图像复原大纲

7 图像复原
7.1 引言
7.2退化模型
7.3 复原方法
7.3.1 无约束复原
7.3.1.1 代数复原原理
7.3.1.2 逆滤波
7.3.2 有约束复原
7.3.2.1维纳滤波
7.3.2.2 有约束最小平方复原
7.4 退化函数的测量
7.4.1 点扩散函数
7.4.1.1匀速直线运动
7.4.1.2离焦模糊
7.4.1.3大气湍流
7.4.1.4辐射状模糊
7.4.1.5由点、线测量
7.4.1.6 由边缘测量
7.4.1.7 由图像功率谱测量
7.4.2 噪声功率谱的测量
7.5 几何失真校正
7.5.1空间变换
7.5.2灰度插值
7.5.5几何失真校正的应用
* 7.6 超分辨率复原及其应用
习题
第7章图像复原
7.1 引言
图像在形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和记录设备的不完善，使图像的质量下降。

这一过程称为图像的退化。

图像退化的典型表现为图像模糊、失真、有噪声等，而引
起退化的原因则很多，如光学系统的像差、衍射、非线性、几何畸变、成像系统与被摄体的相
对运动、大气的湍流效应等。

图像的复原就是要尽可能恢复退化图像的本来面目，它是沿图
像退化的逆过程恢复图像。

由3：引起退化的因素各异，目前还没有统一的恢复方法。

针对
不同的物理模型，采用不同的退化模型、处理技术和估计准则，已导出了许多恢复方法。

典
型的图像复原是根据图像退化的先验知识建立一个退化模型，以此模型为基础，采用各种逆
退化处理方法进行恢复，使图像质量得到改善。

可见，图像复原主要取决于对图像退化过程
的先验知识所掌握的精确程度。

图像复原的一般过程：
分析退化原因一建立退化模型一反向推演一恢复图像
对图像复原结果的评价已确定了一些准则，这些准则包括最小均方准则、加权均方PR则
和最大墒猴则等。

图像复原和图像增强是有区别的，二者的目的都是为了改善图像的质量。

但图像增强
不考虑图像是如何退化的，只通过试探各种技术来增强图像的视觉效果。

因此．图像增强可
以不顾增强后的图像是否失真，只要看得舒服就行。

而图像复原就完全不同，需知道图像退
化的机制和过程的先验知识，据此找出一种相应的逆过程解算方法，从而得到复原的图像。

如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。

图像复原是图像处理的另一重要课题。

它的主要日的是改善给定的图像质
量。

当给定了
—·幅退化了的或者受到噪声污染了的图像后，利用退化现象的某种先验知识来重建或恢复原
有图像是因像复原处理的基本过程。

可能的退化有光学系统中的衍射、传感器非线性畸变、光
学系统的侮差、摄影胶片的非线性、大气湍流的扰动效应、图像运动造成的模糊以及几何畸变
等等。

噪声干扰可以由电子成保系统传感器、信号传输过程或者胶片颗粒性造成。

各种退化图
像的复原都可归结为一种过程，具体地说就是把退化模型化，并且采用相反的过程进行处理，
以便恢复出原图像。

本章将主要讨论一些基本的复原技术。

我们知道，在成像过程中有许多因素会导致图像质量的下降即退化，如光学系统的像差、大气扰动、运动、离焦、离散采样和系统噪声，它们会造成图像的模糊和变形。

图像复原的目的就是对退化图像进行处理，使其复原接近没有退化前的理想图像。

按照傅立叶光学的观点，光学系统是一个低通滤波器，由于受到光学孔径衍射的影响，其传递函数在由衍射极限分辨力所决定的截止频率以上值均为零。

目前，多数图像复原方法至多将图像的频谱复原到衍射极限相应的截止频率处，而不能超越它，这样截止频率之外的能量和信息被无可奈何的丢失了。

此外，对于离散采样成像器件如CCD，当成像为欠采样成像时，图像的高低频信息将产生混淆。

图像超分辨力复原的目的就是在保证通频带内图像低频信息复原的基础上，对截止频率以上的高频信息进行复原，以使图像获得更多的细节和信息，使复原图像更加接近理想图像。

超分辨力图像复原（Super-Resolution Image Restoration-SRIR）在许多领域具有非常重要的应用价值和广阔的应用前景，因此对其的研究具有十分重要的意义。

