第4章 Nash均衡解的特性

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• 因此，传统的博弈论研究的问题或许并不 是如何找到博弈的Nash均衡(即存在性问 题)，而是在博弈的多个Nash均衡中选择 一个合理的均衡(即多重性问题)。 • 事实上，当在一个博弈中存在多个Nash均 衡时，目前还没有一个一般的理论能证明 哪个Nash均衡结果一定会出现。
第一部分： 完全信息静态博弈
第四章 Nash均衡解的特性
主要内容： 一、Nash均衡的意义 二、Nash均衡解的存在性 三、Nash均衡解的多重性
第四章 Nash均衡解的特性
主要内容： 一、Nash均衡的意义 二、Nash均衡解的存在性 三、Nash均衡解的多重性
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第四章 Nash均衡解的特性
主要内容： 一、Nash均衡的意义 二、Nash均衡解的存在性 三、Nash均衡解的多重性
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1. 焦点效应 2. 相关均衡
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焦点效应
• 在某些存在多个Nash均衡的博弈中，往 往会出现这样的现象：所有的参与人都 会相互预期博弈中某一特定的均衡将会 出现，从而选择执行这个特定的均衡。
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L
1
2
R
0, -1 -1, 3
3 1 1 1 (( , ), ( , )) 4 4 2 2
U D
0, 0 1, 0
• 博弈有惟一的Nash均衡—— • 两个参与人在均衡中的期望收益都为0。
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•
况下，纯战略是参与人1的最优反应； 3 1 ( 而在参与人1选择均衡战略 1 4 , 4 ) 的 情况下，纯战略 L是参与人2的最优反 应； • 在参与人1选择纯战略U而参与人2选择 纯战略 L的情况下，双方的收益都为0， 与均衡中的期望收益相同。
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• 对于Nash均衡的多重性问题，目前解决 的思路主要有两种： • 第一种：规范式方法（均衡精炼）； • 第二种：非规范式方法（焦点效应、相 关均衡）。
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• Nash均衡具有作为博弈一致性预测的特点—— 所有参与人的自我肯定。 • 一个博弈结果 ( si , si ) (或 ( i , i ) )如果不是Nash均 衡，那么就意味着：至少有一个参与人i，在给 定其他参与人的选择 si (或 i )的情况下，会 偏离 si (或 i )。因此，( si , si )(或 ( i , i ) )不可能 成为博弈的一致性预测。也就是说，一个非Na sh均衡的预测将会被参与人(至少一个参与人) 自我否定。
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一、Nash均衡的意义
• 观点：Nash均衡是博弈的一种一致性预 测——如果所有参与人预测一个特定的N ash均衡会出现，那么所有参与人都不会 偏离，这个Nash均衡将会出现。
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• 例如，在“斗鸡博弈”中，虽然存在两个 纯战略的Nash均衡(U,D)和(D,U)(即一个人 冲上去，另一个人退下来)，但是，如果 用它们作为一致性的预测话，就会面临这 样的问题：在博弈中，到底谁冲上去，谁 又该退下来？如果两个参与人对“两个均 衡到底哪一个会出现”的预测不一致的话， 就可能会出现问题。
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• 给定一个博弈G，R是G中参与人如何行动的数 学描述的某个值域，用 (G ) R 表示博弈的解。 (G )应满足如下两个条件： 作为博弈的解， • (1) G ， (G) ，都存在一个环境能使π成 为参与人在这个博弈G中将如何行动的准确预测； • (2) 不存在一个环境能使π成为 参与人在这个博弈 G G, R \ (G ) 中将如何行动的准确预测；
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• 在博弈论中Nash均衡是作为博弈的解— —一致性的预测而引入的。 • 在一个博弈问题中，如果博弈只存在一 个Nash均衡，那么Nash均衡作为一致性 的预测，应该说是相当有效的。但是， 如果博弈中存在多个Nash均衡，那么Nas h均衡作为博弈解的意义也就相对弱化了。
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2
U
1
D
1, -1 0, 0
U D
-4, -4 -1, 1
• 存在两个纯战略Nash均衡——(U，D)和(D，U)， 也就是一个人上去，另一个就必须退下来。
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• 这是因为，如果参与人预测 (U, U) 会 出现，那么在行动时他不会选择U，因 为相对于选择 U 实现预测的结果 ，参 与人选择 D 可以使自己的支付变好， 从而导致预测的行动和实际的行动不 符，这也就意味着这个预测被参与人 自我否定。
均衡精炼的主要思路
• 从博弈解的定义入手，在Nash均衡的基 础上，通过定义更加精炼的博弈解如子 博弈精炼Nash均衡、精炼贝叶斯Nash均 衡等，剔除Nash均衡中不合理的均衡。 这种解决Nash均衡多重性的思路具有普 遍性，对所有的博弈问题都适用；如果 均衡精炼的方法可以称为规范式的方法 的话，
