《3.2.1 几个幂函数的导数》教案

《3.2.1 几个幂函数的导数》教案
一､教材分析
1､教学内容
本节课的教学内容主要是从科学研究和工程技术的需要出发,通过一系列具体事例说明函数导数计算的作用,多面引发学生对学习导数的计算方法和有关运算公式的兴趣｡继而根据函数导数的定义推导出几个简单函数的导数｡
2､教材的地位和作用
本节课是高中新课程湖南教育出版社《数学》选修1—1第三章第二节的第1个课时,在此之前学生已对求自由落体的瞬时速度､求作抛物线的切线的问题作了探索,学习了导数的概念和几何意义,掌握了导数的定义与求导的方法,能够运用导数的定义解决一些实际问题｡通过这节课的学习学生将掌握几种常见幂函数的导数,为求导数打下坚实的基础｡因此,我认为本节课有着承前启后的作用,也有着非常重要的实际意义｡
3､教学重点难点:
本节教学重点是牢固､准确地记住几种常见幂函数的导数,为求导数打下坚实的基础｡ 本节教学难点是灵活动用公式求导｡
4､关于几个幂函数导数公式｡
(1)y=c(c 为常数)的导数｡
常数函数的导数为零的几何意义是曲线()f x c =(c 为常数)在任意点处的切线平行于x 轴｡
(2)y=x2的导数公式的推导｡
'2y x =表示函数2y x =图象上每点(x,y)处的切线的斜率为2x,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化:
5､“曲线上点P 处的切线”与“过点P 的曲线的切线”的区别｡
在点P 处的切线,点P 必为切点;过点P 的切线,点P 未必为切点｡
二､学情分析
(1)学生已学习了平均速度的求法｡(2)学生已经知道了平均变化率,理解了平均变化率的几何意义就是过曲线上两点的割线的斜率｡(3)学生掌握了导数的定义和导数的几何意义,会利用导数的定义求函数的导数｡
三､目标分析
根据课程标准､教材内容､考虑到学生已有的知识结构和心理特征,我确定了如下的教学目标:
知识与技能:
了解函数导数运算的作用;理解并熟记课内推导出的几个幂函数导数公式并能运用公式求导｡
过程与方法:
学习过程中逐步掌握的“由特殊到一般,再由一般到特殊”的研究数学的思想方法,通过学习,能够鉴赏公式所蕴涵的数学美｡
情感､态度与价值观:
构建和谐平等的教学情境,尽可能让学生动脑､动手､动口,去发现､去猜想､去推导,激发不同层面学生的学习积极性｡
四､过程分析
建构主义的数学教学观告诉我们:数学教学不仅是一种“授予——吸收”的过程,而是学生作为主体的主动建构过程,教师是学生学习活动的组织者､指导者､帮助者和促进者｡为此,我设计了如下的教学环节:
(一)创设情境,导入新课
复习:1､导数的定义;2､用导数定义求导数有哪几个步;3､导数的几何意义
为求运动物体的瞬时速度,要计算函数的导数;为了作出曲线在一点处的切线,要计算函数的导数;为了知道和评价事物变化的快慢和方向,要计算函数的导数｡在科学研究和工程技术活动中,大量问题的解决离不开导数的计算｡求函数的导数,和四则运算一样,如同家常便饭｡函数的导数的计算是如此有用,如此重要｡这一节我们就来学习导数的计算方法和有关的运算公式｡
*教学意图:复习旧知识,通过情景引发学生的学习动机,明确学习目标｡
(二)动手演算,发现规律
推导下列函数的导数
(1)()f x c =
(2)()f x x =
(3)2()f x x = (4)1()f x x =
推导过程:
(1)()f x c =
解:()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆, '00
()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ (2)()f x x =
解:
()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆, '00()lim lim11x x y f x x ∆→∆→∆===∆｡ '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间
的函数,则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动｡
(3)2()f x x =
解: 22
()()()2y f x x f x x x x x x x x x
∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆, ''00
()lim lim(2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆｡ '2y x =表示函数2y x =图象上每点(x,y)处的切线的斜率为2x,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化: (4)1()f x x
= 解: 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x
-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆, ''220011()lim lim()x x y y f x x x x x x
∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考:(1)如何求该曲线在点(1,1)处的切线方程?
'(1)1k f ==-,所以其切线方程为2y x =-+｡
(2)改为点(3,3),结果如何?
