2021年辽宁省葫芦岛市中考数学二模试卷(附答案详解)

2021年辽宁省葫芦岛市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. −1
9的绝对值是( )
A. 1
9
B. −1
9
C. 9
D. −9
2. 如图所示的几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是( )
A. 2m 3+3m 2=5m 5
B. (m +n)(n −m)=m 2−n 2
C. m ⋅(m 2)3=m 6
D. m 3÷(−m)2=m
4. 数据3、4、6、x 的平均数是5，这组数据的中位数是( )
A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 6
5. 从3，0，π，4.1，√2这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
6. 不等式组{x +3>1
x −1≤4
的最小整数解是( )
A. 5
B. −1
C. 0
D. −2
7. 某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负
一场扣1分，菁英中学队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x ，负的场数为y ，则可列方程组为( )
A. {x −y =8
3x −y =12
B. {x +y =18
3x +y =12
C. {x +y =8
3x −y =12
D. {x −y =8
3x +y =12
8. 如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2=70°，则∠1的大小是( )
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 40°
(x>0)的图象上一
9.如图，已知P为反比例函数y=k
x
点，过点P作PA⊥y轴，PB⊥x轴，E是PA中点，
F是BE的中点.若△OPF的面积为3，则k的值为()
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
10.如图，在2×2的正方形网格中，动点P、Q同时从A、B两
点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至
格点G停止.动点P的运动路线为：A→M→F→G；动点
Q的运动路线为：B→N→C→G，连接PE、QE.设动点P
运动时间为t(s)，△EPQ的面积为S，则S与t之间的函数
关系用图象表示大致是()
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.“拒绝浪费，从你我做起”，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食
大约是34000000人一年的口粮，将34000000用科学记数法表示为______ ．12.因式分解：−3x2+27=______．
13.甲、乙、丙、丁四位男同学在中考体育前进行10次立定跳远测试，平均成绩都是2.4
米，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则甲、乙、丙、丁中成绩最稳定的是______．
14.若关于x的一元二次方程x2−3x−k=0没有实数根，则k的取值范围是______．
15.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆
心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
DE的长为半径作弧，
②分别以D，E为圆心，大于1
2
两弧交于点F；③作射线BF交AC于G.如果AB=8，
BC=10，△ABG的面积为16，则△CBG的面积为
______ ．
16.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，
则∠ABC=______度．
17.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C=60°，点P是射线CE上的动点，线
段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF 的长为______ ．
18.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P
作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；
②DH=√2PD；③S△APH=S△ADE；④DH平分∠CDE；其中正确的结论是______.(
填正确结论的序号)
三、解答题（本大题共8小题，共94.0分） 19. 先化简，再求值：(x +1−3
x−1
)÷x 2+4x+4x−1
，其中x =1
2．
20. 针对新型冠状病毒事件，九(1)班全体学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”
