4.3.1 等比数列的概念

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念
基础过关练
题组一 等比数列的概念及其应用
1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有( ) ①数列1,2,6,18,…;
②数列{a n }中,已知a
2a 1
=2,a
3a 2
=2;
③常数列a,a,…,a,…; ④数列{a n }中,
a n+1a n
=q(q ≠0),其中n ∈N *.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2.有下列四个说法:
①等比数列中的某一项可以为0; ②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);
③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1; ④若b 2=ac,则a,b,c 成等比数列. 其中说法正确的个数为( ) A.0 B .1 C .2 D .3
3.(1)已知数列{a n }满足a 1=7
8,且a n+1=1
2a n +1
3.求证:{a n -2
3}是等比数列;
(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =1
3(a n -1)(n ∈N *).证明:数列{a n }是
等比数列.
题组二等比中项
4.2-√3与2+√3的等比中项是()
A.1
B.-1
C.2
D.-1或1
5.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列{a n}的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于()
A.6
B.4
C.3
D.-1
6.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于()
A.6
B.-6
C.±6
D.±12
7.(多选)(2020山东临沂高二期末)已知三个数1,a,4成等比数列,则圆锥
曲线x2+y 2
a
=1的离心率为()
A.√2
2B.√3
2
C.√6
2
D.√3
题组三等比数列的通项公式
8.在等比数列{a n}中,a1=32,公比q=-1
2
,则a6=()
A.1
B.-1
C.2
D.1
2
9.在等比数列{a n}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于()
A.2
B.1或-2
C.1
D.-1或2
10.(2020山东济宁实验中学高二上期中)在等比数列{a n}中,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a5=()
A.24
B.48
C.96
D.-48
11.(2019陕西西安一中高二上月考)现存入银行8万元,年利率为
2.50%,若采用一年期自动转存业务,则第十年末的本利和为()
A.8×1.0258万元
B.8×1.0259万元
C.8×1.02510万元
D.8×1.02511万元
是此数列的12.已知某等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-27
2
()
A.第2项
B.第4项
C.第6项
D.第8项
13.已知等比数列{a n},若a3=2,a2+a4=20
,求数列{a n}的通项公式.
3
14.(2020江西九江一中高二上期中)已知数列{a n}的前n项和为
S n,a1=1,S n+1=4a n+1,设b n=a n+1-2a n.
(1)证明数列{b n}是等比数列;
(2)数列{c n}满足c n=1
(n∈N*),设T n=c1c2+c2c3+c3c4+…+c n c n+1,求
log2b n+3
T20.
题组四 等比数列的性质及其综合运用
15.(2019湖南怀化三中高二上期中)等比数列{a n }满足a 1=3,a 3=6,则a 3+a 5+a 7=( )
A.21
B.42
C.63
D.84
16.在等比数列{a n }中,若a 7+a 8+a 9+a 10=15
8
,a 8a 9=-9
8
,则
1
a 7+1a 8+1a 9+
1
a 10
=( ) A.-56
B.-5
3
C.-8
3
D.-10
3
17.已知数列{a n }是等比数列,则下列说法正确的个数是( )
①数列{a n 2}是等比数列;
②数列{2+a n }是等比数列; ③数列{lg a n }是等比数列; ④数列{na n }是等比数列; ⑤数列{1
a
n
}是等比数列;
⑥数列{a n +a n+1}是等比数列. A.2 B.3 C.4 D.5
18.(2020福建福州八县一中高二上期中)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 8a 13=64,则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 20=( ) A.60 B.50 C.40 D.20+log 25
19.(1)已知等比数列{a n }满足a 1=1
4,a 3a 5=4(a 4-1),求a 2的值;
(2)已知等比数列{a n }为递增数列.若a 1>0,且2(a 4+a 6)=5a 5,求数列{a n }的公比q.
20.在等比数列{a n}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设b n=log2a n,且
b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:数列{b n}是等差数列;
(2)求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项公式.