下面是一些典型的应用领域：
（1）遥感：提高光学遥感图像和合成孔径雷达遥感图像的分辨力和清晰度。

（2）医学：提高CT、核磁共振、X-ray和B超等医学影像的分辨力，获得更加清晰的医学造影图像。

（3）生物：提高细胞、DNA等微小组织显微荧光图像的分辨力和清晰度，获得共聚焦立体切片图像。

（4）公安：提高公安监控图像的分辨力和清晰度，有效辨认图像中的人或物。

（5）通讯：提高传输图像的分辨力和清晰度。

（6） 军事：提高军事侦察图像的分辨力和清晰度，提高导弹的识别和命中精度。

（7） 天文：提高对星体的观察分辨能力。

（8） 工业：提高无损探测成像的分辨力和清晰度。

此外，超分辨力图像复原的研究是对图像复原理论体系进一步的发展与完善。

正因为如此，超分辨力图像复原技术近年来已成为图像处理领域最为活跃的研究课题。

1.2 国内外发展历史和现状
图像复原是图像处理的一个重要分支，实际上图像处理技术的发展也是从图像复原开始。

1964年，美国喷气推动实验室（JPL ）进行了太空探测工作，当时利用计算机来处理“徘徊者7号”发回的月球照片，以校正飞船上电视摄像机中各种不同形式的固有畸变，这些技术都是图像增强和复原的基础。

此后，随着计算机技术，数学理论和图像处理技术的不断发展，图像复原技术不论在理论方法上还是在实际应用中都取得了飞速的发展，并逐渐形成了一个比较完整的体系
[1-11] 。

图像复原主要涉及了三个方面的内容：退化图像的成像模型，图像复原算法和复原图像的评价标准。

不同的成像模型、问题空间、优化准则和方法[12-18,133-142]会导致不同的复原算法，适用于不同的应用领域。

现有的图像复原方法主要包括以下几个类型：
（1）频域法 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧小波变换法
约束最小平方滤波法几何均值滤波法功率谱均衡法维纳滤波法
逆滤波法 （2）线性代数复原法 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧法奇异值矩阵分解伪逆滤波法有约束复原法无约束复原法SVD
（3）非线性复原法 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧神经网络法
遗传进化法
蒙特卡洛复原法贝叶斯复原法
最大熵复原法凸集投影法贾森恢复法
正约束法
（4）频谱外推法 ⎪⎩
⎪⎨⎧能量连续降减法长球波函数外推法哈里斯外推法
7.2 退化模型
要想进行图像复原，首先必须建立图像的退化模型，也就是说首先必须了解、分析图像退化的机理并用数学模型表现出来。

通常，图像的退化过程可用下述模型描述。

2.1.1 连续成像模型
在系统的成像过程中，有许多因素会导致图像的退化，其过程如图2-1所示
),(y x
图7-1 连续成像模型
在数学上可用一个迭加积分来描述
),(),,,(),(),(y x n d d y x h f S y x g +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎰⎰∞∞-ηξηξηξ ),()],([y x n y x b S += （2-1）
其中，),(y x f 表示物函数；),(y x g 表示退化的像函数；),(y x n 表示加性噪声，在有些情况下是以相乘的形式出现，称之为乘性噪声；),(y x h 表示系统的点扩散
函数；)(⋅S 表示记录介质或传感器件的非线性。