知识竞赛后，班长对本班成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布条形统计图(未完成).除了60到70之间学生成绩尚未统计，还有6名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99.班长根据情况画出的扇形统计图如下： 类别 分数段
频数(人数) A 60≤x <70 a B 70≤x <80 16 C 80≤x <90 24 D 90≤x <100
b
(1)九(1)班有多少名学生？
(2)求出a 、b 的值？并请补全条形统计图．
(3)全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩90≤x <100范围内的学生有多少人？
(4)九(1)班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中
甲，乙两位同学的概率．
21.某商店欲购进A、B两种化妆品，用160元购进的A种化妆品与用240元购进的B
种化妆品的数量相同，每件B种化妆品的进价比A种化妆品的进价贵10元．
(1)求A、B两种化妆品每件的进价分别为多少元？
(2)若该商店A种化妆品每件售价32元，B种化妆品每件售价45元，准备则进A、
B两种化妆品共100件，且这两种化妆品全部售出后总获利高于1300元，则最多购进A种化妆品多少件？
22.如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图，已知台灯灯管DE长40cm，
灯杆CD长50cm，台灯灯管、灯杆的夹角即∠EDC=105°，灯杆CD与写字台AB
的夹角即∠DCB=75°．
(1)求台灯灯管DE与水平线的夹角(锐角)？
(2)求灯管顶端E到写字台AB的距离，即EF的长？(台灯底座的宽度、高度都忽
略不计，A，F，C，B在同一条直线上，参数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73；结果精确到0.1cm)
23.某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与
销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元.设每天的总利润为w元．
(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式；
(2)请写出w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
24.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以O为圆心，OB为半径的⊙O与
AB，BD分别交于点E，F，且∠ADE=∠BDC．
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=8，AD=4√2，求⊙O的半径．
25.如图，已知等腰Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，直线AB绕点A旋转，得直线
AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接AE，CE，CE交直线AP于点F，连接BF．
(1)如图1，直接写出线段FE，FA，FC之间的数量关系？不用说明理由；
(2)当直线AP旋转到如图2位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明理由；
若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)若AC=4，当∠BAP=30°时，直接写出线段CE的长？
26.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，
点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上第一象限内时，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，
连接CP，CE，当△PCE的面积被直线BC分成3：1两部分时，求出点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使∠PBA+∠OCB=∠α，当tanα=3
时，请直接写出此
2
时点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−1
9的绝对值是：1
9． 故选：A ．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：主视图就是从正面看到的图形，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线，
因此选项B 的图形符合题意， 故选：B ．
根据主视图的意义，从正面看所得到的图形，可得出答案．
考查简单几何体的三视图，主视图反映物体的长与高的关系，画三视图时应注意“长对正，宽相等，高平齐”．
3.【答案】D
【解析】解：A 、2m 3与3m 2不是同类项，不能合并，故本选项计算错误； B 、原式=n 2−m 2，故本选项计算错误； C 、原式=m 1+6=m 7，故本选项计算错误； D 、原式=m 3−2=m ，故本选项计算正确． 故选：D ．
