河北省邢台市高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

河北省邢台市2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人
教A 版
参考公式：()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y n x y
b
x x x
n x ====---⋅⋅==
--⋅∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-． ()
()()()()
2
2
n ad bc a b c d a c b d -K =++++，其中n a b c d =+++．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、抛物线22y x =-的准线方程是（ ） A ．18y =-
B ．18y =
C ．12x =-
D ．1
2
x = 2、把18化为二进制数为（ ）
A ．()210010
B ．()210110
C ．()211010
D ．()210011 3、已知正方体1111CD C D AB -A B 中，点1O 为上底面11C A 的中心，若
11D x y AO =AA +AB+A ，则x ，y 的值是（ ）
A ．12x =
，1y = B ．1x =，12y = C ．12x =，1
2
y = D ．1x =，1y = 4、甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲、乙相邻的概率为（ ） A ．
13 B ．12 C ．23 D ．16
5、假设某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （元）呈线性相关关系，且有如下的统计资料：
则x 和y 之间的线性回归方程为（ ）
A ．ˆ 2.040.57y
x =- B ．ˆ2 1.8y x =- C ．ˆ 1.5y x =+ D ．ˆ 1.230.08y x =+ 6、下列命题的说法错误的是（ ）
A ．命题“若2
430x x --=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2
430x x --≠” B ．已知a ，b ，c 是C ∆AB 的三条边，C ∆AB 是等边三角形的充要条件
是
222a b c ab ac bc ++=++
C ．命题“若4
π
α=
，则tan 1α=”的逆命题为“若tan 1α=，则4
π
α=
”
D ．若命题:p 0b =，命题:q 函数()2f x ax bx c =++是偶函数，则p 是q 的充分不必要条件 7、某篮球运动员甲参加了10场比赛，他每场比赛得分的茎叶
图如图所示，则数据落在区间[)22,30内的概率为（ ）
A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3
8、若R k ∈，则“33k -<<”是“方程
22
133
x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9、下面说法：
①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5； ②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0； ③如果一组数据1，2，x ，5的中位数是3，那么4x =； ④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数． 其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10、已知椭圆C :2
219
y x +=，直线:l 950x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，点P 为弦AB 的中点，则点P 的坐标为（ ）
A ．11,22⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．119,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C ．()1,4-
D ．()1,14- 11、如图所示，程序框图输出的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．16
12、过抛物线2
2y px =（0p >）的焦点F 的直线l ，
依次分别交抛物线的准线、y 轴、抛物线于A 、B 、C
三点．若2C AB =B ，则直线l 的斜率是（ ）
A ．．2-或2
C ．-或．4-或4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2:2:3，现
用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为70的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
14、执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为 ．
15、已知命题:p 若x y >，则x y -<-，命题:q 若x y <，则
22x y >；在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q
⌝∨中，真命题的序号为 ．
16、设1F 、2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、
右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212F FF P =，
且点2F 到直线1F P 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）给出如下程序框图，令输出的()y f x =．若命题:p 0x ∃，()0f x m ≤为假命题，求m 的取值范围．
18、（本小题满分12分）某校100名学生期末考试数学成绩
的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100． ()I 求图中a 的值，并根据频率分布直方图，估计这100名
学生数学成绩的平均分；
()II 若这100名学生数学成绩在某些分数段的人数（x ）与语文成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求语文成绩在[)50,90之外的人数．
19、（本小题满分12分）
()I 已知关于x 的一次函数a y x b =，其中{}2,1,2,3a ∈--，{}2,2,3b ∈-，求函数a
y x b =在
R 上是减函数的概率；
()II 已知关于x 的一次函数y kx b =+，实数k ，b 满足条件10
1111k b k b +-≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
，求函数y kx b
=+的图象经过一、三、四象限的概率（边界及坐标轴的面积忽略不计）．
20、（本小题满分12分）已知四棱锥CD S -AB 的底面CD AB 是正方形，S A ⊥底面CD AB ，D 2S A =AB =A =，E 是C S 的中点．
()I 求异面直线D E 与C A 所成角； ()II 求二面角C D S B --的大小．
21、（本小题满分12分）随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多．为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为
415
． ()I 请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？说明你的理由；
()II 现从常饮酒且患肝病的中年人（恰有2名女性）中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到
一男一女的概率是多少？
参考数据：
22、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =点12⎫P ⎪
⎭在椭圆C 上．
()I 求椭圆C 的方程；