如果不考虑非线性的影响，式（2-1）可变为
⎰⎰∞
∞-+=),(),,,(),(),(y x n d d y x h f y x g ηξηξηξ （2-2）
如果假设成像系统是线性空间不变系统，即点扩散函数与像面位置无关， 则 （2-2）式可改写成
⎰⎰+∞∞-+--=),(),(),(),(y x n d d y x h f y x g ηξηξηξ
),(),(),(y x n y x h y x f +*=
（2-3）
这里的*表示卷积运算。

2.1.2 离散成像模型
在实际成像过程中，通常采用CCD 相机或其它离散成像器件进行图像采集和数字化，因此获取的退化图像应为离散函数。

其成像过程如图2-2所示
),(21n n
图2-2 离散成像模型
假设采样为理想采样，有
),(),,,(),(),(),(212121n n n d d y x h f S n n c n n g +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎰⎰∞∞-ηξηξηξ （2-4）
其中),(21n n c 表示离散抽样函数，),(21n n g 和),(21n n n 分别表示离散像函数和噪声，n 1和n 2为整数。

离散抽样函数),(21n n c 可表示为
∑∑+∞-∞=+∞
-∞=∆-∆-=
12),(),(221121n n n y n x n n c δ （2-5）
⎩⎨⎧==其它时当00,1),(q p q p δ （2-6）
其中，1∆和2∆分别表示x 和y 方向的采样间隔。

而在实际图像处理过程中，物像均需以数字离散函数表示，如果此时不考虑非线性的影响且考虑图像的大小为21N N ⨯，式（2-4）可变为
),(),,,(),(),(2111212112
n n n n n j i h j i f n n g N i N j +=∑∑== （2-7）
如果假设成像系统是线性空间不变系统，则式（2-7）可写成离散卷积的关系
),()],(*),([),(2121212121n n n n n h n n f n n g N N +=⨯ （2-8）
其中，),(21n n f 和),(21n n h 分别表示离散物函数和点扩散函数，n 1和n 2为整数且有1≤n 1≤N 1，1≤n 2≤N 2。

对于上述离散成像过程也可表示为矩阵形式，此时离散退化模型为
n Hf g += （2-9）
这里f ，g 和n 分别表示物、退化像和噪声，且为一个行堆叠形成的121⨯N N 列向量，H 为2121N N N N ⨯阶矩阵，代表点扩散函数的离散分布。

若系统是位移不变的，则H 为块循环矩阵。

7.3 复原方法
3.1 传统图像复原方法
3.1.1 逆滤波和最小平方滤波复原法（LS ）[1,10]
逆滤波和最小平方滤波复原法是图像复原中最基本的复原方法。

从前面的讨论可知，在不考虑噪声的情况下，图像的退化模型可表示为
),(*),(),(y x h y x f y x g = （3-1）
对式（3-1）取傅里叶变换，则有
),(),(),(v u H v u F v u G = （3-2）
)
,(),(),(v u H v u G v u F = （3-3） 如果退化图像),(y x g 和点扩散函数),(y x h 已知，则可通过式（3-3）求出),(v u F ，然后对其取傅里叶逆变换即可求得原物),(y x f 。

如果把),(v u H 看作滤波函数，),(/1),(v u H v u M =起到了反向滤波的作用，所以该方法被称为逆滤波复原法，),(v u M 被称为逆滤波传递函数。

如果将式（3-1）写成离散矩阵的形式，则有
f H
g = （3-4）
假设e 2为平方误差，且有
22f H g e -= （3-5）
如果我们把式（3-5）作为目标函数，且使其最小化，可得原图像的估计为
g H H H f
T T 1)(ˆ-= （3-6） 采用式（3-6）对原图像进行估计被称为最小平方复原法。