根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法计算法则解答． 本题综合考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，属于基础计算题．
4.【答案】C
【解析】解：∵数据3、4、6、x的平均数是5，
∴3+4+6+x
4
=5，
解得x=7，
∴这组数据为3、4、6、7，
则这组数据的中位数为4+6
2
=5，
故选：C．
先根据平均数的概念列方程求出x的值，再将数据重新排列，利用中位数的定义求解即可．
本题主要考查平均数、中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5.【答案】B
【解析】解：∵在3，0，π，4.1，√2中只有√2，π是无理数，
∴从5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是2
5
．
故选：B．
在5个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率．
本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数是解题的关键．6.【答案】B
【解析】解：不等式组{x+3>1①x−1≤4②
，
由①得：x>−2，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为−2<x≤5，
则不等式组的最小整数解为−1．
故选：B．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最小整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：依题意得：{x +y =8
3x −y =12．
故选：C ．
根据菁英中学队在8场比赛中得到12分，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得，∠4=60°， ∵∠2=70°，AB//CD ， ∴∠3=∠2=70°，
∴∠1=180°−60°−70°=50°， 故选：B ．
根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：连接OE ，
∵P 为反比例函数y =k
x (x >0)的图象上一点，点P 作PA ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，
∴S 四边形AOBP =PA ⋅PB =k ，S △POB =12k ，
∵E 是PA 中点，
∴S △PBE =1
2⋅1
2PA ⋅PB =1
4k ，S △EOB =1
2OB ⋅OA =1
2k ， ∵F 是BE 的中点，
∴S△FOB=1
2S△EOB=1
4
k，S△PFB=1
2
S△PEB=1
8
k，
∴S△OPF=S△POB−S△FOB−S△PFB=1
2k−1
4
k−1
8
k=1
8
k，
∵△OPF的面积为3，
∴1
8
k=3，
∴k=24，
故选：D．
根据反比例函数系数k的几何意义得到S四边形AOBP=PA⋅PB=k，S△POB=1
2
k，由E是
PA中点得出S△PBE=1
2⋅1
2
PA⋅PB=1
4
k，S△EOB=1
2
OB⋅OA=1
2
k，再根据F是BE的中
点得出S△FOB=1
2S△EOB=1
4
k，S△PFB=1
2
S△PEB=1
8
k，进一步得到S△OPF=S△POB−
S△FOB−S△PFB=1
2k−1
4
k−1
8
k=1
8
k=3，即可求得k=24．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|”是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①0≤t≤1时，如题干图，
S=1
2PQ×AP=1
2
×2×t=t，
当t=1时，S=1，
该函数为一次函数；
②1<t<2时，如下图，建立如图所示的坐标系，
则点P、Q的坐标分别为(t−1,1)、(2,t)，设直线PQ交GE于点H，
设直线PQ 的表达式为：y =kx +b ，则{t =2k +b 1=(t −1)k +b ，解得：{k =t−1
3−t
b =−t 2+t+23−t ， 故直线PQ 的表达式为：y =t−13−t
x +
−t 2+t+23−t
，
当x =1时，y =
t−1
3−t
+−t 2+t+23−t =HE ，
S =12
×HE ×(x Q −x P )=12
×(
t−13−t
+
−t 2+t+23−t
)×(2−t +1)=−12
t 2+t +1
2
；
该函数为开口向下的抛物线； ③当2≤t ≤3时，
同理可得：S =−1
2(t −1)(t −3)； 该函数为开口向下的抛物线； 故选：A ．
分0≤t ≤1、1<t <2、2≤t ≤3三种情况，分别求出函数表达式即可求解． 本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数和二次函数等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
11.【答案】3.4×107
【解析】解：将数据34000000用科学记数表示为3.4×107． 故答案为：3.4×107．
科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值<1时，n 是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