能力提升练
题组一等比数列的概念及其应用
1.(2020天津耀华中学高二上期中,)若b≠0,则“a,b,c成等比数列”是“b=√ac”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高二上期中,)中国古代数
学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升,b 升,c 升,1斗为10升,则下列判断正确的是( ) A.a,b,c 成公比为2的等比数列,且a=50
7
B.a,b,c 成公比为2的等比数列,且c=50
7
C.a,b,c 成公比为12
的等比数列,且a=50
7
D.a,b,c 成公比为12
的等比数列,且c=50
7
3.()已知a,b,c 均为正数,若a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列,且公
比为q,则q 3+q 2+q=( ) A.0 B.1 C.3 D.不确定 4.(2020江西九江一中高二上期中,
)已知三角形的三边构成等比数
列,若它们的公比为q,则q 的取值范围是 . 题组二 等比数列的通项公式 5.(2020山东济宁实验中学高二上期中,)等比数列{a n }满足
a 4+a 7=4,a 5·a 6=3,则a 1+a 10=( ) A.-28
3
B.-1
3
C.13
D.28
3
6.()已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n
a n+2(n∈N*).若
b n=log2(1
a n
+1),则数
列{b n}的通项公式b n=()
A.1
2
n B.n-1 C.n D.2n
7.(2020北京石景山高二上期末,)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.设数列{a n-n}的前n项和为S n,那么S4
S5(填“>”“<”或“=”).
8.()已知数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且a n+S n=n.
(1)设c n=a n-1,求证:{c n}是等比数列;
(2)求数列{b n}的通项公式.
9.(2020河南郑州高二期中,)在数列{a n}中,S n为数列{a n}的前n项和,2S n+2n=3a n(n∈N*).
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=1+a n
a n·a n+1,数列{
b n}的前n项和为T n,证明T n<1
4
.
题组三等比数列的性质及其综合运用
10.(2020湖南长沙高二上期中,)在等比数列{a n}中,a2=2,a4=8,a n>0,则数列{log2a n}的前n项和为()
A.n(n+1)
2B.(n-1)
2
2
C.n(n-1)
2D.(n+1)
2
2
11.(2020山东聊城高二上期末,)已知数列{a n}满足a n≠0,则“a1a4=a2a3”是“{a n}为等比数列”的()
A.充分不必要条件
B.充分必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2019广东湛江一中高二月考,)已知数列{a n}是等比数列,数列{b n}是等差数列,若a1a6a11=-3√3,b1+b6+b11=7π,则tan b3+b9
1−a4a8
的值是
()
A.-√3
B.√2
2C.-√2
2
D.√3
13.(2020山东聊城高二上期末,)各项互不相等的等比数列{a n}满足
a5·a7=a m·a n,则1
m +4
n
的最小值为.
14.()已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,公比是q,且满足a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.
(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;
(2)设c n=3b n-λ·2a n
3,若数列{c n}是递增数列,求实数λ的取值范围.
15.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)黄河被称为我国的母亲河,它的得名据说来自于河水的颜色,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色,黄河的水源来自青海高原,从源头开始1000千米的河水是非常清澈的.只是在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,形成了一条奇特的水中分界线,设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000m3/s,黄河水的含沙量为2kg/m3,洮河水的含沙量为20kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1000m3的水量,即从洮河流入黄河1000m3的水混合后,又从黄河流入1000m3的水到洮河再混合.
(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;
(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)
答案全解全析 基础过关练
1.A ①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A.
2.B 对于①,因为等比数列中的各项都不为0,所以①不正确;对于②,因为等比数列的公比不为0,所以②不正确;对于③,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以③正确;对于④,只有当a,b,c 都不为0时,a,b,c 才成等比数列,所以④不正确.因此,正确的说法只有1个,故选B.
3.证明 (1)∵a n+1=1
2a n +1
3,∴a n+1-23=1
2a n +13-23=1
2(a n -2
3),
又a 1-23=78-2
3=5
24≠0,
∴{a n -23}是首项为524,公比为1
2的等比数列.
(2)∵S n =1
3(a n -1),
∴S n+1=1
3
(a n+1-1),
两式相减得,a n+1=13
a n+1-1
3
a n ,
即a n+1=-1
2
a n ,
又当n=1时,a 1=S 1=1
3
(a 1-1),
∴a 1=-12
.∴数列{a n }是首项为-12
,公比为-1
2
的等比数列.
4.D 由题意可设2-√3与2+√3的等比中项是m,则m 2=(2-√3)(2+√3)=1,解得m=-1或m=1.故选D.
5.B 依题意得,a 32
=a 1a 7,
∴(a 1+4)2=a 1(a 1+12),解得a 1=4.故选B. 6.C 由题意可得,a=1+22
=32
,b 2=(-1)×(-16)=16,解得b=±4,
∴ab=±6.
7.AD 由三个数1,a,4成等比数列, 得a=±2.
当a=2时,曲线x 2+y
22
=1为焦点在y 轴上的椭圆,此时离心率e=
√2−1√2
=√2
2. 当a=-2时,曲线x 2-y 2
2
=1为焦点在x 轴上的双曲线,此时离心率
e=
√2+1
1
=√3. 故选AD.
