则AM=AH-HM=8-x ，
∵矩形的对边DG ∥EF ，
∴△ADG ∽△ABC ， ∴
AM DG AH BC
=， 即8810
x DG -=， 解得DG=54（8-x ）， 四边形DEFG 的面积=54（8-x ）x=-54（x 1-8x+16）+10=-54
（x-4）1+10， 所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG 最大面积为10cm 1．
故选B ．
【点睛】
考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG 的宽表示出长是解题的关键．
9、C
【分析】因为方程250x x +=中可以提取公因式x ，所以该方程适合用因式分解法.因式分解为x （x+5）=0，解得x=0或x=-5.用因式分解法解该方程会比较简单快速.
【详解】解：∵x 2+5x ＝0，
∴x （x +5）＝0，
则x ＝0或x +5＝0，
解得：x ＝0或x ＝﹣5，
故选：C ．
【点睛】
本题的考点是解一元二次方程.方法是熟记一元二次方程的几种解法，也可用选项的四种方法分别解题，选择最便捷的方法.
10、D
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】∵x 2﹣1x ＝0，
∴x (x ﹣1)＝0，
∴x ＝0或x ﹣1＝0，
解得：x 1＝0，x 2＝1．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、50°或210°
【分析】首先根据题意作图，然后由∠BAC′=130°，∠BAC=80°，即可求得答案．
【详解】解：∵∠BAC′=130°，∠BAC=80°，
∴如图1，∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=50°，
如图2，∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°．
∴旋转角等于50°或210°．
故答案为：50°或210°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
12、x（x＋2）（x－6）．
【分析】因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解，
【详解】解:x3﹣4x2﹣12x=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6）．
【点睛】
本题考查因式分解-十字相乘法；因式分解-提公因式法，掌握因式分解的技巧正确计算是本题的解题关键.
13、1
【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×4+0.25×6+0.3×3+0.4×7）÷20=0.3（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.3=1（m3），
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数．
14、-1．
【分析】根据x＝2y﹣1，可得：x﹣2y＝﹣1，据此求出代数式4x﹣8y+9的值是多少即可．
【详解】∵x＝2y﹣1，
∴x﹣2y＝﹣1，
∴4x﹣8y+9
＝4（x﹣2y）+9
＝4×（﹣1）+9
＝﹣12+9
＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查的是求代数式的值，解题关键是由x＝2y﹣1得出x﹣2y＝﹣1.
15、1
【解析】先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．
【详解】∵一组数据：﹣1，1，2，x，5，它有唯一的众数是1，∴x=1，∴此组数据为﹣1，2，1，1，5，∴这组数据的中位数为1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方法是解答本题的关键．
16、-1．
【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，1
a
），利用反比例函数的性质得到点A与点
B关于原点对称，则OA＝OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC＝OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得
到∠DCO＝∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD＝AE＝1
a
，CD＝OE＝a，于是C点坐标为（
1
a
，
﹣a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式．【详解】解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
设A点坐标为（a，1
a ），
∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y ＝1a 的交点， ∴点A 与点B 关于原点对称，
∴OA ＝OB
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴OC ＝OA ，OC ⊥OA ，
∴∠DOC +∠AOE ＝90°，
∵∠DOC +∠DCO ＝90°，
∴∠DCO ＝∠AOE ，
在△COD 和△OAE 中， DCO AOE CDO AEO OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△COD ≌△OAE ，
∴OD ＝AE ，CD ＝OE ，
∴点C 的坐标为（1a
，﹣a ）， 1a
×（﹣a ）＝﹣1， ∴k ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题是一道综合性较强的题目，用到的知识点有，反比例函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力.此类题目往往需要借助辅助线，使题目更容易理解.
17、7
【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.
【详解】解：∵2430x x +-=，
∴243x x +=，
∴2447x x ++=，
∴2(2)7x +=，
∴7n =；
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.
18、75°
【解析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA 及sinB 的值，从而得出∠A 及∠B 的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．
【详解】∵|cosA －12|＋(sinB －22
)2＝0， ∴cosA=12，sinB=22
， ∴∠A=60°
，∠B=45°， ∴∠C=180°
-∠A-∠B=75°， 故答案为75°
. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA 及sinB 的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．
三、解答题(共66分)
19、15米.
【分析】根据题意分别表示出AB 、AF 的长，进而得出等式求出答案．
【详解】过E 作EF ⊥AB 于F ，设AC=AE=x
∵AB ⊥CD ，ED ⊥CD ，
∴四边形FBDE 为矩形，
∴ 1.5BF ED ==，
在Rt AEF ⊿中 ∵AF sin AEF AE
∠= ， ∴60?AF xsin =︒，
∴AB=AF+BF 60 1.5xsin =︒+，
在Rt ACB ⊿中， ∵AB sin ACB AC
∠=， ∴75AB xsin =︒，
∴75?60 1.5xsin xsin ︒=︒+，
1.57560x sin sin =
︒-︒
， ∴ 1.5 1.5750.970.97151575600.970.87AB sin sin sin =︒⨯≈⨯=⨯=︒-︒-(米). ∴旗杆AB 的高度为15米.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
20、（1）()6,1B --；（1）60x -<<或2x >
【分析】（1）将x=1代入1122y x =
+求得A （1，3），将A （1，3）代入2k y x =求得26y x =，解方程组得到B 点的坐标为（-6，-1）；
（1）反比例函数与一次函数的交点坐标即可得到结论．
【详解】解：（1）将2x =代入1122y x =
+， 得13y =，
∴()2,3A ．
将()2,3A 代入2k y x =
， 得6k =， ∴26y x =
， ∴1622x x
+=， 解得2x =（舍去）或6x =-．
将6x =-代入26y x
=
， 得21y =-,
∴()6,1B --． （1）由图可知，当12y y >时，60x -<<或2x >．
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解题意是解题的关键．
21、 (1)5
2
； (2) a =8，b =12 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）设 23
a b ==k ，即a=2k,b=3k,代入a+b=20，求出k 的值，即可求出a ，b 的值.