()II 过点()Q 2,0，作两条互相垂直的动直线Q A 、Q B ，分别交椭圆C 于A 、B 两点，求证：
直线AB 必过定点，并求出该定点坐标．
邢台市2014-2015学年度第一学期期末考试 高二理科数学试题参考答案 一．选择题 BACBD DCDBA AC
二、填空题 13. 20 14.6?k <或5?k ≤（不写问号不得分） 15.②③ 16.3
5
三、解答题
17. 解：程序框图表示的分段函数为22
log ,2
()1,2
x x y f x x x >⎧==⎨
-≤⎩……………………………..4分 因为命题00:,()p x f x m ∃≤为假命题,所以命题:,()q x f x m ∀>为真命题,……………6分 即,()x f x m ∀>恒成立, 即()f x 的最小值大于m ,
又()y f x =的最小值为1-, ……………………..8分
所以1m <-. ……………………..10分
18. 解：（Ⅰ）依题意得,10(20.0050.020.04)1a ⨯+++=,解得0.03a = …….4分 这100名学生的数学平均分为：
550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分） …………6分
（Ⅱ）语文成绩在[50,60）的人数为：4
1000.0545
⨯⨯
=（人） …………7分 语文成绩在[60,70）的人数为：1000.440⨯=（人） …………8分
语文成绩在[70,80）的人数为：5
1000.3503⨯⨯
=（人） …………9分 语文成绩在[80, 90）的人数为：1
1000.245
⨯⨯=（人） …………10分
所以语文成绩在[50,90）之外的人数为：1004504042----=（人） ……12分 19. 解：（Ⅰ） a 和b 的组合有：(2,2),(2,2),(2,3),(1,2),(1,2),(1,3),--------
(2,2),(2,2),(2,3),(3,2),(3,2),(3,3)--,其中符合题意的有9个基本事件．……………2分
设使函数a
y x b
=
在R 上是减函数的事件为A ,则A 包含的基本事件(2,2),(2,3),(1,2),(1,3),----(2,2),(3,2)--共有6个, ……4分
所以,62
(A)93
P ==. ……………6分
（Ⅱ）实数,k b 满足条件101111k b k b +-≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
的区域如图所示,……………8分
要使函数的图象过一、三、四象限,则0,0k b ><,故使函数图象过一、三、四象限的(,)k b 的区域为第四象限的阴影部分, ……………10分 ∴所求事件的概率为2
7
p =
. ……………12分 20. 解：（Ⅰ）SA ⊥底面ABCD ,所以,SA AD SA AB ⊥⊥ 底面ABCD 是正方形,所以AB AD ⊥ ……………2分 以点A 为坐标原点,AS AD AB ,,所在的直线分别为z y x ,,轴,建立
空
间
直
角
坐
标
系
,
则
(0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(0,0,2)S ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(1,1,1)E ……………4分
所以(1,1,1)DE =-,(2,2,0)AC =,0DE AC ⋅=
所以异面直线DE 与AC 所成角为90︒. ……………6分 （Ⅱ）由题意可知，(2,0,2)SB =-,(2,2,2)SC =- 设平面BSC 的法向量为),,(1111z y x n =,则
11111110
n SC x y z n SB x z ⎧⋅=+-=⎪⎨
⋅=-=⎪⎩,令11=z ,则)1,0,1(1=n , ……………8分 (0,2,2)DS =-,(2,0,0)DC =
设平面SCD 的法向量为),,(2222z y x n =,则
222220
n DC x n DS z y ⎧⋅==⎪⎨
⋅=-=⎪⎩,令12=y ,则)1,1,0(2=n ……………10分
设二面角D SC B --的平面角为α,
则2
12
21cos =
⨯. 显然二面角D SC B --的平面角为α为钝角,所以
120=α 即二面角B SC D --的大小为120︒. ……………12分 21. （Ⅰ）设常饮酒的人有x 人,24
,6
3015
x x +== ……………2分 ……4分
由已知数据可求得：2
2
30(61824)8.5237.8791020822
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.
因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关． ……………………6分
（Ⅱ）设常饮酒且患肝病的男生为A 、B 、C 、D,女生为E 、F,则任取两人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种. ………8分 其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF, DE,DF,共8种. ………10分 故抽出一男一女的概率是8
15
p =
. ………12分 说明：用排列组合求解，参照上述解法给分.
22. （Ⅰ）由题意得c a =2
221()321a b += 222=a b c +
解得=21a b =， 所以椭圆的标准方程为2
214
x y +=. ………4分 （Ⅱ）法一：
设直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,则直线QB 的方程为1
(2)y x k
=--. …………5分 将直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠代入椭圆方程整理可得
()2
2
2214161640k x
k x k +-+-=
2222(16)4(14)(164)10k k k ∆=-⋅+⋅-=> …………6分 设A 点坐标为(,)A A x y ,B 点坐标为(,)B B x y ,则22
164
214A k x k
-=+ 所以228214A k x k -=+ 24(2)14A A
k
y k x k -=-=+ …………7分 同理可得222
824,44B B k k
x y k k
-==++ 所以2
5=
4(1)
A B AB A B y y k
k x x k -=-- 故直线AB 的方程为：2222
4582
()144(1)14k k k y x k k k -+=-+-+ , …………8分 22222455(82)
144(1)4(1)(14)
k kx k k y k k k k -+=-
+--+222224(14)(1)16(1)5(14)5(82)k k y k k k k x k k +-+-=+-- 22224(14)(1)5(14)6(14)k k y k k x k k +-=+-+ 24(1)(56)k y k x -=-
显然当6
5
x =
时,0y =, …………10分 当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点；直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5
.
所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5
. …………12分 法二：
令直线QA
的斜率分别为1和,则直线QB
的斜率分别为1-…………5分
得到直线AB 的方程为66)55
x y x =
=-和 …………6分 两直线的交点为6
(,0)5
P 由法一得222222
824824(,).(,)141444k k k k A B k k k k ---++++ …………8分 计算可得22
55,4(1)4(1)
PA PB k k
k k k k =
=-- 所以PA PB k k =,即A 、B 、P 三点共线,因此直线AB 过定点6
(,0)5
…………10分
当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点；直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5
.
所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5
. …………12分。