12.【答案】−3(x +3)(x −3)
【解析】解：原式=−3(x 2−9)=−3(x +3)(x −3)， 故答案为：−3(x +3)(x −3)
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】丁
【解析】解：∵平均成绩都是2.4米，方差分别是S 甲2=0.65，
S 乙2=0.55，S 丙2=0.50，S 丁2
=0.45，
∴S 甲2>S 乙2>S 丙2>S 丁2
，
∴甲、乙、丙、丁中成绩最稳定的是丁． 故答案为：丁．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】k <−9
4
【解析】解：∵一元二次方程x 2−3x −k =0没有实数根， ∴△<0，即32−4×1×(−k)<0，解得k <−9
4． 故答案为k <−9
4．
根据△的意义得到△<0，即32−4×1×(−k)<0，然后解不等式即可得到k 的范围． 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2−4ac ：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
15.【答案】20
【解析】解：过G 点作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ，如图，
由作法得BG 平分∠ABC ， ∴GM =GN ， ∵S △ABG =1
2AB ⋅GM ， ∴GM =
16×28=4，
∴GN=4，
∴S△CBG=1
2GN⋅BC=1
2
×4×10=20．
故答案为20．
过G点作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，如图，利用基本作图得BG平分∠ABC，根据角平分线的性质得到GM=GN，然后利用三角形面积公式计算出GM，从而可计算出S△CBG．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．
16.【答案】30
【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°
6
=120°，
所以∠ABC=120°−90°=30°，
故答案为：30．
由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．
本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．
17.【答案】6−2√3或2
【解析】解：①如图，作DQ⊥PF于点Q，设PF=x，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C=60°，
∴∠ADC=120°，
∵△DPF是等腰三角形，
∴DF=DP，FQ=PQ=1
2PF=1
2
x，
∠FDQ=∠PDQ=1
2
∠ADC=60°，
∴DF=FQ
 sin60∘=√3
3
x，
∵MN垂直平分AP，
∴AF=PF=x，
∵AD=AF+DF，
∴x+√3
3
x=4，
解得x=6−2√3；
②第二种情况如图所示：
∵MN垂直平分AP，
∴AF=PF，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C=60°，
∴∠ADP=∠C=60°，
∵△DPF是等腰三角形，
∴△DPF是等边三角形，
∴PF=DF=AF，
∵AD=AF+DF=2PF=4，
∴PF=2，
综上所述：PF的长为6−2√3或2．
故答案为：6−2√3或2．
分两种情况进行：①当点P在CD边上时，作DQ⊥PF于点Q，设PF=x，根据等腰三角形的性质表示DF，再根据线段垂直平分线的性质可得AF=PF，进而可得PF的长；
②第二种情况当点P在CD延长线上时，根据菱形的性质可得△DPF是等边三角形，进而可得PF的长．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
18.【答案】①②③
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=1
2
(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠APB=180°−(∠BAD+∠ABE)=135°，故①正确．∴∠BPD=180°−∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
{∠ABP=∠FBP BP=BP
∠APB=∠FPB
，
∴△ABP≌△FBP(ASA)，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，∴∠PAH=∠BAP=∠PFD，
在△APH和△FPD中，
{∠APH=∠FPD PA=PF
∠PAH=∠PFD
，
∴△APH≌△FPD(ASA)，
∴PH=PD，
∴∠DPH=90°，
∴DH=√2PD.故②正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD//EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∴S△APH=S△ADE，故③正确，