实际上最小平方复原法与逆滤波复原法是等价的，只是前者在空域考虑问题，后者在频域考虑问题。

在有噪声的情况下，逆滤波原理可写成如下形式
),(),(*),(),(y x n y x h y x f y x g += （3-7）
),(),(),(),(v u N v u H v u F v u G += （3-8）
)
,(),(),()(),(v u H v u N v u H u G v u F -= （3-9） 利用式（3-3）和（3-9）进行图像复原处理时会遇到以下问题：),(v u H 在某些区域非常小且在高频的情况下为零，在这种情况下，即使没有噪声也无法精确地恢复),(y x f ；另外在有噪声存在时，高频的噪声项被显著放大，这样也会使),(y x f 不能得到正确复原。

因此，图像复原问题是一个病态问题。

为此，通常采用只对原点附近的有限频域进行复原，并对高频信息不做复原处理或截除掉。

由此可见，采用逆滤波法不论对无噪图像还是带噪图像，均不能取得理想的复原结果。

3.1.2 Wiener 滤波复原法[1,10]
Wiener 滤波复原是一种对噪声起抑制和减少作用的方法，由C. W. Helstrom 于1967年提出。

Wiener 滤波复原是寻找一个滤波器，使得复原后的图像f ˆ和原图像的均方差最小，即
])ˆ[(min 2f
f E - （3-10） 因此，这种方法也被称为最小均方估计法（MMSE ）。

如果假设),(y x f 和噪声),(y x n 不相关，且),(y x n 有零均值，则由上述条件可得出Wiener 滤波器的传递函数为
)
,(),(),(),(),(2*v u P v u P v u H v u H v u M f n += （3-11）
其中),(*v u H 为),(v u H 的复共轭；),(v u P f 和),(v u P n 分别表示原图像和噪声的功率谱，即分别是),(y x f 和),(y x n 自相关函数的傅里叶变换。

从式（3-11）可得
),(),(),(ˆv u G v u M v u F =),()
,(),(),(),(2*v u G v u P v u P v u H v u H f n += （3-12） 对),(ˆv u F
取傅里叶逆变换，即可得在Wiener 滤波意义下的最佳原图像估计),(ˆy x f。

在实际图像处理过程中，),(v u P f 和),(v u P n 通常是未知的，可用一个常数k 来近似),(v u P n /),(v u P f ，所以式（3-11）可变为
k v u H v u H v u M +=2*),()
,(),( （3-13）
对于衍射受限的光学系统，由于其截止频率之外的0),(=v u H ，但由于),(v u P f 和),(v u P n 项的存在，式（3-11）分母不会为零，因而使0),(=v u M 。

在存在噪声且信噪比较高时，即),(),(v u P v u P n f >>，则),(v u P n /),(v u P f 很小，此时),(/1),(v u H v u M →，即Wiener 滤波器变成了逆滤波器。

反之，当信噪比较低时，),(),(v u P v u P f n >>，则0),(→v u M ，此时实现了对噪声放大的抑制。

通过Wiener 滤波复原方法对图像进行复原时存在以下问题：一是在信噪比较低的情况下，效果往往不太好，这可能是由于Wiener 滤波是基于平稳随机过程模型，且假设退化模型为线性空间不变系统的原因，这与实际情况存在一定差距。

二是最小均方误差准则与人的视觉准则不一定匹配。

另外，由于图像的边缘载断作用，复原图像中会产生由此引起的高频振荡条纹。

综上所述，Wiener 滤波法是一种线性的复原滤波器，并不能取得令人满意的复原效果，也不能对超过截止频率的高频信息进行复原。

3.1.3 约束最小平方滤波复原法（CLS ）[89]
Wiener 滤波器是在这样的假设下推导的，即原始图像和噪声都是平稳随机场，并且它们的功率谱已知。

而对大多数实际情况，它们的功率谱并非已知。

此时，如果只知道噪声方差的先验知识，则可采用约束最小平方滤波复原法来进行复原，该方法由B. R. Hunt 于1973年提出。

从前面的叙述可知，图像的离散退化模型为
n f H g += （3-14） 假设2
2n e =，对于式（3-14）要解决的图像复原问题可变为在给定g 、H 和e 2
的情况下寻求一个f ˆ，使得
22ˆe f H g =- （3-15）
由于问题的病态，满足式（3-15）的f ˆ很多，所以必须用其它的约束条件对解进行约束，选择其中最佳的f ˆ。

