沙县民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

沙县民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0
B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0
C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0
D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞0
2． 阅读如右图所示的程序框图，若输入0.45a =，则输出的k 值是（ ） （A ） 3 （ B ） 4 （C ） 5 （D ） 6
3． 若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是（ ）] A ．1=x B ．1-=x C ．2=x D ．2-=x 4． 二进制数）（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．41
5． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
6． 函数y=+的定义域是（ ）
A ．{x|x ≥﹣1}
B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3}
C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3}
D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
7． 设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k 的系数不可能是（ ）
A ．10
B ．40
C ．50
D ．80
8． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k +与2﹣互相垂直，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
9． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 2
3＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4
＝1 10．在等差数列中，已知，则
（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
11．已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）
A． B．C． D．
二、填空题
13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．
14．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是．
15．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为．
16．设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
17．抛物线y=x2的焦点坐标为（）
A．（0，）B．（，0）C．（0，4） D．（0，2）
18．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全
校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取
100人，则应在高三年级中抽取的人数等于.
三、解答题
19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的
距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
20．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．
（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=，证明：PB∥平面EFG；
（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．
①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4；
②GH⊥PD．
21．如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AC；
（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC．
22．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．
（1）若0＜α＜
，且sin α=
，求f （α）的值；
（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．
23．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7． （1）求()f x 的解析式；
（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．
24．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。

（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n 。

沙县民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：命题p ：∀x ∈R ，2x 2
﹣1＞0，
则其否命题为：∃x ∈R ，2x 2
﹣1≤0，
故选C ；
【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；
2． 【答案】 D.
【解析】该程序框图计算的是数列前n 项和，其中数列通项为()()
1
2121n a n n =
-+
()()
111
1111335
2121221n S n n n ⎡⎤∴=
+++
=
-⎢⎥⨯⨯-++⎣⎦
9
0.452
n S n n >∴>∴最小值为5时满足
0.45n S >，由程序框图可得k 值是6． 故选D ．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：∵函数)1(+=x f y 向右平移个单位得出)(x f y =的图象，又)1(+=x f y 是偶函数，对称轴方程为0=x ，∴)(x f y =的对称轴方程为1=x .故选A ． 考点：函数的对称性. 4． 【答案】B 【解析】
试题分析：()21212121101010
242=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制 5． 【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f （x ）=﹣3x 2
+1，有两个零点，不满足条件．
若a ≠0，函数的f （x ）的导数f ′（x ）=6ax 2
﹣6x=6ax （x ﹣），
若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
若a ＞0，由f ′（x ）＞0得x ＞或x ＜0，此时函数单调递增，
由f ′（x ）＜0得0＜x ＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （），若x 0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a ＜0，由f ′（x ）＞0得＜x ＜0，此时函数递增，
由f ′（x ）＜0得x ＜或x ＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （）， 若存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
则f （）＞0，即2a （）3﹣3（）2
+1＞0，
（）2
＜1，即﹣1＜＜0，
解得a ＜﹣1， 故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
6． 【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x ≥﹣1或x ≠3， 故选：D ．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
7． 【答案】 C
【解析】 二项式定理． 【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k
的系数，将k 的值代入求出各种情况的系数．
【解答】解：（x+2）5的展开式中x k 的系数为C 5k 25﹣k
当k ﹣1时，C 5k 25﹣k =C 5124
=80， 当k=2时，C 5k 25﹣k =C 5223
=80， 当k=3时，C 5k 25﹣k =C 5322
=40， 当k=4时，C 5k 25﹣k =C 54
×2=10， 当k=5时，C 5k 25﹣k =C 55
=1，
故展开式中x k
的系数不可能是50
故选项为C 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数． 8． 【答案】D
【解析】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k +=k （1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k ﹣1，k ，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k +与2﹣互相垂直，
∴3（k ﹣1）+2k ﹣4=0，解得：k=．
故选：D ．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
9． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25－y 2
＝1，故选C.
10．【答案】B
【解析】
，所以，故选B
答案：B
11．【答案】C
【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；
否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；
逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；
综上，以上3个命题中真命题的个数是2．
故选：C
12．【答案】A
【解析】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，
∴圆的半径，
由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，
∴；
由，得b+2c＜2a，
再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，
∴3c2+4bc＜3a2，
∴4bc＜3b2，
∴4c＜3b，
∴16c2＜9b2，
∴16c2＜9a2﹣9c2，
∴9a2＞25c2，
∴，
∴．
综上所述，．
故选A．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：已知∴∴为所求；
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
14．【答案】（﹣4，）．
【解析】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8，=2．
∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．
设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，
根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，
即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，
∴n2=8m=32，可得n=±4，
因此，点P的坐标为（﹣4，）．
故答案为：（﹣4，）．
【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．
15．【答案】．
【解析】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10．
数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），
∴b2=3，则=，
故答案为．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
16．【答案】≤a＜1或a≥2．
【解析】解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
17．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．18．【答案】25
【解析】
考点：分层抽样方法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，
得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，
由得y2+2y﹣2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣
又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1
∵t≥﹣
∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0
【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．
20．【答案】
【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点，
取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线，
∴PK∥GF，
∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG，
∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF，
∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG，
∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB，
又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG．
（2）解：连结PE，则PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD，
分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴P（0，0，），D（﹣1，4，0），
=（﹣1，4，﹣），∵P（0，0，），
D（﹣1，4，0），=（﹣1，4，﹣），
∵==（﹣，，﹣），
∴G（﹣，，），
设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4，
依题意得：，
∴x2＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）
又=（x+，y﹣，﹣），
∵GH⊥PD，∴，
∴﹣x﹣+4y﹣，即y=，（ii）
把（ii）代入（i），得：3x2﹣12x﹣44＞0，
解得x＞2+或x＜2﹣，
∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，
∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点
∴BC⊥AC …
又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O，
∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1…
而AA1∩AC=A
∴BC⊥平面A1AC …
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E，
∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB …
又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且
∴DE∥A1O1，DE=A1O1
∴A1DEO1为平行四边形…
∴A1D∥EO1…
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC
∴A1D∥平面O1BC …
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵0＜α＜，且sin α=，
∴cos α=
，
∴f （α）=cos α（sin α+cos α）﹣，
=
×（
+
）﹣
=．
（2）f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．
=sinxcosx+cos 2x ﹣
=sin2x+cos2x
=sin （2x+
），
∴T==π，
由2k π﹣
≤2x+
≤2k π+
，k ∈Z ，得k π﹣
≤x ≤k π+
，k ∈Z ，
∴f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+
]，k ∈Z ．
23．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-. 【
解
析
】
试
题解析：
（1）设()(0)f x kx b k =+>，111] 由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨
+=⎩解得1,
5,
k b =⎧⎨=⎩
∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-．
（2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-． 考点：待定系数法． 24．【答案】
【解析】（1）由a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4得 a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，解得﹣≤d ≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n }的通项公式为a n =13﹣3n 。

（2）∵b n ==
，
∴T n =b 1+b 2+…+b n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）
=。