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH//BE ，
∴∠CDH =∠CBE =∠ABE ， ∴∠CDE =∠ABC ，
∴DE//AB ，这个显然与条件矛盾，故④错误， 综上所述，正确的结论有3个， 故答案为：①②③．
①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．
②正确．证明△ABP≌△FBP ，推出PA =PF ，再证明△APH≌△FPD ，推出PH =PD 即可解决问题．
③正确．由DH//PE ，利用等高模型解决问题即可． ④错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：原式=
(x+1)(x−1)−3
x−1
⋅x−1
(x+2)2
=(x+2)(x−2)
x−1⋅x−1
(x+2)2
=
x−2x+2
，
当x =1
2时，原式=12−212
+2=−3
5．
【解析】根据分式的减法和除法化简题目中的式子，然后将x 的值代入即可解答本题． 本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
20.【答案】解：(1)调查的总人数为：24÷50%=48(人)；
(2)b =6，a =48−16−24−6=2， 补全条形统计图如下：
(3)D类所占百分比=6
48
×100%=12.5%，
∴720×12.5%=90(人)，
即估计该校成绩90≤x<100范围内的学生有90人；
(4)画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中恰好选中甲，乙两位同学的结果数为2，
∴恰好选中甲，乙两位同学的概率为2
6=1
3
．
【解析】(1)由C组的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；
(2)由题意可直接得出b的值，再由四组的频数之和等于总人数可得a的值；
(3)由全校共有学生720名乘以D所占百分比即可；
(4)画树状图，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了频数分布表、频数分布直方图以及扇形统计图．
21.【答案】解：(1)设A种化妆品每件的进价为x元，则B两种化妆品每件的进价为(x+ 10)元，
由题意得：160
x =240
x+10
，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
则x+10=30，
答：A、B两种化妆品每件的进价分别为20元、30元；
(2)设购进A种化妆品y件，则购进B种化妆品(100−y)件，
由题意得：(32−20)y+(45−30)(100−y)>1300，
，
解得：y<662
3
答：最多购进A种化妆品66件．
【解析】(1)设A种化妆品每件的进价为x元，则B两种化妆品每件的进价为(x+10)元，由“用160元购进的A种化妆品与用240元购进的B种化妆品的数量相同”列出方程，解方程即可；
(2)设购进A种化妆品y件，则购进B种化妆品(100−y)件，根据总利润=每种化妆品的利润×销售数量(购进数量)结合总获利高于1300元，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.【答案】解：(1)如图，过点D作DH//AB，交EF于H，则DH⊥EF，
∵DH//AB，
∴∠CDH=∠DCB=75°，
∵∠EDC=105°，
∴∠EDH=105°−75°=30°，
答：台灯灯管DE与水平线的夹角为30°．
(2)过点D作DG⊥AB于G，
由题意得，四边形DHFG 是矩形，
∴DG =HF ，
在Rt △DCG 中，
∵sin∠DCG =DG CD ，
∴DG =DC ⋅sin75°=50×0.97=48.5，
在Rt △EDH 中，
∵sin∠EDH =EH DE ，
∴EH =DE ⋅sin30°=40×12=20， ∴EF =EH +HF =20+48.5=68.5(cm)．
答：灯管顶端E 到写字台AB 的距离是68.5cm ．
【解析】(1)过点D 作DH//AB ，交EF 于H ，则DH ⊥EF ，∠CDH =∠DCB =75°，进而可得∠EDH 的度数；
(2)过点D 作DG ⊥AB 于G ，利用三角函数分别求出DG 和EH ，可得答案．
本题考查解直角三角形、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．
23.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，
将(30,150)；(80,100)分别代入得：
{150=30+b 100=80k +b
， 解得：{k =−1b =180
， ∴y 与x 之间的函数关系式为y =−x +180；
(2)由题意得：
w =(x −20)(−x +180)
=−x2+200x−3600，
∴w=−x2+200x−3600(30≤x≤80)；
(3)w=−x2+200x−3600
=−(x−100)2+6400，
∵−1<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=100，
∴当x<100时，w随x的增大而增大，
∴当x=80时，w有最大值，此时w=6000，
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元．