当然所加约束条件必须具有某种先验的合理性，此时上述问题为一约束最优化问题。

采用拉格朗日优化理论，把约束极值问题变成无约束的极值问题，则上述问题变成为目标函数
22),,(f D f H g g f E αα+-= （3-16）
的无约束极小问题。

其中α为拉格朗日常数，通常被称为正则化参数。

D 是高通滤波光滑算子，用以对噪声的抑制和消除。

通常选择D 为二阶导数即Laplacian 算子
22
222
y x D ∂∂+∂∂=∇= （3-17） 其离散形式为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=010141010D （3-18） 如果对式（3-16）取偏导并令其等于0，则有
0),,(=∂∂f
g f E α （3-19） 进一步解得
g H D D H H f
T T T 1)(ˆ-+=α （3-20） 在计算过程中，要对α进行调整，直到满足式（3-15）的条件。

直接求解式（3-20）比较困难，目前通常采用以下两种方法对其进行求解：
（1） 频域法
由于矩阵H 和D 是分块循环矩阵，所以二维傅里变换可把分块循环矩阵变成对角矩阵。

利用这个特点，从式（3-20）出发可推得
),(),(),()
,(),(ˆ22*v u G v u D v u H v u H v u F α+= （3-21）
因此该复原过程所用的滤波器传递函数为
),(v u M 22*),(),()
,(v u D v u H v u H α+= （3-22）
该公式类似于维纳滤波器，实际上Wiener 滤波器是式（3-22）的特殊情况。

当D =I 且=α),(v u P n /),(v u P f 时，CLS 滤波器就变成Wiener 滤波器。

（2） 迭代法
从式（3-20）可得
g H f D D H H T T T =+)(α （3-23）
此时可采用以下迭代算法对式（3-23）进行求解
])([1n T T T n n f D D H H g H f f α+-+=+ （3-24）
研究表明，CLS 复原法在抑制噪声放大方面优于Wiener 滤波复原法，而且CLS 复原法的推导没有假定随机场是均匀的并且谱密度为已知，只是确定了一个最佳准则，因此CLS 法在图像复原中得到了较广泛的应用。

7.4 退化函数测量
对于前面的成像方程，为了估计出原图像)(x f ，除了退化图像)(x g 和关于噪声的一些统计特性外，自然还需知道光学系统的点扩散函数)(x h 。

如果)(x h 是已知的，估计)(x f 是一个常规反卷积问题。

如果)(x h 和)(x f 都未知，要由)(x g 来同时进行估计，则称该问题为盲目反卷积问题。

对于点扩散函数)(x h ，如果根据退化图像)(x g 对其进行确定，称为系统辨识。

如果输入图像)(x f 未知，则称为盲目辨识。

在本节中，将介绍一些确定光学系统点扩散函数的方法[6,11]。

2.4.1 通过测试靶进行系统辨识
在许多情况下，系统的传递函数或者点扩散函数，可以在系统使用之前直接测定。

假设输入一个合适的测试图像),(y x f ，对应的输出为),(y x g ，则可以用下式直接求出系统的传递函数
)
,(),(),(v u F v u G v u H = （2-41）
对),(v u H 取傅里叶逆变换，即可求出系统的点扩散函数。

2.4.1.1 点源测试靶
如果输入一个理想的点源，则系统的输出就是点扩散函数。

尽管理想的点源在物理上是不可能实现的，但可用一个与点扩散函数相比足够小的“点”源来代替。

例如，星体可用于望远镜的点扩散函数测量，这是由于大气扰动造成的模糊要比星体显得更大。

一个亮的足够小的点源可用于照相机透镜系统的点扩散函数确定，而荧光小珠子则可用于显微镜的点扩散函数确定。

2.4.1.2 线测试靶
设系统输入为一沿x 轴的无限窄直线，此时输入可表示为
)(),(x y x f δ= （2-42）
则其输出为
⎰+∞
∞-=dy y x h x g ),()( （2-43） 对应的传递函数为
)()(u G u H = （2-44）
此时，)(x g 被称为线扩散函数，对应的输出频谱只是沿u 轴计算的传递函数。