1､通过学生观察､分析､演算､发现､归纳等探究活动,突破第一个教学难点:用导数的定义推导幂函数的导数｡
2､让学生经历观察､分析､演算､归纳､发现规律的过程,掌握幂函数的导数｡
3､在这个过程中,体现了建构主义的数学学习观和教学观,即学生和教师是“数学学习的共同体”,教师是学生学习活动的组织者､指导者､帮助者和促进者,也体现了培养学生实践能力的课改主旋律和教师是教学中“平等中的首席”的新理念｡
(三)抽象概括,形成公式
试猜想函数(),n
f x x n Q =∈的导数,并证明｡
得出结论:(n x )=nxn-1(n ∈ Q)
1､让学生体会到从特殊到一般的过程,感受到研究问题是为了获得更一般的形式化表示｡
2､通过问题的解决帮助学生理解导数的概念及其内涵,突出了重点,突破了难点｡
(四)学以致用,提高能力
练习:写出下列几个幂函数的导数
(1)y=x8 (2)y=x12 (3)y=x-5 (4)y=x1/3 (5)y=x4/3
例1:质点运动方程是S=1/t5,求质点在t=2时的速度.
例2 立方体的棱长x 变化时,求其体积关于x 的变化率是立方体表面积的多少倍? 1､例题分析:以上练习和例题是为了让学生熟悉幂函数导数公式,并能简单应用｡
2､例题的解析是培养训练学生运用知识解决问题的能力的过程,书写解题过程是对学生思路形成条理化､系统化的过程｡
(五)巩固新知,加深理解
例3 求曲线y=x2在点(2,4)处的切线方程｡
变式:写出过点A(3,5)并且和曲线 y=x2相切的直线的方程｡
练习:求曲线y=x3在点p 的切线斜率为3,求点p 的坐标及切线方程｡
1､为了检验学生对幂函数导数公式及其内涵的理解,巩固所学知识｡
2､强调解答过程,练习的解答是培养训练学生运用知识解决问题的能力的过程,书写解题过程是对学生思路形成条理化､系统化的过程｡
(六)反思小结,深化认识
1､如何利用导数的定义推导得幂函数的导数公式｡
2､研究问题的一般步骤
3､记熟几个常用函数的导数结论,并能熟练使用;
4.在今后的求导运算中,只要不明确要求用定义证明,上述几个结论直接使用｡
通过反思,深化知识理解,完善认知结构,领悟思想方法,也培养了学生的主体意识,锻炼了学生的语言表达､总结归纳
(七)布置作业,
P99 习题4 1,4
补充:求曲线x3-y=0在点(2,8)处的切线方程
根据因材施教,面向全体的原则,使每个层面的学生都能在原有的基础上有所进步,为后面探究导数运算做好铺垫｡
(八)板书设计
标题:3.2.1几个幂函数的导数
5个公式: 例题解析:
推导过程例1
例2
例3
整洁､有条理的板书可以让学生对自己所学的知识形成条理性,加深对知识的理解和掌握｡
五､教､学法分析
1､教法分析
数学教学不仅是关注结果,更应关注过程与方法,注重培养学生探究的数学品质｡针对本节课的重点和难点,结合高二学生思维较活跃,有一定抽象思维能力特点,这节课我主要采用了直观演示､动手演算和引导发现相结合的体验教学法｡在学生认知发展水平和已有知识经验的基础上,通过抽象概括,由特殊推广到一般,展现了一个完整的数学探究过程:提出问题､寻找想法､实施想法､发现规律､给出结论,加深了学生对本节课的理解和掌握｡
2､学法分析
在教学过程中,这节课我通过学生观察､分析､演算､发现､归纳等探究活动,并通过学生动
手､动眼､动口､动脑等活动,充分调动学生学习的积极性,积极参与了课堂,学会主动探究,发现问题､合作交流､归纳概括,并形成能力｡
六､评价分析
课前设想:通过课件展示问题情景,层层深入,接着通过学生观察､分析､演算､发现､讨论､归纳等探究活动,再通过类比､迁移的方法,使学生掌握几个幂函数的导数的公式并能灵活运用公式解题｡
评价结果:学生在老师的启发引导下,主动参与探究活动,利用导数的定义推导出几个幂函数的导数的公式,体会数学思想,但学生在运用知识解决实际问题上有些困难,特别是把实际问题转化成数学问题的过程,和与导数的联系,这是我在教学过程中值得探究的问题｡。