8.B 由题知a 6=a 1·q 5
=32×(-12)5
=-1.
9.B 设等比数列{a n }的首项为a 1, 根据题意,得{a 1q 2+a 1q 3=4,a 1q =2,
解得{a 1=2,q =1或{a 1=−1,q =−2.故选B.
10.B 设等比数列{a n }的公比为q, 依题意得,4a 2=4a 1+a 3, 即4a 1q=4a 1+a 1q 2. 又a 1=3≠0,
∴q 2-4q+4=0,解得q=2, 则a 5=a 1q 4=3×24=48,故选B.
11.C 由题意得,每年末的本利和依次构成以1+2.50%=1.025为公比,8×1.025为首项的等比数列,所以第十年末的本利和为8×1.025×1.02510-1=8×1.02510万元.故选C.
12.B 由题意得,(2x+2)2=x(3x+3), 解得x=-1或x=-4.
当x=-1时,2x+2=3x+3=0,不符合题意,舍去,∴x=-4. 此时2x+2=-6,3x+3=-9,
∴该等比数列的首项为-4,公比为3
2.
设-27
2
为此数列的第n 项,
则-4×(32)n -1
=-27
2
,解得n=4.
故选B.
13.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则q ≠0. 由题意得,a 2=a
3q
=2
q ,a 4=a 3q=2q,
∴2q
+2q=203
,解得q=1
3
或q=3.
当q=1
3
时,a 1=18,
∴a n =18×(13)
n -1
=2×33-n .
当q=3时,a 1=29
, ∴a n =29
×3n-1=2×3n-3.
综上,当q=1
3时,a n =2×33-n ,n ∈N *;
当q=3时,a n =2×3n-3,n ∈N *.
14.解析 (1)证明:由S n+1=4a n +1, ① 得当n ≥2时,S n =4a n-1+1,② ①-②得,a n+1=4a n -4a n-1, 所以a n+1-2a n =2(a n -2a n-1), 又b n =a n+1-2a n ,所以b n =2b n-1(n ≥2).
当n=1时,由S n+1=4a n +1得,a 1+a 2=4a 1+1,又a 1=1,所以a 2=3a 1+1=4. 所以b 1=a 2-2a 1=2.
所以数列{b n }是首项为2,公比为2的等比数列. (2)由(1)可知b n =2n , 则c n =
1
log 2b n +3=
1
n+3
(n ∈N *).
所以T n =c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+…+c n c n+1 =
1
4×5+
1
5×6+
1
6×7+…+
1(n+3)(n+4)
=(14-15)+(15-16)+…+1
n+3-
1
n+4
=1
4-1
n+4=n
4(n+4)
.
因此,T 20 =
20
4×(20+4)=5
24
.
15.B 设等比数列{a n }的公比为q,易知a 1,a 3,a 5,a 7构成等比数列,且a 3=a 1q 2=3q 2=6,得q 2=2.
所以a 3+a 5+a 7=a 3+a 3q 2+a 3q 4=6+12+24=42.故选B. 16.B ∵数列{a n }是等比数列, ∴a 7a 10=a 8a 9. ∴1
a 7+1
a 8+1
a 9+1
a 10
=(
1a 7+
1a 10
)+(1
a 8
+1
a 9
)
=a 7+a 10a 7a 10+a 8+a 9a 8a 9
=a 7+a 10a 8a 9+a 8+a 9
a 8a 9 =
a 7+a 8+a 9+a 10
a 8a 9
=158-98
=-5
3
.
17.A 设等比数列{a n }的公比为q,b n =a n 2
,
则b n+1b n =a n+12a n 2=(a n+1a n )2=q 2,∴{a n 2}为等比数列,①正确;当a n =3n
时,2+a n+12+a n
≠常数,②错误;当a n <0时,lg a n 无意义,③错误;设c n =na n ,则
c n+1c n =(n+1)a n+1na n =(n+1)q n ≠常数,④错误;{1a n }是以1a 1为首项,1
q
为公比的等比数列,⑤正确;当数列{a n }的公比为-1时,a n +a n+1=0,而等比数列的各项均不为0,∴⑥错误.故选A.
18.B 由等比数列的性质可得,a 10a 11+a 8a 13=2a 10a 11=64,∴a 10a 11=32,∴a 1a 20=a 2a 19=a 3a 18=…=a 10a 11=32.结合对数的运算法则可
得,log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 20=log 2(a 1a 2…a 20)=log 23210=50.故选B.