如果),(y x h 是对称的，则传递函数),(v u H 可根据任意方向上的一个线输入所产生的线扩散函数完全确定。

如果),(y x h 可分离为x 方向和y 方向函数的乘积，则系统的垂直和水平线扩散函数足以确定系统的传递函数。

如果),(y x h 是不对称的，二维傅立叶变换的旋转特性使我们可以沿各个转角计算线扩散函数，对其变换以获得此角度上的),(v u H 的轮廓，根据中心切片定理，再进一步重建传递函数。

2.4.1.3 刀口测试靶
设输入一个沿x 轴的由低到高的突变，这个输入可表示为在x 方向的阶跃函数
⎩⎨⎧<≥=0
001),(x x y x f （2-45） 由于输出的刀口扩散函数为线扩散函数的积分，因此对刀口扩散函数求导即可求得x 方向的线扩散函数。

2.4.1.4 正弦波测试靶
也许确定传递函数最可靠的方法是使用正弦型输入函数，假设输入为
)2cos(),(0x u y x f π= （2-46）
则其输出为
)2cos()0,(),(00x u u H y x g π= （2-47）
输出的频谱为
)]()()[0,(),(000u u u u u H v u G ++-=δδ （2-48）
由此可获得频率为u 0处的传递函数值。

通过在不同频率和不同方向上的情况下重复此过程，可以得到任意精度要求的传递函数。

此外，对于圆对称或可分离的传递函数，工作量可以大大减少。

2.4.1.5 频率扫描测试靶
另一个与正弦波靶类似，不需要对输出进行变换来计算传递函数的输入是频率扫描测试靶。

此时输入是一个频率随与原点距离线性增加的调谐信号，则输出是输入与传递函数的乘积。

所以有
)2()()(ax H x f x g = （2-49）
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-)()()(1x f x g F x h （2-50） 由此很容易解得点扩散函数)(x h 。

2.4.2 用互相关进行系统辨识
如果将系统的输出和输入进行互相关，则其谱函数为
)()()(u P u H u Z f = （2-51）
其中)(u P f 为输入信号的功率谱。

若)(x f 为非相关白噪声，则)(u P f 为一常数，因而互相关输出器输出的就是系统的点扩散函数。

这样，我们就可以用随机噪声图像作为系统输入，算出它与系统输出的互相关，从而可得系统的点扩散函数。

2.4.3 采用退化图像进行系统辨识
在某些情况下，)(x h 并不能通过前述的标定测量方法来获得，如运动模糊，大气扰动造成的随机退化；想复原一张照片，但原来的相机找不到了。

在这些情
况下，只能试图根据退化图像本身以及一些先验知识对系统进行辨识。

和前述的辨识方法相比，此时对点扩散函数的确定是一个比较困难的问题，通常采用的方法有：
2.4.
3.1 利用原物中的特定目标进行系统辨识
如果设法使退化图像中包含点源、线源和刀口边缘特征的像，即可利用前述的方法获得系统的点扩散函数。

例如在天文成像中，可利用单星体为点光源，由此估计出大气扰动的点扩散函数。

此外，许多目标图像都含有可被视为理想的边缘特征，由此可估计出系统的点扩散函数。

2.4.
3.2 利用退化模型函数进行系统辨识
在某些成像过程中，根据系统的成像特性和某些先验知识，可确定系统的退化模型函数，然后利用退化图像来确定退化模型中的参数，此时也被称为参数估计。

（1） 线性运动退化函数
当成像系统和目标之间存在着相对匀速直线运动造成图像退化时，系统的点扩散函数可表示为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它时当001),(d x d y x h （2-52）
其中d 是退化函数的长度。