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由待定系数法求解即可；
(2)利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围；
(3)将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)直线DE与⊙O相切．
理由如下：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，DE//AB，
∴∠BDC=∠OBE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠BDC=∠OEB，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠OEB，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠OEB+∠AED=90°，
∴∠OEB+∠AED=90°，
∴∠DEO=180°−90°=90°，
即OE⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AD=BC=4√2，AB=CD=8，∵∠ADE=∠BDC，
∴△DAE∽△DCB，
∴AE
BC =AD
CD
，
∴
4√2=4√2
8
，
∴AE=4，
∴BE=AB−AE=4，
过点O作OH⊥EB于点H，则EH=BH=2，
∵tan∠ABD=OH
BH =AD
AB
，
∴OH=4√2×2
8
=√2，
在Rt△OBH中，OB=√OH2+BH2=√(√2)2+22=√6，
∴⊙O的半径为√6．
【解析】(1)连接OE，根据矩形的性质得到∠A=∠C=90°，DE//AB，由平行线的性质得到∠BDC=∠OBE，根据等腰三角形的性质得到∠OEB=∠OBE，推出∠DEO= 180°−90°=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据矩形的性质得到∠A=∠C=90°，AD=BC=4√2，AB=CD=8，根据相似三
角形的性质得到
4√2=4√2
8
，求得BE=AB−AE=4，过点O作OH⊥EB于点H，则EH=
BH=2，解直角三角形即可得到⊙O的半径为√6．
此题考查了直线与圆的位置关系、矩形的性质以及直角三角函数．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用
25.【答案】解：(1)结论：CF−EF=√2AF．
理由：如图1中，过点A作AT⊥AF交EC于点T，设AB交EC于点O．
∵AE，AB关于AF对称，∴AE=AB，∠E=∠ABF，∵AB=AC，
∴AE=AC
∴∠E=∠ACE，
∴∠ABF=∠ACE，
∵∠AOC=∠BOF，
∴∠BFO=∠OAC=90°，∴∠AFE=∠AFB=135°，∴∠AFT=45°，
∵AT⊥AF，
∴∠FAT=90°，
∴∠AFT=∠ATF=45°，∴AF=AT，
∵∠BAC=∠FAT=90°，∴∠FAB=∠TAC，
在△FAB和△TAC中，
{AF=AT
∠FAB=∠TAC AB=AC
，
∴△FAB≌△TAC(SAS)，
∴BF=CT，
∵EF=BF，
∴EF=CT，
∴CF−EF=CF−CT=ET=√2AF，
即CF−EF=√2AF．
(2)结论不成立．结论：EF−CF=√2AF．
理由：如图2中，过点A作AT⊥AF交EC于点T，设AC交BF于点O．
∵AE，AB关于AF对称，
∴AE=AB，∠E=∠ABF，
∵AB=AC，
∴AE=AC
∴∠E=∠ACE，
∴∠ABF=∠ACE，
∵∠AOB=∠COF，
∴∠BFC=∠OAB=90°，
∴∠AFE=∠AFB=45°，
∵AT⊥AF，
∴∠FAT=90°，
∴∠AFT=∠ATF=45°，
∴AF=AT，
∵∠BAC=∠FAT=90°，
∴∠FAB=∠TAC，
在△FAB和△TAC中，
{AF=AT
∠FAB=∠TAC AB=AC
，
∴△FAB≌△TAC(SAS)，∴BF=CT，
∵EF=BF，
∴EF=CT，
∴EF−CF=CT−CF=FT=√2AF，
即EF−CF=√2AF．
(3)如图3−1中，作CR⊥AE于点R．
∵∠PAB=∠PAE=30°，
∴∠BAE=60°，
∴∠CAE=∠CAB=∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠CAR=180°−150°=30°，
∵CR⊥AR，
AC=2，AR=√3CR=2√3，
∴CR=1
2
∴ER=AE+AR=4+2√3，
∴CE=√ER2+CR2=√(4+2√3)2+22=2√6+2√2．如图3−2中，作CR⊥AE于点R．
∵∠CAB=90°，∠PAB=∠PAE=30°，
∴∠CAE=90°−30°−30°=30°，
AC=2，AR=2√3，
∴CR=1
2
∴ER=4−2√3，
∴CE=√ER2+CR2=√(4−2√3)2+22=2√6−2√2，
综上所述，EC的长为2√6+2√2或2√6−2√2．
【解析】(1)结论：CF−EF=√2AF.如图1中，过点A作AT⊥AF交EC于点T，设AB 交EC于点O.证明△FAB≌△TAC(SAS)，可得结论．
(2)结论不成立．EF−CF=√2AF.如图2中，过点A作AT⊥AF交EC于点T，设AC
交BF于点O.证明△FAB≌△TAC(SAS)，可得结论．