19.解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,由a 3a 5=4(a 4-1),得a 42=4(a 4-1),
解得a 4=2,∴q 3=a 4a 1
=8,∴q=2,∴a 2=a 1q=1
2
.
(2)由2(a 4+a 6)=5a 5,得2(a 4+a 4q 2)=5a 4q,易知a 4≠0,所以2+2q 2=5q,即(2q-1)(q-2)=0,解得q=2或q=1
2.
因为等比数列{a n }为递增数列,且a 1>0, 所以q>1,所以q=2.
20.解析 (1)证明:因为b n =log 2a n , 所以b n+1-b n =log 2a n+1-log 2a n =log 2
a n+1a n
=log 2q(q>0)为常数,
所以数列{b n }是公差为log 2q 的等差数列. (2)设等差数列{b n }的公差为d,
因为b 1+b 3+b 5=6,所以(b 1+b 5)+b 3=2b 3+b 3=3b 3=6,所以b 3=2. 因为a 1>1,所以b 1=log 2a 1>0, 又因为b 1b 3b 5=0,所以b 5=0,
即{b 3=2,b 5=0,即{b 1+2d =2,b 1+4d =0,解得{b 1=4,d =−1,
因此S n =4n+
n(n -1)2
×(-1)=
9n -n 22,
所以d=log 2q=-1,解得q=12
, b 1=log 2a 1=4,解得a 1=16, 所以a n =a 1q n-1
=2
5−n
(n ∈N *).
能力提升练
1.B ∵b ≠0,且b=√ac ,∴b 2=ac,且a,b,c 均不为0,∴a,b,c 成等比数列,因此必要性成立;由a,b,c 成等比数列得,b 2=ac,从而b=±√ac ,因此充分性不成立.故选B.
2.D 依题意得,a,b,c 成等比数列,且公比为1
2
,∴b=1
2
a,c=1
2
b=1
4
a,
∴a+12a+14
a=5×10,解得a=
2007
,
∴c=14
a=50
7
,故选D.
3.B 依题意,有q 3+q 2+q=a+b -c
a+b+c +
c+a -b
a+b+c +
b+c -a
a+b+c
=1.
4.答案 (
√5-12,√5+12
) 解析 由题意可设三角形的三边分别为a
q
,a,aq,a>0,q>0,因为三角形中
任意两边之和大于第三边,
所以{
a
q +a >aq,
a q +aq >a,a +aq >a q ,
解得-1+√52<q<1+√5
2.
5.D ∵{a n }是等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=3,又a 4+a 7=4,
∴a 4,a 7是一元二次方程x 2-4x+3=0的两根,解此方程得x=1或x=3. 当a 4=1,a 7=3时,a 1=a 4
2a 7=13
,a 10=a 7
2a 4
=9,
∴a 1+a 10=28
3
.
当a 4=3,a 7=1时,同理可得a 1=9,a 10=13
,∴a 1+a 10=28
3
.故选D.
6.C 由a n+1=a n a n +2
,得
1a n+1
=1+2
a n ,
所以
1a n+1
+1=2(1
a n
+1),又1
a
1
+1=2,
所以数列{1
a n
+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以1
a n
+1=2·2n-1=2n ,所以b n =log 2(1a n
+1)=log 22n =n.故选C.
7.答案 <
解析 设正项等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则q>0, 所以{a 2=a 1q =1,
a 3+a 4=a 1q 2+a 1q 3=6,
解得{a 1=1
2,q =2或{a 1=−1
3,
q =−3(舍去). 所以a n =a 1q n-1=2n-2,
所以S 5-S 4=a 5-5=23-5=3>0,故S 5>S 4. 8.解析 (1)证明:∵a n +S n =n,① ∴a n+1+S n+1=n+1,② ②-①得a n+1-a n +a n+1=1. ∴2a n+1=a n +1, ∴2(a n+1-1)=a n -1,
∴a n+1-1=1
2
(a n -1),即c n+1=1
2
c n .
又a 1+a 1=1,∴a 1=12
,∴c 1=a 1-1=-1
2
≠0,
∴{c n }是以-12
为首项,1
2
为公比的等比数列.
(2)由(1)可知,c n =(-1
2)·(12)
n -1
=-(12
)n
, ∴a n =c n +1=1-(12
)n
.