【详解】（1）原式=122⨯
=1+32
=5
2
； （2）设 23
a b ==k ，即a=2k,b=3k,代入a+b=20，得 2k+3k=20,
∴k=4,
∴a=8,b=12.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，比例的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
22、（1）60°；（2【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；
（2）由旋转的性质得：AD =OB =1，结合题意得到∠ADO =90°．则在Rt △AOD 中，由勾股定理即可求得AO 的长．
【详解】（1）由旋转的性质得：CD =CO ，∠ACD =∠BCO ．
∵∠ACB =∠ACO +∠OCB =60°，
∴∠DCO =∠ACO +∠ACD =∠ACO +∠OCB =60°，
∴△OCD 为等边三角形，
∴∠ODC =60°．
（2）由旋转的性质得：AD =OB =1．
∵△OCD 为等边三角形，∴OD =OC =2．
∵∠BOC =120°，∠ODC =60°，∴∠ADO =90°．
在Rt △AOD 中，由勾股定理得：AO == 【点睛】
本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理.
23、（1）∠ADB=15°；(2) 2+
【分析】（1）利用等边对等角结合∠ABC 是△ADB 的外角即可求出∠ADB 的度数；
（2）根据图形可得∠DAB=75°，设AC=x, 根据=
CD tan DAC AC ∠，求出CD 即可； 【详解】（1）∵DB=AB
∴∠BAD=∠BDA
∵∠ABC=30°=∠BAD+∠BDA
∴∠ADB=15°
（2）设AC =x,
在Rt △ABC 中，∠ABC=30°，
∴2,AB x BC ==
∴2AB BD x ==
∴(2CD BC BD x =+=+
∴75=
2CD tan tan DAC AC
︒==+∠【点睛】
此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
24、（1）1；（2）作图见解析；（3）①函数y=x 2﹣2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（答案不唯一）（4） 3，3，2，﹣1＜a ＜1．
【解析】（1）把x=-2代入y=x 2-2|x|得y=1，
即m=1，
故答案为：1；
（2）
如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2-2|x|=1有3个实数根；
②如图，∵y=x2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2-2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是-1＜a＜1，
故答案为：3，3，2，-1＜a＜1．
25、（1）答案见解析；（2）45°．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于1
2
AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；【详解】（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC
1
2
∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF ＝FB ，
∴∠A ＝∠FBA ＝30°，
∴∠DBF ＝∠ABD ﹣∠FBE ＝45°．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26、（1）点A 在该反比例函数的图像上，见解析；（2）Q 的横坐标是3172+；（3）见解析. 【分析】（1）连接PC ，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，由此可求得点P 的坐标为（2，3）；即可求得反比例函数的解析式为23(0)y x x
=>，连接AC ，过点B 作BG AC ⊥于点C ，求得点A 的坐标，由此即可判定点A 是否在该反比例函数的图象上；（2）过点Q 作QM x ⊥轴于点M ，设DM b =，则3QM b =
，由此可得点Q 的坐标为(3,3)b b +，根据反比例函数图象上点的性质可得3(3)23b b +=，解方程球队的b 值，即可求得点Q 的横坐标；（3）连接AP ，
AP BC EF ==，AP BC EF ∥∥，结合（1）中的条件，将正六边形ABCDEF 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位（平移后的点B 、C 在反比例函数的图象上）或将正六边形ABCDEF 向左平移2个单位（平移后的点E 、F 在反比例函数的图象上）.
【详解】解：（1）连接PC ，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，
在正六边形ABCDEF 中，点B 在y 轴上
OBC ∴∆和PCH ∆都是含有30︒角的直角三角形，2BC PC CD ===
1OC CH ∴==，3PH =∴点P 的坐标为3)
3k ∴=
∴反比例函数的表达式为230)y x =>
连接AC ，过点B 作BG AC ⊥于点C
120ABC ︒∠=，2AB BC ==
1BG ∴=，AG CG ==
∴点A 的坐标为(1,
当1x =时，y =所以点A 在该反比例函数的图像上
（2）过点Q 作QM x ⊥轴于点M
六边形ABCDEF 是正六边形，60EDM ︒∴∠=
设DM b =，则QM =
∴点Q 的坐标为()b +
(3)b +=
解得132b -+=，232
b --=
332b +∴+=
∴点Q （3）连接AP ，
AP BC EF ==，AP BC EF ∥∥
∴
平移过程：将正六边形ABCDEF 先向右平移1个单位，或将正六边形ABCDEF 向左平移2个单位
【点睛】
本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标相结合是解决问题的关系．。