(3)分两种情形：AP在AB的右侧或左侧两种情形，分别求解即可．
本题是几何变换综合题目，考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26.【答案】解：(1)把点A(−1,0)，B(4,0)代入抛物线y=−x2+x+c中，
∴{−1−b+c=0
−16+4b+c=0，
∴{b=3
c=4，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+3x+4；
(2)当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(4,0)，C(0,4)代入，
∴{4k+b=0
b=4，
∴{k=−1
b=4，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
设点P(t,−t2+3t+4)，则D(t,t+4)，
E(t,0)，
则有PD=(−t2+3t+4)−(−t+
4)=−t2+4t，DE=t+4，
当△PCE的面积被直线BC分成3：1
两部分时，
有S△CPD=3S△CDE或S△CDE=3S△CPD
两种情况，
∵△CPD与△CDE同高，
∴PD=3DE或DE=3PD，
当PD=3DE时，−t2+4t=3(−t+4)，解得：t=3或t=4(舍去)，
∴P(3,4)；
当DE=3PD时，−t+4=3(−t2+4t)，
解得：t=1
3
或t=4(合去)，
∴P(1
3,44
9
)；
综上所述：P点坐标为(3,4)或(1
3,44
9
)；
(3)当点P在轴的上方时，
如图1，作点C关于轴的对称点D，则点D(0,−4)，
∵点C(0,4)，点D(0,−4)，点B(4,0)，
∴OC=OB=OD=4，
∴∠OCB=∠OBC=∠CDB=45°，
连接BD，PB，过点P作PE⊥x轴，重足为E，过点P作PG⊥BD，重足为G，PE，BD 的延长线交于点F，
∵PE//CD，PG⊥BD，
∴∠EFB=∠CDB=∠FPG=∠EBF=45°=∠OBC，
∴∠PBF=∠EBF+∠PBA=∠OCB+∠PBA=∠α，PG=GF，BE=EF，
∵tanα=3
2
，
∴tan∠PBF=3
2
，
∴PG
BG =3
2
，
设PG=3k，则BG=2k，FG=3k，BF=FG+BG=5k，
∴EF=BE=BFsin45°=5√2
2
k，PF=3√2k，
∴PE=PF−FE=3√2k−5√2
2k=√2
2
k，OE=BE−OB=5√2
2
k−4，
∴P坐标为(4−5√2
2k,√2
2
k)，
∵点P在物线y=−x2+3x+4上，
∴√2
2k=−(4−5√2
2
k)2+3(4−5√2
2
k)+4，
解得k=0(舍)或k=24√2
25
，
∴P点的坐标为(−4
5,24
25
)；
当点P在冲轴的下方时，如图2，
∵点C(0,4)，点B(4,0)，
∴OC=OB=4，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
连接PB，过点P作PQ⊥x轴，重足
为Q，过点P作PM⊥BC，垂足为M，
PQ，BC的延长线交于点N，
∵PN//y轴，PM⊥BC，
∴∠QNB=∠OCB=∠NPM=
∠OBC=45°，
∴∠PBN=∠QBN+∠PBA=∠OCB+∠PBA=∠α，PM=MN，QN=BQ，∵tanα=3
2
，
∴tan∠PBN=3
2
，
∴PM
BM =3
2
，
设PM=3n，则BM=2n，MN=3n，BN=MN+BM=5n，
∴QN=BQ=BN⋅sin45°=5√2
2
n，PN=3√2n，
∴PQ=PN−QN=√2
2n，OQ=BQ−OB=5√2
2
n−4，
∴点P的坐为(4−5√2
2n,−√2
2
n)，
∵点P在抛物线y=−x2+3x+4上，
∴−√2
2n=−(4−5√2
2
n)2+3(4−5√2
2
n)+4，
解得n=0(舍)或n=26√2
25
，
∴P点坐标(−6
5,−26
25
)；
综上所述：P点坐标为(−4
5,24
25
)或(−6
5
,−26
25
).
【解析】(1)把点A(−1,0)，B(4,0)代入抛物线y=−x2+x+c中即可求解；
(2)先求直线BC的解析式为y=−x+4，设点P(t,−t2+3t+4)，则D(t,t+4)，E(t,0)，
则有PD=−t2+4t，DE=t+4，分S△CPD=3S△CDE或S△CDE=3S△CPD两种情况求解；
(3)分两种情况讨论：当点P在轴的上方时，作点C关于轴的对称点D，则点D(0,−4)，连接BD，PB，过点P作PE⊥x轴，重足为E，过点P作PG⊥BD，重足为G，PE，BD 的延长线交于点F，设PG=3k，则BG=2k，FG=3k，BF=5k，求出P坐标为(4−
5√2 2k,√2
2
k)，再将P点坐标代入函数解析式即可求解；当点P在冲轴的下方时，连接PB，
过点P作PQ⊥x轴，重足为Q，过点P作PM⊥BC，垂足为M，PQ，BC的延长线交于
点N，设PM=3n，则BM=2n，MN=3n，BN=5n，求出点P的坐为(4−5√2
2n,−√2
2
n)，
再将P点坐标代入函数解析式即可求解．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质、等高三角形的面积比等于对应高比、三角函数、待定系数法求解析式，分类讨论是解题是解题的关键．
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