当n ≥2时,b n =a n -a n-1 =1-(12)n
-[1−(12)
n -1]
=(12
)n -1
-(12)n =(12
)n
. 又当n=1时,b 1=a 1=12
,符合上式, ∴b n =(12
)n
(n ∈N *). 9.解析 (1)∵2S n +2n=3a n , ∴2S n+1+2(n+1)=3a n+1, 两式相减得a n+1=3a n +2, ∴a n+1+1=3(a n +1).
又2S 1+2=3a 1,∴2a 1+2=3a 1,∴a 1=2. ∴a 1+1=3≠0,
∴数列{a n +1}是以3为首项, 3为公比的等比数列, ∴a n +1=3n ,∴a n =3n -1. (2)证明:由(1)可得, b n =
1+a n a n ·a n+1=
3n
(3n -1)(3n+1-1)
=1
2(1
3-1-13-1), ∴T n =
1
21
3−1-
1
32-1+
1
32-1-
1
33-1+…+
1
3n -1-
1
3n+1-1
=12(12-13n+1-1) =14-1
2·
1
3-1<1
4
.
10.C 设等比数列{a n }的公比为q,则a 1>0,q>0. ∵a 4=a 2q 2,即8=2q 2,∴q=±2. 又q>0,∴q=2.
∴a n =a 2·q n-2=2×2n-2=2n-1, ∴log 2a n =log 22n-1=n-1.
∴数列{log 2a n }的前n 项和为0+1+2+…+(n-1)=
n(n -1)2
.故选C.
11.C 如果a 1=1,a 2=2,a 3=8,a 4=16,满足a 1a 4=a 2a 3,但{a n }不是等比数列;反之,若{a n }为等比数列,则根据等比数列的性质可知a 1a 4=a 2a 3,所以“a 1a 4=a 2a 3”是“{a n }为等比数列”的必要不充分条件,故选C.
12.A 因为{a n }是等比数列,所以a 1a 6a 11=a 63=-3√3,所以a 6=-√3,所以a 4a 8=a 62=3.
因为{b n }是等差数列,所以b 1+b 6+b 11=3b 6=7π,所以b 6=7π
3
,所以
b 3+b 9=2b 6=14π3
.
所以
b 3+b 91−a 4a 8
=-7π
3
,所以tan
b 3+b 91−a 4a 8
=tan (-
7π
3
)=-tan π
3=-√3. 13.答案 3
4
解析 由题意知m+n=5+7=12,即m 12+n
12=1(m,n ∈N *),
则1m +4n =(1m +4n )(m 12+n 12)=512+n 12m +m
3n ≥512+2√n 12m ·m 3n =3
4,当且仅当4m 2=n 2时等号成立,此时m=4,n=8,所以1
m +4
n
的最小值为3
4
.
14.解析 (1)由已知得,b 2=b 1q=q(q>0), S 2=a 1+a 2=3+a 2,
∴{b 2+S 2=q +3+a 2=12,S 2=3+a 2=q 2, 解得{q =3,a 2=6或{q =−4,a 2=13(舍去),
∴a 2-a 1=3,a n =3+(n-1)×3=3n, b n =b 1q n-1=3n-1.
(2)由(1)知,c n =3b n -λ·2a n 3
=3n -λ·2n .由题意知c n+1>c n 对任意n ∈N *恒成立,即3
n+1
-λ·2
n+1
>3n
-λ·2n
恒成立,即λ·2n
<2·3n
恒成立,即λ<2·(32
)n
恒成立,只
需λ<[2·(32
)n
]
min
即可.∵函数y=(32)n 是增函数,∴[2·(32
)n
]
min
=2×3
2
=3,
∴λ<3,∴实数λ的取值范围为(-∞,3).
15.解析 (1)在第二个观测点时,洮河流入黄河1 000 m 3的水混合后,黄河的含沙量为
2×2 000+20×1 000
3 000
=8 kg/m 3,又从黄河流入1 000 m 3的水
到洮河再混合后,洮河的含沙量为
8×1 000+20×1 000
2 000
=14 kg/m 3.
(2)设在第n 个观测点时黄河的含沙量为a n kg/m 3,洮河的含沙量为b n kg/m 3,由题意有a 1=2,b 1=20,且
a n+1=1 000
b n +2 000a n 3 000=2a n +b n 3,b n+1=1 000b n +1 000a n+12 000=a n+1+b n 2=a n +2b n
3
,
所以b n+1-a n+1=13
(b n -a n ),又b 1-a 1=18≠0,所以{b n -a n }是首项为18,公比为
13
的等比数列,∴b n -a n =18×(13)
n -1
.根据题意,有18×(13)
n -1
<0.01,即3n-1>1
800,n ∈N *,解得n>7,所以从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m 3.。