如果噪声较低时，这种类型的退化函数可在频域辨识，即根据由)(x h 傅里叶变换的带状调制来确定d 。

（2） 散焦退化函数
几何光学的分析表明，光学系统散焦造成的图像退化相应的点扩散函数是一个均匀分布的圆形光斑，其表达式为
⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它当01),(2222
R y x R y x h π （2-53）
其中R 为散焦斑半径。

如果退化图像的信噪比较高时，则可由),(y x h 的傅里叶变换在频域图上产生的圆形轨迹来确定R 。

（3） Gauss 退化函数
Gauss 退化函数是许多光学成像系统最常见的退化函数，它是光学系统衍射、像差等因素的综合结果，其表达式为
⎪⎩⎪⎨⎧∈=+-其它当0),(),()(22C y x e K y x h y x
a （2-54）
其中，K 是归一化常数，a 是一个正常数，C 是),(y x h 的圆形支持域。

由于Gauss 函数的傅里叶变换仍是Gauss 函数，并且没有过零点，因此Gauss 退化函数的辨识不能利用频域过零点来进行。

在许多情况下，可利用前述的孤立点源和刀口边缘进行辨识。

不过Gauss 退化函数有一个很有意义的性质，一个Gauss 函数总可以分解为两个Gauss 函数的卷积。

这就意味着，如果退化函数估计偏窄，反卷积总可以消除一部分Gauss 退化，结果使图像的分辨力得到改善。

2.4.
3.3 盲解辨识
上面介绍了在信噪比良好的情况下如何对系统进行辨识，但在其它情况下对系统的退化函数进行辨识并不是一件容易的事，此时可采用误差-参数分析法对系统进行辨识。

该方法是利用退化图像和退化函数模型，采用迭代法对原图像和退化函数的参数同时进行复原和估计，使其对应的计算复原误差2
*h f g E -=最小。

不失一般性，对于任意形式的点扩散函数，盲解辨识问题可陈述为：找两个估计函数),(y x f 和),(y x h ，使得下列函数最小化
)*,(min h f g dist （2-55）
其中)*,(h f g dist 表示g 和h f *之间的某个距离度量。

一个常用的距离是Euclid 距离，可写成为
2
),(*),(),(y x h y x f y x g E -= （2-56） 同样，利用Parseval 定理，（2-56）式等价的频域表达式为
2
),(),(),(v u H v u F v u G E -= （2-57） 可以看到，式（2-55）是一个非线性函数，可能存在着多个解以及大量的局部极值，所以盲目反卷积和辨识是一个非常复杂和困难的问题。

需要说明的是，系统辨识不是本论文的研究重点，所以后面介绍和提出的图像复原算法中都假设系统的点扩散函数是已知的。

7.5 几何失真校正
图像在生成过程中，由于系统本身具有非线性或拍摄角度不同，会使生成的图像产生几
何失真。

几何失真一般分为系统失真和非系统失真。

系统失真是有规律的、能预测的；非系
统失真则是随机的。

当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精确的几何校正(即将存在几何失真的
图像校正成无几何失真的图像)，以免影响分析精度。

基本的方法是先建立几何校正的数学模
型；其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行几何校正。

通常分为两步：
①图像空间坐标的变换；
②确定校正空间各像素的灰度值(灰度内插)。

5．4．1 空间坐标变换
实际工作中常以一幅图像或一组基准点为基准，去校正另一幅几何失真图像。

通常基
准图像八“，y)是利用没酶变或畸变较小的摄像系统获得，而把有较大的几何畸变系统所摄
入图像用8(Xy，／)表示。

图像畸变形式是多样的，图5．4．1是一种畸变情形。

根据两幅图
像中的一些己知对应点对(控制点对)，建立函数关系，通过坐标变换，实现失真图像的几何
校正。

该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高7.6超分辨率复原及其应用
习题。