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• 任何一个满足以上两性质的解，我们称 之为博弈的一个精确解(exact solution)。 精确解要求对所有可能情况下参与人将 如何行动进行预测，并且其对参与人在 各种情况下将如何行动的预测是准确预 测，也就是一致性预测。
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• 参与人1预测博弈的解为：自己上去，对 方退下来(即均衡(U,D))，而参与人2则预 测博弈的解为：对方退下来，自己上去 (即均衡(D,U))，那么博弈真正的结果就 会既不是Nash均衡(U,D)也不是(D,U)( Na sh均衡，而是非Nash均衡——双方都冲 上去，出现两败俱伤的情形。
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• 一般情况下，同时满足以上两条性质的解难以 找到。 • 将满足第一条性质的解，称为博弈的下解(lower solution)。下解排除了所有不合理的预测，但也 可能排除了合理的预测； • 将满足第二条性质的解，称为博弈的上解(upper solution)。上解包含了所有合理的预测，但也可 能包含了不合理的预测。显然，Nash均衡是上 解。
Nash均衡的存在性定理
每一个有限的战略式博弈至少存在 一个Nash均衡(包括纯战略和混合战略Na sh均衡)。
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第四章 Nash均衡解的特性
主要内容： 一、Nash均衡的意义 二、Nash均衡解的存在性 三、Nash均衡解的多重性
i i
i
i
i
i
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Nash均衡的特点：
• 对任一个参与人i，在给定其他参与人选 择的情况下，均衡战略是自己的最优战 略。
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( , • 将 (si , s ( 或 ) i i ) )作为博弈的一致性预测，那 i 么 (s , s ) (或 ( i , i ) )就应具有这样的特点：对于 博弈中的任一个参与人 i，如果他预测到 (si , s i) (或 ( i , i ))将作为博弈结果出现，那么在他预测 s 到其他参与人的选择为 i (或 )的情况下，自 己的选择 si (或 )必须使自己的收益最大化(否 则他就不是理性的)，即 si arg max ui ( si , s i) 。 s S
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非规范式方法的特点
• 针对一些特定情形下的特定博弈问题， 给出具体的解决Nash均衡多重性问题的 方法。
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非规范的方法的方式
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• 非Nash均衡的(U, U)不可能成为一个一致 性预测。基于同样的原因， (D, D)也不是 一个一致性预测。
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1 1 在参与人2选择均衡战略 2 ( 2 , 2 ) 的情
• 但是，作为非Nash均衡的战略组合(U, L) 却不能成为博弈的一致性预测。 • 这是因为，如果预测到参与人2选择纯战 略L的话，参与人1的最优选择又应该是 D，此时，参与人1会偏离而选择D 。
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例子：斗鸡博弈
• 两个所谓的勇士举着长枪，准备从独木桥的 两端冲上桥中央进行决斗。每位勇士都有两 种选择：冲上去(用U表示)，或退下来(用D表 示)。若两人都冲上去，则两败俱伤；若一方 上去而另一方退下来，冲上去者取得胜利(至 少心理上是这样的)，退下来的丢了面子；若 两人都退下来，两人都丢面子。
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焦点效应
• 2005年诺贝尔经济学奖获得者Schelling对 这种现象进行了详尽的探讨并且证明：在 一个具有多重均衡的博弈中，趋向于将参 与人的注意力集中到一个均衡的任何事情， 都可能使参与人全都预期并随之实行这个 均衡，就像一个自行应验的预言一样。
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• 当一个理性的参与人预测到对方将会冲上 去时，明智的选择就是退下来； • 而当预测到对方将会选择退却时，就应该 大胆地冲上去。所以，我们可以将Nash均 衡作为“斗鸡博弈”的一致性预测。
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• (U, U)和(D, D)，也就是两人同时冲上去 或同时退下来，不是Nash均衡，也不能 成为博弈的一致性预测。
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焦点效应
• Schelling将这种现象称之为“焦点效应” (focal-point effect)，在焦点效应中具有某 种使它显著地区别于所有其它均衡之性质 的均衡，被称为“焦点均衡”(focal equilib rium)。
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